中考數(shù)學(xué)試卷分類(lèi)匯編 四邊形正方形

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1、正方形 1、（2013?昆明）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)P分別作AC，BD的垂線(xiàn)，分別交AC，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，交AD，BC于點(diǎn)M，N．下列結(jié)論： ①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤當(dāng)△PMN∽△AMP時(shí)，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)． 其中正確的結(jié)論有（　?。? 　 A． 5個(gè) B． 4個(gè) C． 3個(gè) D． 2個(gè) 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì) 分析： 依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判

2、定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠DAC=45°． ∵在△APE和△AME中， ， ∴△APE≌△AME，故①正確； ∴PE=EM=PM， 同理，F(xiàn)P=FN=NP． ∵正方形ABCD中AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE ∴四邊形PEOF是矩形． ∴PF=OE， ∴PE+PF=OA， 又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC， ∴PM+PN=AC，故②正

3、確； ∵四邊形PEOF是矩形， ∴PE=OF， 在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2， ∴PE2+PF2=PO2，故③正確． ∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯(cuò)誤； ∵△AMP是等腰直角三角形，當(dāng)△PMN∽△AMP時(shí)，△PMN是等腰直角三角形． ∴PM=PN， 又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形， ∴AP=BP，即P時(shí)AB的中點(diǎn)．故⑤正確． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題是正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理得綜合應(yīng)用，認(rèn)識(shí)△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵． 　 2、(2013年臨沂)如圖，正

4、方形ABCD中，AB=8cm,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別從B,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC,CD運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C,D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),△OE的面積為s()，則s()與t(s)的函數(shù)關(guān)系可用圖像表示為 O 4 8 8 16 t(s) S() （B） O 4 8 8 16 t(s) S() （A） O 4 8 8 16 t(s) S() （D） O 4 8 8 16 t(s) S() （C） 答案

5、：B 解析：經(jīng)過(guò)t秒后，BE＝CF＝t，CE＝DF＝8－t，， ，， 所以，，是以（4,8）為頂點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，故選B。 3F （第12題圖） A B C D O E 、（8-3矩形、菱形、正方形·2013東營(yíng)中考）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4）中正確的有（ ） A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè) 12.B.解析：在正方形ABCD中，因?yàn)镃E=DF，所以AF=DE，又因?yàn)锳B=AD，所以，所

6、以AE=BF，，，因?yàn)?，所以，即，所以AE⊥BF，因?yàn)镾四邊形DEOF，所以 S四邊形DEOF，故（1），（2），（4）正確. 4、（2013涼山州）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為（　?。? 　 A．14 B．15 C．16 D．17 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)菱形得出AB=BC，得出等邊三角形ABC，求出AC，長(zhǎng)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可． 解答：解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴AC

7、=AB=4， ∴正方形ACEF的周長(zhǎng)是AC+CE+EF+AF=4×4=16， 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC的長(zhǎng)．　 5、（2013?資陽(yáng)）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿(mǎn)足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，則陰影部分的面積是（　?。? 　 A． 48 B． 60 C． 76 D． 80 考點(diǎn)： 勾股定理；正方形的性質(zhì)． 分析： 由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長(zhǎng)AB，用S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面積． 解答： 解：∵∠AEB=90°，AE=6，

8、BE=8， ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S陰影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE=AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是判斷△ABE為直角三角形，運(yùn)用勾股定理及面積公式求解． 6、（2013?雅安）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正確結(jié)論有（　?。﹤€(gè)． 　 A． 2 B． 3 C

9、． 4 D． 5 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： 通過(guò)條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE再通過(guò)比較大小就可以得出結(jié)論 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°． ∵△AEF等邊三角形， ∴AE=EF=AF，∠EAF=60°． ∴∠BAE+

10、∠DAF=30°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF，①正確． ∠BAE=∠DAF， ∴∠DAF+∠DAF=30°， 即∠DAF=15°②正確， ∵BC=CD， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， 及CE=CF， ∵AE=AF， ∴AC垂直平分EF．③正確． 設(shè)EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x， ∴AC=， ∴AB=， ∴BE=﹣x=， ∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯(cuò)誤， ∵S△CEF=， S△ABE==， ∴2S△ABE==S△CEF，⑤正確． 綜上所述，正確的有4個(gè)，故選C．

