5、，代入y2＝4x，得y0＝±，所以P.由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則，
解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
答案：D
8．設(shè)F為雙曲線(xiàn)C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為－1的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線(xiàn)段BF的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
解析：由題意知，直線(xiàn)l的方程為y＝－(x－c)，解方程組，得A，解方程組，得B，因?yàn)锳為線(xiàn)段BF的中點(diǎn)，所以＝＋c，即b＝3a，所以e2＝＝＝1＋9＝10，所以e＝.
答案：A
9．已知拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)F與橢圓＋＝1(a>b>
6、0)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)的交點(diǎn)為P，且PF與x軸垂直，則橢圓的離心率為( )
A.－ B.－1
C. D.
解析：由于拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，結(jié)合題意得a2－b2＝1?、?，又由題意知P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(1,2)，則＋＝1?、?由①②得a2＝3＋2，a＝1＋，e＝＝＝－1，選B.
答案：B
10．已知橢圓＋＝1(a>b>0，a≥4)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)F重合，設(shè)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與橢圓＋＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABF的面積的最小值為( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：由題意知，拋物線(xiàn)y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，
7、準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－2，
所以c＝2，a2－b2＝4.
把x＝－2代入橢圓方程＋＝1，
得y2＝b2，
取A，B.
因?yàn)椤鰽BF的面積為
S＝×4×2b＝4
＝＝4a－，
S′＝4＋>0，
所以S為增函數(shù)，因?yàn)閍≥4，所以S≥12.
答案：D
二、填空題(每小題5分)
11．已知圓O：x2＋y2＝5，直線(xiàn)l：xcosθ＋ysinθ＝1(0<θ<)．設(shè)圓O上到直線(xiàn)l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則k＝__________.
解析：圓心(0,0)到直線(xiàn)l的距離為1，又圓O的半徑為，所以圓上有4個(gè)點(diǎn)符合條件．
答案：4
12．直線(xiàn)x－ky＋1＝0與圓O：x2＋y2＝4相交于兩點(diǎn)A
8、、B，則動(dòng)弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程是______________．
解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，易知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P(－1,0)，由垂徑定理可得⊥，故·＝x(x＋1)＋y2＝0，即2＋y2＝.
答案：2＋y2＝
13．兩條互相垂直的直線(xiàn)2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0的交點(diǎn)為P，若圓C過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)M(－3，2)，且圓心C在直線(xiàn)y＝x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．
解析：由2x＋y＋2＝0和ax＋4y－2＝0垂直得2a＋4＝0，故a＝－2，代入直線(xiàn)方程，聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為P(－1,0)，易求得線(xiàn)段MP的垂直平分線(xiàn)l的方程為x－y＋3＝0.設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(
9、x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)為直線(xiàn)l和直線(xiàn)y＝x的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得圓心C的坐標(biāo)為(－6，－3)，從而解得r2＝34，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋6)2＋(y＋3)2＝34.
答案：(x＋6)2＋(y＋3)2＝34
14．過(guò)拋物線(xiàn)x2＝4y上一點(diǎn)M(x0，y0)(x0>0)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)N(x1，y1)，則x0－x1的最小值為_(kāi)_________．
解析：由x2＝4y，得y＝x2，則y′＝x，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－1.因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)是拋物線(xiàn)x2＝4y上一點(diǎn)，所以y0＝x，且過(guò)點(diǎn)M的拋物線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率k＝x0，切線(xiàn)方程為y－y0＝x0
10、(x－x0)，即y－x＝x0(x－x0)，令y＝－1，得x1＝x0－，所以x0－x1＝x0＋≥2，所以x0－x1的最小值為2.
答案：2
15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為橢圓＋y2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y＋6＝0的最大距離為_(kāi)_________．
解析：通解：設(shè)直線(xiàn)x－y＋a＝0與橢圓相切，則方程組有唯一解，消去x，得4y2－2ay＋a2－3＝0，Δ＝4a2－16(a2－3)＝0，解得a＝±2，所以直線(xiàn)x－y±2＝0與橢圓相切，所以點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y＋6＝0的最大距離為直線(xiàn)x－y－2＝0與直線(xiàn)x－y＋6＝0間的距離，最大距離為＝4.
