新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 理 北師大版

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新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第8節(jié) 函數(shù)與方程學(xué)案 理 北師大版_第1頁(yè)
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1、 第八節(jié) 函數(shù)與方程 [考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù). (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第27頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義:函數(shù)y=f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn). (2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系:方程f(x)=0有實(shí)根?函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn). (3)零點(diǎn)存在性定理 若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的圖像是連續(xù)曲線,并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反,即f(a)·f(b)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),函數(shù)y=f(

2、x)至少有一個(gè)零點(diǎn),即相應(yīng)方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解. (4)二分法:對(duì)于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn),進(jìn)而得到零點(diǎn)所似值的方法叫作二分法. 2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a>0)的圖像 與x軸的交點(diǎn) (x1,0),(x2,0) (x1,0) 無(wú)交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 [知識(shí)拓展] 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論

3、 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn). (2)連續(xù)不斷的函數(shù),其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào). (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值可能變號(hào),也可能不變號(hào). [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn).(  ) (2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)<0.(  ) (3)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).(  )

4、(4)只要函數(shù)有零點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.(  ) (5)二次函數(shù)y=ax2+bx+c在b2-4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2.函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(  ) A.(1,2)     B.(2,3) C.和(3,4) D.(4,+∞) B [易知f(x)為增函數(shù),由f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,得f(2)·f(3)<0.故選B.] 3.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(  ) A.y=cos x B.y=sin x C.y=ln x D.y=x2+1

5、 A [由于y=sin x是奇函數(shù);y=ln x是非奇非偶函數(shù),y=x2+1是偶函數(shù)但沒(méi)有零點(diǎn),只有y=cos x是偶函數(shù)又有零點(diǎn).] 4.(教材改編)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(  ) A.0   B.1    C.2    D.3 B [∵f(-1)=-3<0,f(0)=1>0, ∴f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點(diǎn), 又f(x)為增函數(shù),∴函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).] 5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.  [∵函數(shù)f(x)的圖像為直線, 由題意可得f(-1)·f(1)<0, ∴(-3a+

6、1)·(1-a)<0,解得<a<1, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第28頁(yè)) 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間  (1)已知函數(shù)f(x)=ln x-的零點(diǎn)為x0,則x0所在的區(qū)間是(  ) A.(0,1)       B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) (2)(20xx·北京東城區(qū)綜合練習(xí)(二))已知函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點(diǎn)在(k∈Z)內(nèi),那么k=________. (1)C (2)5 [(1)∵f(x)=ln x-在(0,+∞)上是增函數(shù), 又f(1)=ln 1-=ln 1-2<0, f(2)=ln 2-<0, f(3)=ln

7、3->0, ∴x0∈(2,3),故選C. (2)∵f′(x)=+2>0,x∈(0,+∞),∴f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f=ln -1<0,f(3)=ln 3>0,∴f(x)的零點(diǎn)在內(nèi),則整數(shù)k=5.] [規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 (1)解方程,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過(guò)解方程,看方程是否有根落在給定區(qū)間上來(lái)判斷. (2)利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷. (3)數(shù)形結(jié)合畫(huà)出函數(shù)圖像,通過(guò)觀察圖像與x軸在給定區(qū)間內(nèi)是否有交點(diǎn)來(lái)判斷. [跟蹤訓(xùn)練] (1)設(shè)f(x)=ln x+x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(  ) A.(0,1) B.(1,2) C

8、.(2,3) D.(3,4) (2)函數(shù)f(x)=x2-3x-18在區(qū)間[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn). (1)B (2)存在 [(1)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間可轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=ln x,h(x)=-x+2圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的取值范圍.作圖如下: 可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2). (2)法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)·f(8)<0, 又f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的圖像是連續(xù)的, 故f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn).

9、法二:令f(x)=0,得x2-3x-18=0, ∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18在x∈[1,8]上存在零點(diǎn).] 判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)  (1)函數(shù)f(x)=|x-2|-ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(20xx·秦皇島模擬)函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140061】 (1)C (2)3 [(1)由題意可知f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=|x-2|(x>0),y=ln x(x>0)的圖

10、像,如圖所示: 由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. (2)當(dāng)x>0時(shí),作函數(shù)y=ln x和y=x2-2x的圖像, 由圖知,當(dāng)x>0時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn); 當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=0得x=-, 綜上,f(x)有3個(gè)零點(diǎn).] [規(guī)律方法] 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種方法 (1)解方程法:所對(duì)應(yīng)方程f(x)=0有幾個(gè)不同的實(shí)數(shù)解就有幾個(gè)零點(diǎn). (2)零點(diǎn)存在性定理法:利用零點(diǎn)存在性定理并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷. (3)數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖像,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),其中交點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). [跟蹤訓(xùn)練] (1)函

11、數(shù)f(x)=0.9x-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(  ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) (2)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 (1)B (2)B [(1)因?yàn)閒(x)=0.9x-x,則函數(shù)f(x)為減函數(shù),值域?yàn)镽,所以函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有一個(gè)交點(diǎn),即方程0.9x-x=0有一解. (2)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0, 可得|log0.5x|=. 設(shè)g(x)=|log0.5x|,h(x)=,在同一坐標(biāo)系下分別畫(huà)出函數(shù)g(x),h(x)的圖像,可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn),因此函數(shù)f(x)

12、有2個(gè)零點(diǎn).] 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用  (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則(  ) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 (2)(20xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是________. (1)A (2)(3,+∞) [(1)∵f(x)=ex+x-2, ∴f′(x)=ex+1>0, 則f(x)在R上為增函數(shù), 又f(0)=e0-2<

13、0,f(1)=e-1>0, 且f(a)=0,∴0<a<1. ∵g(x)=ln x+x2-3, ∴g′(x)=+2x. 當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),g′(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù), 又g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0,∴1<b<2,∴a<b, ∴故選A. (2)作出f(x)的圖像如圖所示. 當(dāng)x>m時(shí),x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則有4m-m20.又m>0,解得m>3.] [規(guī)律方法] 已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法 (1)直接

14、法:直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍. (2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決. (3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解. [跟蹤訓(xùn)練] (1)已知函數(shù)f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零點(diǎn)依次為a,b,c,則(  ) A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c (2)函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140062】 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) (1)A (2)C [(1)∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,∴0<b<1,∵ln c=1,∴c=e>1,故選A. (2)∵函數(shù)f(x)=2x--a在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)=2x--a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)·f(2)<0,∴(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.]

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