11、 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵． 7、（2013菏澤）如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1，S2，則S1+S2的值為（　?。? 　 A．16 B．17 C．18 D．19 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 專(zhuān)題：計(jì)算題． 分析：由圖可得，S1的邊長(zhǎng)為3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分別算出S1、S2的面積，即可解答． 解答：解：如圖，設(shè)正

12、方形S2的邊長(zhǎng)為x， 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=x，x=CD， ∴AC=2CD，CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=； ∴S2的面積為EC2==8； ∵S1的邊長(zhǎng)為3，S1的面積為3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生的讀圖能力．　 8、（2013?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥(niǎo)，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥(niǎo)在花圃上的概率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考

13、點(diǎn)： 相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率． 分析： 求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥(niǎo)在花圃上的概率； 解答： 解：設(shè)正方形的ABCD的邊長(zhǎng)為a， 則BF=BC=，AN=NM=MC=a， ∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2， ∴小鳥(niǎo)在花圃上的概率為= 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長(zhǎng)，從而表示出兩個(gè)陰影正方形的邊長(zhǎng)，最后表示出面積． 9、（2013臺(tái)灣、30）如圖，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點(diǎn)不重合，并連接BG．根據(jù)圖中標(biāo)示的角判斷下列∠1、∠2、∠3

14、、∠4的大小關(guān)系何者正確？（　?。? 　 A．∠1＜∠2 B．∠1＞∠2 C．∠3＜∠4 D．∠3＞∠4 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)正方形的每一個(gè)角都是直角求出∠BAD=∠EAG=90°，然后根據(jù)同角的余角相等可得∠1=∠2，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得AE＞AB，從而得到AG＞AB，再根據(jù)三角形中長(zhǎng)邊所對(duì)的角大于短邊所對(duì)的角求出∠3＞∠4． 解答：解：∵四邊形ABCD、AEFG均為正方形， ∴∠BAD=∠EAG=90°， ∵∠BAD=∠1+∠DAE=90°， ∠EAG=∠2+∠DAE=90°， ∴∠1=∠2， 在Rt△ABE中，AE＞AB， ∵四邊形AEFG是

15、正方形， ∴AE=AG， ∴AG＞AB， ∴∠3＞∠4． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，要注意在同一個(gè)三角形中，較長(zhǎng)的邊所對(duì)的角大于較短的邊所對(duì)的角的應(yīng)用．　 10、（2013臺(tái)灣、23）附圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重迭情形，其中D、E兩點(diǎn)分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點(diǎn)到AC的距離為何？（　　） 　 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABC=

16、60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線(xiàn)平行求出AC∥DE，再根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出KH，然后根據(jù)平行線(xiàn)間的距離相等即可得解． 解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠A=∠ABC=60°， ∵BD=BE， ∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60°， ∴∠A=∠BDE， ∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF， ∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18×﹣6

17、×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6， ∴F點(diǎn)到AC的距離為6﹣6． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的倍，以及平行線(xiàn)間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．　 11、(2013年南京)已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，可列出方程： 。 答案：本題答案不唯一，如(x+1)2=25； 解析：把缺口補(bǔ)回去，得到一個(gè)面積25的正方形，邊長(zhǎng)為x＋1。 12、（2013?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為

18、2的正方形，頂點(diǎn)A、C分別在x，y軸的正半軸上．點(diǎn)Q在對(duì)角線(xiàn)OB上，且QO=OC，連接CQ并延長(zhǎng)CQ交邊AB于點(diǎn)P．則點(diǎn)P的坐標(biāo)為?。?，4﹣2）?。? 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的倍求出OB，再求出BQ，然后求出△BPQ和△OCQ相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BP的長(zhǎng)，再求出AP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解答： 解：∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形， ∴OA=OC=2，OB=2， ∵QO=OC， ∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2， ∵正方形OABC的邊AB∥OC， ∴△BPQ∽△OCQ，

19、 ∴=， 即=， 解得BP=2﹣2， ∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4﹣2）． 故答案為：（2，4﹣2）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的對(duì)角線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的倍的性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出BP的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 13、（2013?嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線(xiàn)向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為　6　，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為　

20、6?。? 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度． 解答： 解：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過(guò)程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=DA，第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=DC，第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=BC，第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=AD，第六次回到E點(diǎn)，AE=AB． 由勾股定理可以得出EF=

