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1、
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2、 1
課時作業(yè)35 高考解答題鑒賞——數(shù)列
1．(20xx·新課標全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(Ⅰ)求{an}的通項公式；
(Ⅱ)求{bn}的前n項和．
解：(Ⅰ)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列．通項公式為an＝
3、3n－1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此數(shù)列{bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，記{bn}的前n項和為Sn，則Sn＝＝－.
2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an是Sn和1的等差中項，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b4＝S3.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn的取值范圍．
解：(1)∵an是Sn和1的等差中項，
∴Sn＝2an－1，
當n＝1時，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－
4、1，∴an＝2an－1，即＝2.
∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，Sn＝2n－1，
設(shè){bn}的公差為d，b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，
∴d＝2，∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)cn＝＝
＝，
∴Tn＝
＝＝，
∵n∈N*，∴Tn＝<，
又Tn－Tn－1＝－
＝>0，
∴數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列，
∴Tn≥T1＝.
綜上所述，≤Tn<.
3．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.
(1)求a1的值；
(2)求數(shù)列{an}的
5、通項公式；
(3)證明：對一切正整數(shù)n，有＋＋…＋<.
解：(1)令n＝1代入得a1＝2(負值舍去)．
(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.
又已知各項均為正數(shù)，故Sn＝n2＋n.
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，
當n＝1時，a1＝2也滿足上式，所以an＝2n，n∈N*.
(3)證明：k∈N*,4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，
∴＝
＝≤＝.
∴＋＋…＋
≤
＝<.
∴不等式成立．
4．已知函數(shù)f
6、(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.
(1)當n∈N*時，求f(n)的表達式；
(2)設(shè)an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；
(3)設(shè)bn＝(9－n)，n∈N*，Sn為{bn}的前n項和，當Sn最大時，求n的值．
解：(1)令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，
∴{f(n)}是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴f(n)＝n.
(2)證明：設(shè)Tn為{an}的前n項和，
∵an＝n·f(n)＝n·n，
∴Tn＝＋2×2＋3×3＋…＋n×n，
Tn＝2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)×n＋n×n＋1，
兩式
7、相減得Tn＝＋2＋3＋…＋n－n×n＋1，
∴Tn＝2－n－1－n×n<2.
即a1＋a2＋a3＋…＋an<2.
(3)∵f(n)＝n，
∴bn＝(9－n)·＝(9－n)＝，
∴當n≤8時，bn>0；
當n＝9時，bn＝0；
當n>9時，bn<0.
∴當n＝8或9時，Sn取得最大值．
1．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n＋1(n∈N*)．
(1)若{an}是等差數(shù)列，求其首項a1和公差d；
(2)證明{an}不可能是等比數(shù)列；
(3)若a1＝－1，是否存在實數(shù)k和b使得數(shù)列{an＋kn＋b}是等比數(shù)列？若存在，求出數(shù)列{an}的通項公式；若不存在，請說明理由
8、．
解：(1)由題意知，a2＝2a1＋2，a3＝2a2＋3＝4a1＋7.
因為{an}是等差數(shù)列，所以2a2＝a1＋a3，所以a1＝－3，a2＝－4，所以公差d＝－1.
(2)證明：假設(shè){an}是等比數(shù)列，則a＝a1a3，即(2a1＋2)2＝a1(4a1＋7)，
解得a1＝－4，從而a2＝－6，a3＝－9.
又a4＝2a3＋4＝－14，所以a2，a3，a4不成等比數(shù)列，這與假設(shè)矛盾．
故{an}不可能是等比數(shù)列．
(3)假設(shè)存在滿足條件的k，b，則對任意n∈N*有＝＝
恒為常數(shù)，則
，解得
所以數(shù)列{an＋n＋2}是首項為a1＋1＋2＝－1＋1＋2＝2，公比為2的等比數(shù)列，
9、
從而an＋n＋2＝2n，故an＝2n－n－2.
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“幸福數(shù)列”．
(1)等差數(shù)列{bn}的首項為1，公差不為零，若{bn}為“幸福數(shù)列”，求{bn}的通項公式；
(2)數(shù)列{cn}的各項都是正數(shù)，其前n項和為Sn，若c＋c＋c＋…＋c＝S對任意的n∈N*都成立，試推斷數(shù)列{cn}是否為“幸福數(shù)列”？并說明理由．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≠0)，前n項和為Tn，則＝k，因為b1＝1.
則n＋n(n－1)d＝k[2n＋·2n(2n－1)d]，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d.
整理得，(4
10、k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.
因為對任意正整數(shù)n上式恒成立，則
，解得.
故數(shù)列{bn}的通項公式是bn＝2n－1.
(2)由已知，當n＝1時，c＝S＝c.
因為c1>0，所以c1＝1.
當n≥2時，c＋c＋c＋…＋c＝S，c＋c＋c＋…＋c＝S.
兩式相減，得c＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝cn·(Sn＋Sn－1)．
因為cn>0，所以c＝Sn＋Sn－1＝2Sn－cn.
顯然c1＝1適合上式，
所以當n≥2時，c＝2Sn－1－cn－1.
于是c－c＝2(Sn－Sn－1)－cn＋cn－1＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1.
因為cn＋cn－1>0，則cn－cn－1＝1，所以數(shù)列{cn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以cn＝n，Sn＝.
所以＝＝不為常數(shù)，故數(shù)列{cn}不是“幸福數(shù)列”．
新版高考數(shù)學文復(fù)習檢測：專題三 高考解答題鑒賞數(shù)列 課時作業(yè)35 Word版含答案
