新編浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題七 第1講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程選修44

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1、 考 點(diǎn) 考 情 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 　　坐標(biāo)系與參數(shù)方程是新課標(biāo)選考內(nèi)容之一，高考對(duì)本講內(nèi)容的考查主要有： (1)直線與圓的極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的互化，如廣東T14,新課標(biāo)全國(guó)卷ⅠT23. (2)直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程以及參數(shù)方程與普通方程的互化. 參數(shù)方程及其應(yīng)用 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 1．(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sin θ . (1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； (2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥

2、0,0≤θ＜2π)． 解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0. 將代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0， 得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程為x2＋y2－2y＝0. 由解得或 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，. 2．(20xx·福建高考)在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝a，且點(diǎn)A在直線l上． (1)

3、求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)圓C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系． 解：(1)由點(diǎn)A在直線ρcos＝a上， 可得a＝. 所以直線l的方程可化為ρcos θ＋ρsin θ＝2， 從而直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－2＝0. (2)由已知得圓C的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1， 所以圓C的圓心為(1,0)，半徑r＝1， 因?yàn)閳A心C到直線l的距離d＝＝<1， 所以直線l與圓C相交． 1．直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸正半軸作為極軸，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，

4、極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則 2．圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r，則圓的方程為：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程： (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：ρ＝r； (2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：ρ＝2acos θ； (3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：ρ＝2asin θ. 3．直線的極坐標(biāo)方程 若直線過點(diǎn)M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程： (1)直線過極點(diǎn)：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于

5、極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 4．幾種常見曲線的參數(shù)方程 (1)圓 以O(shè)′(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù)． 當(dāng)圓心在(0,0)時(shí)，方程為其中α是參數(shù)． (2)橢圓 橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù)． 橢圓＋＝1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù)． (3)直線 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)． 熱點(diǎn)一 極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用 　[例1]　(1)(20xx·北京高考改編)在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)到直線ρsin θ＝2的距離． (2)已知點(diǎn)P(1＋

6、cos α，sin α)，參數(shù)α∈[0，π]，點(diǎn)Q在曲線C：ρ＝上． ①求點(diǎn)P的軌跡方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； ②求點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間距離的最小值． [自主解答]　(1)極坐標(biāo)系中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為(，1)，直線ρsin θ＝2對(duì)應(yīng)的直線方程為y＝2，所以點(diǎn)到直線的距離為1. (2)①由消去α， 得點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1(y≥0)， 又由ρ＝，得ρ＝， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝9. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝9. ②因?yàn)榘雸A(x－1)2＋y2＝1(y≥0)的圓心(1,0)到直線x＋y＝9的距離為4， 所以|PQ|min＝4－1. ————

7、——————規(guī)律·總結(jié)—————————————————————— 研究極坐標(biāo)方程往往要與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．當(dāng)條件涉及到角度和到定點(diǎn)距離時(shí)，引入極坐標(biāo)系會(huì)對(duì)問題的解決帶來很大方便． 1．在極坐標(biāo)系Ox中，已知點(diǎn)A，B0<α<，求過AB的中點(diǎn)，且與OA垂直的直線的極坐標(biāo)方程． 解：設(shè)AB的中點(diǎn)為C， 則|OC|＝cos ， 過C作CD⊥OA于D. 則|OD|＝|OC|·cos ＝cos2 . 設(shè)M(ρ，θ)是直線CD上的任意一點(diǎn)，則∠MOD＝θ－， 在△MOD中，|OD|＝|OM|cos， 即cos2 ＝ρcos， 所以直線CD的極坐標(biāo)方程為cos2 ＝ρco

8、s. 熱點(diǎn)二 參數(shù)方程及其應(yīng)用 　[例2]　(20xx·鄭州模擬)已知直線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(θ為參數(shù))． (1)當(dāng)α＝時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)； (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線？ [自主解答]　(1)當(dāng)α＝時(shí)，C1的普通方程為y＝(x－1)，C2的普通方程為x2＋y2＝1， 聯(lián)立方程組 解得C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，. (2)C1的普通方程為xsin α－ycos α－sin α＝0， A點(diǎn)坐標(biāo)為(sin2α，－sin αcos α)， 故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)

9、方程為(α為參數(shù))， P點(diǎn)軌跡的普通方程為2＋y2＝， 故P點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑為的圓． ——————————規(guī)律·總結(jié)——————————————————————— 在解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時(shí)常用的方法 (1)將參數(shù)方程化為普通方程，再利用相關(guān)知識(shí)解決，注意消參后x，y的取值范圍． (2)觀察參數(shù)方程有什么幾何意義，利用參數(shù)的幾何意義解題． 2．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，P是橢圓＋y2＝1上任意一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值． 解：由于直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 故直線l的普通方程為x＋2y＝0. 因?yàn)镻為橢圓＋y2＝1上的任意一點(diǎn)，

10、故可設(shè)P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R. 因此點(diǎn)P到直線l的距離是 d＝＝， 所以當(dāng)θ＝kπ＋，k∈Z時(shí)，d取得最大值. 熱點(diǎn)三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 　[例3]　(20xx·遼寧高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4sin θ，ρcos＝2. (1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)．已知直線PQ的參數(shù)方程為(t∈R為參數(shù))，求a，b的值． [自主解答]　(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4， 直線C2的直角坐標(biāo)方程為

11、x＋y－4＝0. 解得 所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，. 注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一． (2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)． 故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0， 由參數(shù)方程可得y＝x－＋1. 所以解得a＝－1，b＝2. ——————————規(guī)律·總結(jié)——————————————————————— 對(duì)于同時(shí)含有極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的題目，可先同時(shí)將它們轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程求解． 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4. (1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)P為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1)對(duì)于曲線C1有?2＋y2＝cos2α＋sin2α＝1.即C1的普通方程為＋y2＝1. 對(duì)于曲線C2有ρsin＝ρ(cos θ＋sin θ)＝4?ρcos θ＋ρsin θ＝8?x＋y－8＝0，所以C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－8＝0. (2)顯然橢圓C1與直線C2無公共點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)P(cos α，sin α)到直線x＋y－8＝0的距離為 d＝＝， 當(dāng)sin＝1時(shí)，d取最小值為3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.