21、，F(xiàn)G=，GH=，HM=，MN=，NE=， 故小球經(jīng)過(guò)的路程為：+++++=6， 故答案為：6，6． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用．通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來(lái)確定小球經(jīng)過(guò)的路程，是一道學(xué)科綜合試題，屬于難題． 14、（2013?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BE=2，AE=3BE，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PB+PE的最小值是　10　． 考點(diǎn)： 軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；正方形的性質(zhì)． 分析： 由正方形性質(zhì)的得出B、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知，連接DE，交AC于P，連接

22、BP，則此時(shí)PB+PE的值最小，進(jìn)而利用勾股定理求出即可． 解答： 解：如圖，連接DE，交AC于P，連接BP，則此時(shí)PB+PE的值最?。? ∵四邊形ABCD是正方形， ∴B、D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)， ∴PB=PD， ∴PB+PE=PD+PE=DE． ∵BE=2，AE=3BE， ∴AE=6，AB=8， ∴DE==10， 故PB+PE的最小值是10． 故答案為：10． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，解此題通常是利用兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短的性質(zhì)得出． 15、（2013?包頭）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連接AE、BE、CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針

23、旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，則∠BE′C=　135　度． 考點(diǎn)： 勾股定理的逆定理；正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 分析： 首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，進(jìn)而得出答案． 解答： 解：連接EE′， ∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1， ∴EE′=2，∠BE′E=45°， ∵E′E2+E′C2=8+1=9， EC2=9， ∴E′E2

24、+E′C2=EC2， ∴△EE′C是直角三角形， ∴∠EE′C=90°， ∴∠BE′C=135°． 故答案為：135． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了勾股定理以及逆定理，根據(jù)已知得出△EE′C是直角三角形是解題關(guān)鍵． 16、（2013? 德州）如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形AEF的頂點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+． 其中正確的序號(hào)是?、佗冖堋。ò涯阏J(rèn)為正確的都填上）． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析： 根據(jù)三角形的全等

25、的知識(shí)可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的知識(shí)可以判斷③的正確，利用解三角形求正方形的面積等知識(shí)可以判斷④的正誤． 解答： 解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵△AEF是等邊三角形， ∴AE=AF， ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE=DF， ∵BC=DC， ∴BC﹣BE=CD﹣DF， ∴CE=CF， ∴①說(shuō)法正確； ∵CE=CF， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∵∠AEF=60°， ∴∠AEB=75°，

26、 ∴②說(shuō)法正確； 如圖，連接AC，交EF于G點(diǎn)， ∴AC⊥EF，且AC平分EF， ∵∠CAD≠∠DAF， ∴DF≠FG， ∴BE+DF≠EF， ∴③說(shuō)法錯(cuò)誤； ∵EF=2， ∴CE=CF=， 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a， 在Rt△ADF中， a2+（a﹣）2=4， 解得a=， 則a2=2+， S正方形ABCD=2+， ④說(shuō)法正確， 故答案為①②④． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查正方形的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的證明以及輔助線(xiàn)的正確作法，此題難度不大，但是有一點(diǎn)麻煩． 17、（2013?煙臺(tái)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在BC上，四邊

27、形EFGB也是正方形，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)，連結(jié)AF，CF，則圖中陰影部分面積為　4π　． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；整式的混合運(yùn)算． 分析： 設(shè)正方形EFGB的邊長(zhǎng)為a，表示出CE、AG，然后根據(jù)陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF，列式計(jì)算即可得解． 解答： 解：設(shè)正方形EFGB的邊長(zhǎng)為a，則CE=4﹣a，AG=4+a， 陰影部分的面積=S扇形ABC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF =+a2+a（4﹣a）﹣a（4+a） =4π+a2+2a﹣a2﹣2a﹣a2 =4π． 故答案為：4π． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的

28、性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，扇形的面積計(jì)算，引入小正方形的邊長(zhǎng)這一中間量是解題的關(guān)鍵． 18、（2013四川南充，14，3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AC,AE=1，連接BE，則tanE=_____________. 答案： 解析： 19、(2013年武漢)如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足AE＝DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線(xiàn)段DH長(zhǎng)度的最小值是 ． 答案： 解析： 20、（綿陽(yáng)市2013年）對(duì)正方形ABCD進(jìn)行分割，如圖1，其中E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，M

