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1、
第十篇 第3節(jié)
一、選擇題
1．(20xx山西康杰中學(xué)二模)若(－)n的展開(kāi)式中第四項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：展開(kāi)式中的第四項(xiàng)為T(mén)4＝C()n－3(－1)3·
，由題意得＝0，解得n＝5.故選B.
答案：B
2．在5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為( )
A．10 B．－10
C．40 D．－40
解析：因?yàn)?的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
Tk＋1＝C(2x2)5－kk＝C25－k(－1)kx10－3k，
令10－3k＝1得k＝3，
所以x的系數(shù)為C25－3(－1)3＝－40.故選D.
2、答案：D
3．(20xx黑龍江省哈師大附中三模)二項(xiàng)式(x＋a)n(a是常數(shù))展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式的系數(shù)和為32，各項(xiàng)系數(shù)和為243，則展開(kāi)式中的第4項(xiàng)為( )
A．80x2 B．80x
C．10x4 D．40x3
解析：(x＋a)n展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n＝32，解得n＝5，令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)和為(1＋a)5＝243，故a＝2，所以展開(kāi)式的第4項(xiàng)為Cx2a3＝Cx2·23＝80x2.故選A.
答案：A
4．(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m等于( )
3、
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知：
二項(xiàng)式(x＋y)2m的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大有一項(xiàng)C＝a，
二項(xiàng)式(x＋y)2m＋1的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大有兩項(xiàng)
C＝C＝b，
因此13C＝7C，
∴13·＝7·，
即13＝，
∴m＝6.故選B.
答案：B
5．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，則a0和a1的值分別為( )
A．32,80 B．32,40
C．16,20 D．16,10
解析：由于x＋1＝x－1＋2，
因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展開(kāi)式中(x－1)的系數(shù)為C24＝80.令x＝1，得a
4、0＝32，故選A.
答案：A
6．若5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
解析：令x＝1，即可得到5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1＋a＝2，所以a＝1，5＝5，要找其展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)，需要找5的展開(kāi)式中的x和，由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝(－1)r·25－rCx5－2r，令5－2r＝±1，得到r＝2或r＝3，所以有80x和－項(xiàng)，分別與和x相乘，再相加，即得該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為80－40＝40.
答案：D
二、填空題
7．(20xx黑龍江省大慶市二模)二項(xiàng)式x3－5的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______(用
5、數(shù)字作答)．
解析：由通項(xiàng)公式得Tr＋1＝C(x3)5－r·(－1)r·r＝(－1)rCx15－5r.
令15－5r＝0，解得r＝3.
故常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4＝C(－1)3＝－10.
答案：－10
8．(高考安徽卷)若x＋8的展開(kāi)式中，x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a＝________.
解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Cx8－r·r＝C·ar·x8－r，令8－r＝4，解得r＝3，故x4的系數(shù)為C·a3＝7，解得a＝.
答案：
9．(20xx甘肅省蘭州一中高三高考沖刺)設(shè)a＝sin xdx，則二項(xiàng)式a－6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于________．
解析：a＝sin xdx＝－cos x＝2，
6、C(2)6－r－r＝(－1)r26－rCx3－r，
由3－r＝0得r＝3，
所以(－1)323C＝－160，
所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于－160.
答案：－160
10．20xx玉溪一中檢測(cè))在(1－x)5＋(1－x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是________．
解析：(1－x)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為C(－1)kxk，(1－x)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為C(－1)kxk，所以x3項(xiàng)為C(－1)3x3＋C(－1)3x3＝－30x3，所以x3的系數(shù)為－30.
答案：－30
三、解答題
11．設(shè)(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a8＋a7＋…＋a1；
(
7、2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.
解：令x＝0得a0＝1.
(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0， ①
∴a8＋a7＋…＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0， ②
由①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32896.
12．已知n，
(1)若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；
(2)若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
解：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.
∴n＝7或n＝14，
當(dāng)n＝7時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和T5.
∴T4的系數(shù)為C423＝，
T5的系數(shù)為C324＝70.
當(dāng)n＝14時(shí)，展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8，
∴T8的系數(shù)為C727＝3432.
(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0，
∴n＝12或n＝－13(舍去)．
設(shè)Tk＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，
∵12＝()12(1＋4x)12，
∴
解得≤k≤.
∵k∈N，
∴k＝10，
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11，
T11＝C·2·210·x10＝16896x10.
新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第10篇 第3節(jié) 二項(xiàng)式定理