優(yōu)解：設(shè)P(x，y)，則＋y2＝1，且P(
11、x，y)到直線(xiàn)x－y＋6＝0的距離為d＝.設(shè)，
則d＝
＝
＝
＝≤＝4，
所以點(diǎn)P到直線(xiàn)x－y＋6＝0的最大距離為4.
答案：4
三、解答題(第16,17,18,19題每題12分，第20題13分，第21題14分)
16．過(guò)平面內(nèi)M點(diǎn)的光線(xiàn)經(jīng)x軸反射后與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切于A，B兩點(diǎn)．
(1)若M點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,1)，求反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程；
(2)若|AB|＝，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．
解：(1)由光的反射原理知，反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)(5，－1)，設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為k，則此直線(xiàn)方程可以設(shè)為y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．
又
12、反射光線(xiàn)與圓C：x2＋(y－2)2＝2相切，所以＝，
解得k＝－1或－，代入(*)化簡(jiǎn)整理，得反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0.
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)(y≥0)，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q(x，－y)，設(shè)動(dòng)弦AB的中點(diǎn)為P，則|AP|＝，故|CP|＝＝.
由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|2，
得|CQ|＝＝8，
即＝8，
即x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．
17．已知直線(xiàn)l1：mx－y＝0，l2：x＋my－2m－2＝0.
(1)證明：m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，l1和l2的交點(diǎn)總在一個(gè)定圓C上；
(2)直線(xiàn)AB與(1
13、)中的圓C相交于A，B兩點(diǎn)，
①若弦AB被點(diǎn)P平分，求直線(xiàn)AB的方程．
②若直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,3)，求使△ABC的面積取得最大值時(shí)的直線(xiàn)AB的方程．
解：(1)設(shè)l1和l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則有，
消去m得，x2＋y2－2x－2y＝0，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2，
所以l1和l2的交點(diǎn)總在圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為的圓上．
(2)①當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，CP⊥AB，
因?yàn)閗CP＝＝1，
所以kAB＝－1，由點(diǎn)斜式方程，得直線(xiàn)AB的方程為y－＝－，即x＋y－1＝0.
②當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為x＝2，可求得|AB|＝2，S△ABC＝×2×
14、1＝1；
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
則圓心C到直線(xiàn)AB的距離d＝＝，
又S△ABC＝d×2
＝＝，
當(dāng)d2＝2＝1，
即k＝時(shí)，△ABC面積取得最大值1，
此時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為y－3＝(x－2)，即3x－4y＋6＝0.
綜上所求直線(xiàn)AB的方程為x＝2或3x－4y＋6＝0.
18．已知拋物線(xiàn)D的頂點(diǎn)是橢圓＋＝1的中心，焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．
(1)求拋物線(xiàn)D的方程；
(2)已知?jiǎng)又本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(4,0)，交拋物線(xiàn)D于A，B兩點(diǎn)．是否存在垂直于x軸的直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求
15、出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．
解：(1)由題意，可設(shè)拋物線(xiàn)D的方程為y2＝2px(p>0)．
由4－3＝1，得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(1,0)，∴p＝2.∴拋物線(xiàn)D的方程為y2＝4x.
(2)設(shè)A(x1，y1)，假設(shè)存在直線(xiàn)m：x＝a滿(mǎn)足題意，則圓心M，過(guò)M作直線(xiàn)x＝a的垂線(xiàn)，垂足為E，設(shè)直線(xiàn)m與圓M的一個(gè)交點(diǎn)為G.
則|EG|2＝|MG|2－|ME|2，
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2
＝－2
＝y(tǒng)＋
＋a(x1＋4)－a2＝x1－4x1＋a(x1＋4)－a2＝(a－3)x1＋4a－a2.
當(dāng)a＝3時(shí)，|EG|2＝3，此時(shí)直線(xiàn)m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值2
16、.
因此存在直線(xiàn)m：x＝3滿(mǎn)足題意．
19．已知雙曲線(xiàn)G的中心在原點(diǎn)，它的漸近線(xiàn)與圓x2＋y2－10x＋20＝0相切．過(guò)點(diǎn)P(－4,0)作斜率為的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l和雙曲線(xiàn)G交于A，B兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)C，并且點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，|PA|·|PB|＝|PC|2.