29、、N、G分別是OB、OD、EF的中點(diǎn)，沿分化線(xiàn)可以剪出一副“七巧板”，用這些部件可以拼出很多圖案，圖2就是用其中6塊拼出的“飛機(jī)”。若△GOM的面積為1，則“飛機(jī)”的面積為 14 。 ［解析］連接AC，四邊形ABCD是正方形， AC⊥BD，E、F分別BC、CD的中 點(diǎn)，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直線(xiàn)AC是△EFC底邊上的高所在直線(xiàn)，根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”，AC必過(guò)EF的中點(diǎn)G，點(diǎn)A、O、G和C在同一條直線(xiàn)上，OC=OB=OD，OC⊥OB，F(xiàn)G是△DCO的中位線(xiàn)，OG=CG= OC, M、N分別是OB、OD的中點(diǎn)，OM=BM= OB，ON=D

30、N= OD，OG=OM=BM=ON=DN= BD，等腰直角三角形GOM的面積為1，OM?OG=OM2=1，OM=,BD=4 OM=4,2AD2= BD2=32,AD=4,圖2中飛機(jī)面積圖1中多邊形ABEFD的面積，飛機(jī)面積=正方形ABCD面積-三角形CEF面積=16-2=14。 21、(2013年南京) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線(xiàn)BD平分 DABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM^AD，PN^CD，垂 A B C D N M P 足分別為M、N。 (1) 求證：DADB=DCDB； (2) 若DADC=90°，求證：四邊形MP

31、ND是正方形。 解析： 證明：(1) ∵BD平分DABC，∴DABD=DCBD。又∵BA=BC，BD=BD， ∴△ABD @ △CBD?！郉ADB=DCDB。 (4分) (2) ∵PM^AD，PN^CD，∴DPMD=DPND=90°。 又∵DADC=90°，∴四邊形MPND是矩形。 ∵DADB=DCDB，PM^AD，PN^CD，∴PM=PN。 ∴四邊形MPND是正方形。 (8分) 22、（2013?鄂州）如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別為DC、

32、BC中點(diǎn)． （1）求證：△ADE≌△ABF． （2）求△AEF的面積． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 分析： （1）由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，∠B=∠D=90°，DC=CB，由E、F分別為DC、BC中點(diǎn)，得出DE=BF，進(jìn)而證明出兩三角形全等； （2）首先求出DE和CE的長(zhǎng)度，再根據(jù)S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF得出結(jié)果． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB=AD，∠=90°，DC=CB， ∵E、F為DC、BC中點(diǎn)， ∴DE=DC，BF=BC， ∴DE=BF， ∵在△AD

33、E和△ABF中， ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：由題知△ABF、△ADE、△CEF均為直角三角形， 且AB=AD=4，DE=BF=×4=2，CE=CF=×4=2， ∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF =4×4﹣×4×2﹣×4×2﹣×2×2 =6． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的證明，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理，此題難度不大． 23、（2013?畢節(jié)地區(qū)）四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且DE=BF，連接AE、AF、EF． （1）求證：△

34、ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心　A　 點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)　90　 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面積． 考點(diǎn)： 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易證得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，則∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義可得到△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到； （3）先利用勾股定理可計(jì)算出

35、AE=10，在根據(jù)△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是DCB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)， ∴∠ABF=90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EBF=90°， ∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到

36、； 故答案為A、90； （3）解：∵BC=8， ∴AD=8， 在Rt△ADE中，DE=6，AD=8， ∴AE==10， ∵△ABF可以由△ADE繞旋轉(zhuǎn)中心 A點(diǎn)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴△AEF的面積=AE2=×100=50（平方單位）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理． 24、（2013?黔東南州）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線(xiàn)BD上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME∥CD交BC于點(diǎn)E，作MF∥

37、BC交CD于點(diǎn)F．求證：AM=EF． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： 過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P，根據(jù)題干條件證明出AP=MF，PM=ME，進(jìn)而證明△APM≌△FME，即可證明出AM=EF． 解答： 證明：過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥AD，垂足為Q，作MP垂足AB，垂足為P， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形MFDQ和四邊形PBEM是正方形，四邊形APMQ是矩形， ∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME， ∵在△APM和△FME中， ， ∴△APM≌△FME（SAS）， ∴A

38、M=EF． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)，此題正確作出輔助線(xiàn)很易解答． 25、（2013鞍山）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且DF=BE． （1）求證：CE=CF； （2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？ 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專(zhuān)題：證明題；探究型． 分析：（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=

