新編新課標高三數學一輪復習 第10篇 二項式定理學案 理

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1、 第五十八課時 二項式定理 課前預習案 考綱要求 1.能用計數原理證明二項式定理． 2.對于二項式定理，主要考查利用通項公式求展開式的特定項、求特定項的系數、利用賦值法求二項式展開式系數問題等. 基礎知識梳理 1．二項式定理：(a＋b)n＝_________________________________________這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式. 式中的____________叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝___________. 注意：（1）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項. （2）其中叫二

2、項式展開式第項的二項式系數，而二項式展開式第項的系數是字母冪前的常數. 2．二項展開式形式上的特點 (1)項數為_______. (2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為 . (3)字母a按 排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到 ；字母b按 排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到 . (4)二項式的系數從，C，一直到 ， . 3．二項式系數的性質 (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.即. (2)增減性與最大值： 二項式系數C，當k＜時，二項式系數逐增大.由對稱性知

3、它的后半部分是逐漸減小的；當n是偶數時，中間一項______________取得最大值； 當n是奇數時，中間兩項__________，__________取得最大值． (3)各二項式系數和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ ； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 4.二項展開式的系數的性質： 對于，； 預習自測 1．(20xx·福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數等于( )． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數)，則a＋b＝( )．

4、 A．45 B．55 C．70 D．80 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為( )． A．9 B．8 C．7 D．6 4．(20xx·重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數相等，則n＝( )． A．6 B．7 C．8 D．9 5．(20xx·安徽)設(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. 課堂探究案 典型例題 考點1 二項展

5、開式中的特定項或特定項的系數 【典例1】已知的展開式中，第6項為常數項． (1)求n； (2)求含x2的項的系數； (3)求展開式中所有的有理項． 【變式1】（1） (20xx·山東)若6展開式的常數項為60，則常數a的值為__ _. （2）已知(1＋x＋x2)的展開式中沒有常數項，n∈N*，且2≤n≤8，n= ． 考點2 二項式中的系數與二項式系數 【典例2】（1） 在的二項展開式中，x11的系數是_____. （2）若展開式的二項式系數之和為64，則展開式的常數項為( ) A.10 B.20 C.30

6、 D.120 【變式2】設(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋…＋a11x＋a12，則a0＋a2＋…＋a10＋a12＝____. 考點3 二項式定理中的賦值法的應用 【典例3】二項式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數之和； (2)各項系數之和； (3)所有奇數項系數之和． 【變式3】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；

7、 (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 考點4 二項式的和與積 【典例4】在(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項的系數為________． 【變式4】在x7的展開式中，x4的系數是________(用數字作答)． 考點5 二項式展開式中的最值問題 【典例5】已知n的展開式中前三項的系數成等差數列． (1)求 n 的值； (2)展開式中二項式系數最大的項； (3)展開式中系數最大的項． 【變式5】（1）在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中常數項是（ ） A.-7 B.7 C.-28

8、 D．28 （2）已知二項式，（n∈N）的展開式中第5項的系數與第3項的系數的比是10：1， （1）求展開式中各項的系數和； (2)求展開式中含的項； （3）求展開式中二項式系數最大的項. 當堂檢測 1．二項式6的展開式中的常數項是(　　) A．20　　　　　　　　　 B．－20 C．160 D．－160 2．若二項式n的展開式中第5項是常數項，則正整數n的值可能為(　　)． A．6 B．10 C．12

9、 D．15 3.(1－t)3dt的展開式中x的系數是(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 4．已知8的展開式中常數項為1120，其中實數a是常數，則展開式中各項系數的和是(　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 5．設n的展開式的各項系數之和為M，二項式系數之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數為(　　)． A．－150 B．

10、150 C．300 D．－300 6.2n展開式的第6項系數最大，則其常數項為(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 課后拓展案 A組全員必做題 ．（20xx新課標Ⅱ）已知的展開式中的系數為,則（　?。? A． B． C． D． ．（20xx新課標Ⅰ）設為正整數,展開式的二項式系數的最大值為,展開式的二項式系數的最大值為,若,則（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 ．

11、（20xx大綱）的展開式中的系數是（　?。? A． B． C． D． ．（20xx上海春）的二項展開式中的一項是（　?。? A． B． C． D． ．（20xx遼寧）使（?。? A． B． C． D． ．（20xx陜西）設函數 則當x>0時, 表達式的展開式中常數項為（　?。? A．-20 B．20 C．-15 D．15 ．（20xx年高考江西卷（理））(x2-)5展開式中的常數項為（　?。? A．80 B．-80 C．40 D．-40 B組提高選做題 1．（20xx上海春季）36的所有正約數之和可按如下方法得到:因為, 所以36的所有正約數之和為 .參照上

12、述方法,可求得2000的所有正約數之和為_______. 2．（20xx四川）二項式的展開式中,含的項的系數是_________.(用數字作答) 3．（20xx天津）在 的二項展開式中的常數項為______. 參考答案 預習自測 1.B 2.C 3.B 4.B 5.0 典型例題 【典例1】（1）10；（2）；（3），； 【變式1】（1）4；（2）5 【典例2】（①）15;（②）B 【變式2】.8 【典例3】（1）512；（2）；（3） 【變式3】（1）；（2）；（3）；（4） 【典例4】2 【變式4】84 【典例5】

13、（1）8；（2）；（3）， 【變式5】（1）.B （2）.（）1；（）；（） 當堂檢測 1．【答案】D 【解析】二項式(2x－)6的展開式的通項是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項式(2x－)6的展開式中的常數項是C·26－3·(－1)3＝－160. 2．【答案】C 【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rC，當r＝4時，＝0，又n∈N*，∴n＝12. 3. 【答案】B 【解析】 (1－t)3dt＝＝＋，故這個展開式中x的系數是 －＝1. 4．【答案】C 【解析】由題意知C·(－a)4＝1120，

14、解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項系數和為(1－a)8＝1或38. 5．【答案】B 【解析】由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 6【答案】C 【解析】 根據二項式系數的性質，得2n＝10，故二項式2n的展開式的通項公式是 Tr＋1＝C()10－r·r＝C，根據題意5－＝0，解得r＝6，故所求的常數項等于C＝C＝210. A組全員必做題 課后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B組提高選做題 1.4836 2.10 3.15