新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣6 不等式講學(xué)案 理

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 回扣6　不等式 1．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。? 2．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 3．分式不等式 ＞0(<0

2、)?f(x)g(x)＞0(<0)； ≥0(≤0)? 4．基本不等式 (1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． (2)在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件． 5．線性規(guī)劃 (1)可行域的確定，“線定界，點(diǎn)定域”． (2)線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得． (3)線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，這時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)． 1．不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò)． 2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0時(shí)，易忽視系

3、數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a＞0，a<0進(jìn)行討論． 3．應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0. 4．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯(cuò)解，如求函數(shù)f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數(shù)y＝x＋(x<0)時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化為正數(shù)再求解． 5．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實(shí)；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解． 6．求解線性規(guī)劃問題時(shí)，不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯(cuò)解，如是指已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指

4、已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(1,1)的距離的平方等． 1．(2016·全國Ⅰ)若a＞b＞1,0

5、＞1)，則f′(x)＝lnx＋1＞1＞0，f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因此f(a)＞f(b)＞0?alna＞blnb＞0?<，又由0

6、＋∞) 答案　C 解析　由題意可知，2kx2＋kx－＜0恒成立，當(dāng)k＝0時(shí)成立，當(dāng)k≠0時(shí)需滿足 代入求得－3＜k＜0，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－3,0]． 3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A．4 B．16 C．9 D．3 答案　B 解析　依題意m≤(3a＋b)＝10＋＋， 10＋＋≥16，故m≤16，m的最大值為16. 4．已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 答案　C 解析　因?yàn)橄蛄縜＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，

7、所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2. 所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4 ， 所以2m＋4n的最小值為4，故選C. 5．不等式組的解集記為D，z＝，有下面四個(gè)命題： p1：?(x，y)∈D，z≥1; p2：?(x0，y0)∈D，z≥1； p3：?(x，y)∈D，z≤2; p4：?(x0，y0)∈D，z＜0. 其中為真命題是(　　) A．p1，p2 B．p1，p3 C．p1，p4 D．p2，p3 答案　D 解析　作出可行域如圖所示，因?yàn)閦＝的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)A(－1，－1)連線的斜率，可知與C連線斜率最小，與B連線斜率最大，聯(lián)立方程可得C(2,1)，B(1,

8、3)，所以z的最小值為，最大值為2，所以選項(xiàng)p2，p3正確，故選D. 6．設(shè)f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝[f(a)＋f(b)]，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q 答案　C 解析　∵0＜a＜b，∴＞， 又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)， 故f＞f()，即q＞p. 又r＝[f(a)＋f(b)]＝(lna＋lnb)＝lna＋lnb＝ln(ab)＝f()＝p. 故p＝r＜q.故選C. 7．已知x，y滿足條件則z＝的最大值為(　　) A．－ B. C．2 D．3 答案　

9、D 解析　作出可行域如圖所示． 因?yàn)閦＝＝，經(jīng)過點(diǎn)(－3,1)的直線斜率最大的是直線x－y＋5＝0與直線x＋y＝0的交點(diǎn)與該點(diǎn)的連線，故zmax＝＝3，故選D. 8．若x，y滿足約束條件且目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y取得最大值的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則z的最小值等于(　　) A．－2 B．－ C．－ D. 答案　C 解析　由題意可知，因?yàn)閦＝ax－y，所以y＝ax－z，故直線y＝ax－z的截距為－z，作出平面區(qū)域如圖陰影部分所示，故a＝－，故直線y＝－x－z，所以當(dāng)直線y＝－x－z過點(diǎn) (－1,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最小值z(mì)min＝－×(－1)－1＝－，故選C. 9．(2016·山東)若變

10、量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　滿足條件 的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示，x2＋y2是可行域上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)(0,0)距離的平方，顯然，當(dāng)x＝3，y＝－1時(shí)，x2＋y2取得最大值，最大值為10.故選C. 10．若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵＝，而t＋在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞減，∴t＋≥2＋＝，＝≤(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立)，又＝＋＝22－， ∵≥，∴22－≥1(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立)，故a的取值范圍是.

11、11．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若2x＋y≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________，當(dāng)m取到最大值時(shí)，x＝__________ . 答案　(－∞，8]　2 解析　2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋4≥8， 由2x＋y≥m恒成立，得m≤8；當(dāng)m取到最大值時(shí)滿足 ∴x＝2. 12．二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為，則關(guān)于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集為________． 答案　{x|－3＜x＜－2} 解析　由已知，－＝，＝，且a＜0，則b＝－a，c＝a，故不等式cx2－bx＋a＞0可化為x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2. 13．已知圓x2＋y2－2x－4

12、y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，則＋的最小值為________． 答案　3 解析　由題意圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關(guān)于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對(duì)稱，即圓心(1,2)在直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)上，即a＋2b＝3(a＞0，b＞0)， 所以＋＝＝＋＋≥＋＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝1時(shí)取等號(hào)． 14．要制作一個(gè)容積為4 m3，高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是20元/m2，側(cè)面造價(jià)是10元/m2，則該容器的最低總造價(jià)是________元． 答案　160 解析　由題意知，體積V＝4 m3，高h(yuǎn)＝1 m， 所

13、以底面積S＝4 m2，設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)是x m，則另一條邊長(zhǎng)是 m，又設(shè)總造價(jià)是y元，則y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，即x＝2時(shí)取得等號(hào)． 15．解關(guān)于x的不等式≤x＋1. 解　原不等式可化為－(x＋1)≤0， 即≤0， 當(dāng)a＝0時(shí)，有≤0，所以x＞1， 當(dāng)a≠0時(shí)， ①當(dāng)a＜0時(shí)，有≥0，且＜1，所以x≤或x＞1； ②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，有≤0，且＞1，所以1＜x≤； ③當(dāng)a＝1時(shí)，有≤0，所以x∈?， ④當(dāng)a＞1時(shí)，有≤0，且＜1，所以≤x＜1. 綜上， 當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式的解集為∪(1，＋∞)， 當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為(1，＋∞

14、)， 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為， 當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?， 當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為. 16．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0千米/小時(shí)；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/小時(shí)，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：

15、輛/小時(shí))f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時(shí)) 解　(1)由題意，當(dāng)0≤x≤20時(shí)，v(x)＝60；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，設(shè)v(x)＝ax＋b，顯然v(x)＝ax＋b在[20,200]上是減函數(shù)，由已知得 解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝當(dāng)0≤x≤20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時(shí)，其最大值為60×20＝1 200；當(dāng)20≤x≤200時(shí)，f(x)＝x(200－x)≤2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時(shí)，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值≈3 333， 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約3 333輛/小時(shí)．