6、______.
解析:∵f(x)=x2+ax+b的值域?yàn)閇0,+∞),∴Δ=0,
∴b-=0,∴f(x)=x2+ax+=2.
又∵f(x)0.
解:∵x2-(3+a)x+3a>0,∴(x-3)(x-a)>0.
①當(dāng)a<3時(shí),x3,不等式的解集為{x|x3};
②當(dāng)a=3時(shí),不等式為(x-3)2>0,不等式的解集為{x|x∈R且x≠3};
③當(dāng)a>3時(shí),x<3或x>a,不等式
7、的解集為{x|x<3或x>a}.
考點(diǎn)二
一元二次不等式的恒成立問(wèn)題
[例2] 設(shè)函數(shù)f(x)=mx2-mx-1.
(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立,求m的取值范圍;
(2)若對(duì)于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范圍.
[自主解答] (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,
若m=0,顯然-1<0;
若m≠0,則?-40,
所以m<.
令y==,
因?yàn)閠=
8、2+在[1,3]上是增函數(shù),
所以y=在[1,3]上是減函數(shù).
因此函數(shù)的最小值ymin=.
所以,m的取值范圍是.
【互動(dòng)探究】
在本例條件下,求使f(x)<0,且|m|≤1恒成立的x的取值范圍.
解:將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2-x)m-1<0.
令g(m)=(x2-x)m-1,m∈[-1,1].
則即
解得
9、是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方,恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值.
已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),當(dāng)x∈[-1,+∞)時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.
解:法一:f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=a.
①當(dāng)a∈(-∞,-1)時(shí),f(x)在[-1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得-3≤a<-1;
②當(dāng)a∈[-1,+∞)時(shí),f(x)min=f
10、(a)=2-a2,由
2-a2≥a,解得-1≤a≤1.
綜上所述,所求a的取值范圍為[-3,1].
法二:令g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,
得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立,[來(lái)源:]
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或
解得-3≤a≤1.
故a的取值范圍是[-3,1].
考點(diǎn)三
一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
[例3] 某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷(xiāo)售100件.現(xiàn)在他采用提高售價(jià),減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn).已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)每提高1元,銷(xiāo)售量就要減少10件,則他將銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí),才能使得每天所獲的利潤(rùn)
11、最大?銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí),才能保證每天所獲的利潤(rùn)在300元以上?
[自主解答] 設(shè)每件提高x元(0≤x≤10),
則每件獲利潤(rùn)(2+x)元,每天可銷(xiāo)售(100-10x)件,
又設(shè)每天獲的利潤(rùn)為y元,
由題意有y=(2+x)(100-10x)=-10x2+80x+200.
當(dāng)x=4時(shí),y取得最大值360.
∴當(dāng)售價(jià)定為每件14元時(shí),
每天所獲利潤(rùn)最大,為360元.
要使每天所獲的利潤(rùn)在300元以上,則有
-10x2+80x+200>300,
即x2-8x+10<0,
解得4-
12、每天所獲的利潤(rùn)在300元以上.
【方法規(guī)律】
求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟
(1)閱讀理解,認(rèn)真審題,把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量,找準(zhǔn)不等關(guān)系.
(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào),將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,用不等
式表示不等關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.
(3)解不等式,得出數(shù)學(xué)結(jié)論,要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義.
(4)回歸實(shí)際問(wèn)題,將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.
某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品,并每100元納稅10元(又稱(chēng)征稅率為10個(gè)百分點(diǎn)),計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān),政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品,決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn),預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn).
(1)寫(xiě)出降稅
13、后稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計(jì)劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.
解:(1)降低稅率后的稅率為(10-x)%,
農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(1+2x%)萬(wàn)擔(dān),
收購(gòu)總金額為200a(1+2x%)萬(wàn)元.
依題意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)·(10-x)(0
14、(0,2].
———————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個(gè)過(guò)程——一元二次不等式的求解過(guò)程
解一元二次不等式的一般過(guò)程是:一看(看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)),二算(計(jì)算判別式,判斷方程根的情況),三寫(xiě)(寫(xiě)出不等式的解集).
2種思想——分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化思想
(1)分類(lèi)討論的思想:含有參數(shù)的一元二次不等式一般需要分類(lèi)討論.在判斷方程根的情況時(shí),判別式是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn);需要表示不等式的解集時(shí),根的大小是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn).
(2)轉(zhuǎn)化思想:不等式在指定范圍的恒成立問(wèn)題,一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題.
3個(gè)注意點(diǎn)——解含參數(shù)不等式應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí),參數(shù)的符號(hào)影響不等式的解集;不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.[來(lái)源:]
(2)解含參數(shù)的一元二次不等式,可先考慮因式分解,再對(duì)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論;若不能因式分解,則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論,分類(lèi)要不重不漏.
(3)不同參數(shù)范圍的解集切莫取并集,應(yīng)分類(lèi)表述.