39、∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因?yàn)镈F=BE，所以可證出GE=BE+GD成立． 解答：（1）證明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．（3分） （2）解：GE=BE+GD成立．（4分） 理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，（5分） ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，（6分） 又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=

40、45°． ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．（7分） ∴GE=DF+GD=BE+GD．（8分） 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查證兩條線(xiàn)段相等往往轉(zhuǎn)化為證明這兩條線(xiàn)段所在三角形全等的思想，在第二問(wèn)中也是考查了通過(guò)全等找出和GE相等的線(xiàn)段，從而證出關(guān)系是不是成立．　 26、（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD，連接AE，BE． （1）求證：四邊形AEBD是矩形； （2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由．

41、 考點(diǎn)： 矩形的判定；正方形的判定． 分析： （1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進(jìn)而理由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB=90°，即可得出答案； （2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=BD=CD，進(jìn)而利用正方形的判定得出即可． 解答： （1）證明：∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE=OD， ∴四邊形AEBD是平行四邊形， ∵AB=AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴平行四邊形AEBD是矩形； （2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)， 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，

42、 ∴AD=BD=CD， ∵由（1）得四邊形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關(guān)鍵． 27、（2013?包頭）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F． （1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的值； （2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=OA； （3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=BG． 考點(diǎn)： 相似形綜合題． 分析： （1）利用相似三角形的性質(zhì)求得E

43、F于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解； （2）利用三角形的外角和定理證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以證得； （3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線(xiàn)，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得． 解答： （1）解：∵=， ∴=． ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴=， ∴==， ∴==； （2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF， 又∵AC、BD是正方形

44、ABCD的對(duì)角線(xiàn)． ∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF， ∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF， 在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理得：AD==OA， ∴AF=OA． （3）證明：連接OE． ∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)． ∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)． 又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， ∴OE是△BCD的中位線(xiàn)， ∴OE∥CD，OE=CD， ∴△OFE∽△CFD． ∴==， ∴=． 又∵FG⊥BC，CD⊥BC， ∴FG∥CD， ∴△EGF∽△ECD， ∴==． 在直角△FGC

45、中，∵∠GCF=45°． ∴CG=GF， 又∵CD=BC， ∴==， ∴=． ∴CG=BG． 點(diǎn)評(píng)： 本題是勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理、以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵． 28、（2013?曲靖）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于F，過(guò)點(diǎn)A作AG∥CF交DE于點(diǎn)G． （1）求證：△DCF≌△ADG． （2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，設(shè)∠DCF=α，求sinα的值． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形． 分析： （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AD=DC，∠ADC=90°，根據(jù)

46、垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可； （2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦． 解答： （1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF， ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CD

47、E=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ∵在△DCF和△ADG中， ， ∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a， ∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)， ∴AE=×2a=a， 在Rt△ADE中，DE===a， ∴sin∠ADG===， ∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，同角的余角相等的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握各圖形的性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵． 29、（2013?天津）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊

48、長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上． （Ⅰ）△ABC的面積等于　6??； （Ⅱ）若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫(huà)出該正方形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖方法（不要求證明）　取格點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線(xiàn)，與AB相交得點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求?。? 考點(diǎn)： 作圖—相似變換；三角形的面積；正方形的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 計(jì)算題． 分析： （Ⅰ）△ABC以AB為底，高為3個(gè)單位，求出面積即可； （Ⅱ）作出

49、所求的正方形，如圖所示，畫(huà)圖方法為：取格點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線(xiàn)，與AB相交得點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求 解答： 解：（Ⅰ）△ABC的面積為：×4×3=6； （Ⅱ）如圖，取格點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線(xiàn)， 與AB相交得點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)， 則四邊形DEFG即為所求． 故答案為：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格點(diǎn)P，連接PC，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與BC交于

50、點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交得點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線(xiàn)，與AB相交得點(diǎn)E，分別過(guò)點(diǎn)D、E畫(huà)PC的平行線(xiàn)，與CB相交得點(diǎn)G，F(xiàn)，則四邊形DEFG即為所求 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了作圖﹣位似變換，三角形的面積，以及正方形的性質(zhì)，作出正確的圖形是解本題的關(guān)鍵． 30、（2013?綏化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以AD為邊做正方形ADEF，連接CF （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)．求證CF+CD=BC； （2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線(xiàn)段之間的關(guān)系；