(1)求雙曲線(xiàn)G的方程；
(2)橢圓S的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，它的短軸是G的實(shí)軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是G的漸近線(xiàn)截在S內(nèi)的部分，求橢圓S的方程．
解：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)G的漸近線(xiàn)的方程為y＝kx，
則由已知可得＝，
所以k＝±，即雙曲線(xiàn)G的漸近線(xiàn)的方程為y＝±x.
設(shè)雙曲線(xiàn)G的方程為x2－4y2＝m
17、，A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由，得3x2－8x－16－4m＝0，
則xA＋xB＝，xAxB＝－.(*)
因?yàn)閨PA|·|PB|＝|PC|2，
P，A，B，C共線(xiàn)且P在線(xiàn)段AB上，
所以(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，
整理得：4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0，
將(*)代入上式，解得：m＝28.
所以雙曲線(xiàn)G的方程為－＝1.
(2)由題可設(shè)橢圓S的方程為：＋＝1(a>2)，
弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為Q(x0，y0)，
由，
得＋＝0，
因?yàn)椋剑?，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
18、所以－＝0，
所以S中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡為直線(xiàn)－＝0截在橢圓S內(nèi)的部分．
又這個(gè)軌跡恰好是G的漸近線(xiàn)截在S內(nèi)的部分，所以＝，
所以a2＝56，橢圓S的方程為＋＝1.
20．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線(xiàn)BD與x軸交于點(diǎn)M，在第一象限內(nèi)是否存在A點(diǎn)，使得AM與橢圓相切？若存在，求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
解：(1)由e＝，得a＝2b，把點(diǎn)代入橢圓方程可得：
＋＝1?b＝1，
所以橢圓C的方程為＋y2＝1.
19、(2)假設(shè)存在A(x1，y1)，(x1>0，y1>0)，
則B(－x1，－y1)，直線(xiàn)AB的斜率kAB＝，
又AB⊥AD，所以直線(xiàn)AD的斜率k＝－，
設(shè)直線(xiàn)AD的方程為y＝kx＋m，
D(x2，y2)，
由題意知k≠0，m≠0，
由，
可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
所以x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
由題意知，x1≠x2，所以kBD＝＝－＝，
所以直線(xiàn)BD的方程為y＋y1＝(x＋x1)，
令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1,0)，可得kAM＝－.
設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y＝tx＋p與橢圓相切，則把y＝tx＋p代入＋y2
20、＝1，
得(1＋4t2)x2＋8ptx＋4p2－4＝0有兩個(gè)相等實(shí)根，
所以Δ＝(8pt)2－4×4(p2－1)(1＋4t2)＝0，
所以4t2＝p2－1.
又方程的解為x1，即x1＝－，y1＝，所以t＝－.
若AM是橢圓的切線(xiàn)，則－＝－，即x＝2y，
又因?yàn)椋珁＝1，所以x＝，y＝，
所以x1＝，y1＝，所以在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)A，使得AM與橢圓相切．
21．(20xx·浙江杭州一模)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，離心率e＝，且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓方程；
(2)Rt△ABC以A(0，b)為直角頂點(diǎn)，邊AB，BC與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．
解：(1)由e＝，即＝，
又a2－b2＝c2，得a＝3b，
把點(diǎn)代入橢圓方程可得＋＝1?b＝1.
所以橢圓方程為＋y2＝1.
(2)由題意知AB，BC所在直線(xiàn)的斜率均存在，不妨設(shè)AB的方程為y＝kx＋1，
則AC的方程為y＝－x＋1.
由
得(1＋9k2)x2＋18kx＝0?xB＝，
將k用－代替，可得xC＝，
從而有|AB|＝·，
|AC|＝·.
于是S△ABC＝|AB||AC|＝162×
＝162×.
令t＝k＋≥2，
有S△ABC＝＝≤，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝>2時(shí)取等號(hào)，
(S△ABC)max＝.
新編高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題能力提升練五 Word版含解析