51、（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線(xiàn)BC的兩側(cè)，其他條件不變； ①請(qǐng)直接寫(xiě)出CF，BC，CD三條線(xiàn)段之間的關(guān)系； ②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線(xiàn)AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC．求OC的長(zhǎng)度． 考點(diǎn)： 四邊形綜合題． 分析： （1）三角形ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可證明△BAD≌△CAF，從而證得CF=BD，據(jù)此即可證得； （2）同（1）相同，利用SAS即可證得△BAD≌△CAF，從而證得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC； （3）首先證明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長(zhǎng)，則O

52、C即可求得． 解答： 證明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四邊形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 則在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF﹣CD=BC； （3）①CD﹣CF=BC ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四邊形ADEF

53、是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的邊長(zhǎng)為2且對(duì)角線(xiàn)AE、DF相交于點(diǎn)O． ∴DF=AD=4，O為DF中點(diǎn)． ∴OC=DF=2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了正方形與全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證明三角形全等是關(guān)鍵． 31、（2013濟(jì)

54、寧）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，且AF⊥BE． （1）求證：AF=BE； （2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 專(zhuān)題：證明題． 分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△DAF全等，再根據(jù)全等三角形的證明即可； （2）過(guò)點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E，然后與（1）相同． 解答：

55、（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE和△DAF中， ， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE； （2）解：MP與NQ相等． 理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF∥MP交CD于F，過(guò)點(diǎn)B作BE∥NQ交AD于E， 則與（1）的情況完全相同． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，主要利用了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，利用三角形全等證明相等的邊是常用的方法之一，要熟練

56、掌握并靈活運(yùn)用．　 32、（2013?常德）如圖，已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圓，∠ADE=90°，延長(zhǎng)ED到C使DC=AD，以AD，DC為鄰邊作正方形ABCD，連接AC，連接BE交AC于點(diǎn)H．求證： （1）AC是⊙O的切線(xiàn)． （2）HC=2AH． 考點(diǎn)： 切線(xiàn)的判定；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 專(zhuān)題： 證明題． 分析： （1）根據(jù)圓周角定理由∠ADE=90°得AE為⊙O的直徑，再根據(jù)等腰直角三角形得到∠EAD=45°，根據(jù)正方形得到∠DAC=45°，則∠EAC=90°，然后根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可得到結(jié)論； （2）由AB∥CD得△ABH∽△CEH，則

57、AH：CH=AB：ED，根據(jù)等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)易得EC=2AB，則AH：CH=1：2． 解答： 證明：（1）∵∠ADE=90°， ∴AE為⊙O的直徑， ∵△ADE為等腰直角三角形， ∴∠EAD=45°， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠DAC=45°， ∴∠EAC=45°+45°=90°， ∴AC⊥AE， ∴AC是⊙O的切線(xiàn)； （2）∵四邊形ABCD為正方形， ∴AB∥CD， ∴△ABH∽△CEH， ∴AH：CH=AB：ED， ∵△ADE為等腰直角三角形， ∴AD=ED， 而AD=AB=DC， ∴EC=2AB， ∴AH：CH=1：2， 即H

58、C=2AH． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了切線(xiàn)的判定：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線(xiàn)為圓的切線(xiàn)．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)． 33、（2013?衡陽(yáng)）如圖，P為正方形ABCD的邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分別為點(diǎn)E、F，已知AD=4． （1）試說(shuō)明AE2+CF2的值是一個(gè)常數(shù)； （2）過(guò)點(diǎn)P作PM∥FC交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)P在何位置時(shí)線(xiàn)段DM最長(zhǎng)，并求出此時(shí)DM的值． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)． 分析： （1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB

59、=BC，結(jié)合∠ABE=∠BCF，證明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)； （2）設(shè)AP=x，則PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出關(guān)于x的一元二次函數(shù)，求出DM的最大值． 解答： 解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC， ∴∠ABE=∠BCF， ∵在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴AE=BF， ∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16為常數(shù)； （2）設(shè)AP=x，則PD=4﹣x，

60、 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP， ∴△PDM∽△BAP， ∴=， 即=， ∴DM==x﹣x2， 當(dāng)x=2時(shí)，DM有最大值為1． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知識(shí)，此題有一定的難度，是一道不錯(cuò)的中考試題． 34、（2013?衡陽(yáng)附加題不算分）一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31km．現(xiàn)要求：在一邊長(zhǎng)為30km的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市．問(wèn)： （1）能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？在圖

61、1中畫(huà)出安裝點(diǎn)的示意圖，并用大寫(xiě)字母M、N、P、Q表示安裝點(diǎn)； （2）能否找到這樣的3個(gè)安裝點(diǎn)，使得在這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求？在圖2中畫(huà)出示意圖說(shuō)明，并用大寫(xiě)字母M、N、P表示安裝點(diǎn)，用計(jì)算、推理和文字來(lái)說(shuō)明你的理由． 考點(diǎn)： 作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖． 專(zhuān)題： 作圖題． 分析： （1）可把正方形分割為四個(gè)全等的正方形，作出這些正方形的對(duì)角線(xiàn)，把裝置放在交點(diǎn)處，交點(diǎn)到其余各個(gè)小正方形頂點(diǎn)的距離相等通過(guò)計(jì)算看是否適合； （2）由（1）得到啟示，把正方形分割為三個(gè)長(zhǎng)方形，左邊的一個(gè)矩形的對(duì)角線(xiàn)能輻射的最大直徑為31，看能否把三個(gè)裝置放在三個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)的交

62、點(diǎn)處． 解答： 解：（1）如圖1，將正方形等分成如圖的四個(gè)小正方形，將這4個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置安裝在這4個(gè)小正方形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)處， 此時(shí)，每個(gè)小正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為 ，每個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置都能完全覆蓋一個(gè)小正方形區(qū)域， 故安裝4個(gè)這種裝置可以達(dá)到預(yù)設(shè)的要求； （2）（畫(huà)圖正確給1分） 將原正方形分割成如圖2中的3個(gè)矩形， 使得BE=OD=OC．將每個(gè)裝置安裝在這些矩形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)處， 則AE=，， ∴OD=， 即如此安裝三個(gè)這個(gè)轉(zhuǎn)發(fā)裝置，也能達(dá)到預(yù)設(shè)要求． 點(diǎn)評(píng)： 考查應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；解決本題的關(guān)鍵是先利用常見(jiàn)圖形得到合適的計(jì)算方法和思路，然后根據(jù)類(lèi)比方法利用覆蓋的最大距離得到

63、相類(lèi)似的解． 35、（2013?呼和浩特）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分線(xiàn)CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F， （1）的值為　　； （2）求證：AE=EP； （3）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定． 分析： （1）由正方形的性質(zhì)可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可證得：∠BAE=∠CEF，根據(jù)同角的正弦值相等即可解答； （2）在BA邊上截取BK=NE，連接K

64、E，根據(jù)角角之間的關(guān)系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，結(jié)合∠KAE=∠CEP，證明△AKE≌△ECP，于是結(jié)論得出； （3）作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，連接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知條件證明△ADM≌△BAE，進(jìn)而證明MD=EP，四邊形DMEP是平行四邊形即可證出． 解答： （1）解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠D， ∵∠AEP=90°， ∴∠BAE=∠FEC， 在Rt△ABE中，AE==， ∵sin∠BAE==sin∠FEC=， ∴=， （2）證明：在BA邊上截取BK=NE，連接KE， ∵∠B=90°，BK=BE，

65、 ∴∠BKE=45°， ∴∠AKE=135°， ∵CP平分外角， ∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°， ∴∠AKE=∠ECP， ∵AB=CB，BK=BE， ∴AB﹣BK=BC﹣BE， 即：AK=EC， 易得∠KAE=∠CEP， ∵在△AKE和△ECP中， ， ∴△AKE≌△ECP（ASA）， ∴AE=EP； （3）答：存在． 證明：作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M， 則有：DM∥EP，連接ME、DP， ∵在△ADM與△BAE中， ， ∴△ADM≌△BAE（AAS）， ∴MD=AE， ∵AE=EP， ∴MD=EP， ∴MDEP， ∴四邊形D

66、MEP為平行四邊形． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，圖形比較復(fù)雜，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線(xiàn)的準(zhǔn)確選擇． 　 36、（2013泰安）如圖，四邊形ABCD為正方形．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣3），反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A， （1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （2）求點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題． 分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，﹣3），再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式；同理，將點(diǎn)A，C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax+b中，運(yùn)用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)函數(shù)的解析式； （2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），先由△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，再將x的值代入y=﹣，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)． 解答