新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第11節(jié)　導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用

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2、 1 第11節(jié)　導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 課時訓(xùn)練 練題感 提知能　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 【選題明細(xì)表】 知識點、方法 題號 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 2、5、9、15 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 1、3、6、10、16 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 4、7、8 優(yōu)化問題 11、13 綜合應(yīng)用 12、14 A組 一、

3、選擇題 1.函數(shù)f(x)=4x3-3x2-6x+2的極小值為(　B　) (A)3 (B)-3 (C)154 (D)-154 解析:f′(x)=12x2-6x-6=6(x-1)(2x+1), 因此f(x)在（-∞,-12）,(1,+∞)上為增函數(shù), 在(-12,1)上為減函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在x=1處取到極小值f(1)=-3.故選B. 2.(20xx廣東省六校質(zhì)檢)已知y=13x3+bx2+(b+2)x+3是R上的單調(diào)增函數(shù),則b的取值范圍是(　D　) (A)b<-1或b>2 (B)b≤-1或b≥2 (C)-1

4、bx2+(b+2)x+3是R上的增函數(shù),即為其導(dǎo)函數(shù)y′=x2+2bx+b+2≥0,x∈R恒成立,所以Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2,故選D. 3.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則f(2)等于(　C　) (A)11或18 (B)11 (C)18 (D)17或18 解析:∵函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10, ∴f(1)=10,且f′(1)=0, 即1+a+b+a2=10,3+2a+b=0, 解得a=-3,b=3,或a=4,b=-11. 而當(dāng)a=-3,b=3時,函數(shù)在x=1處無極值,故舍去.

5、∴f(x)=x3+4x2-11x+16, ∴f(2)=18.故選C. 4.函數(shù)f(x)=x+2cos x在[0,π2]上取得最大值時x的值為(　B　) (A)0 (B)π6 (C)π3 (D)π2 解析:由于f′(x)=1-2sin x, 令f′(x)=0得,sin x=12, 又x∈[0,π2], 所以x=π6. 且f(π6)=π6+3, 又f(0)=2,f(π2)=π2, 所以f(π6)為最大值. 故選B. 5.(20xx濟(jì)寧模擬)若函數(shù)h(x)=2x-kx+k3在(1,+∞)上是增函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是(　A　) (A)[-2,+∞) (B)[2,+∞)

6、(C)(-∞,-2] (D)(-∞,2] 解析:因為h′(x)=2+kx2, 若h(x)在(1,+∞)上是增函數(shù), 則h′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立, 故2+kx2≥0恒成立, 即k≥-2x2恒成立. 又x>1, ∴-2x2<-2, 因此,需k≥-2,故選A. 6.(20xx湛江畢業(yè)班調(diào)研)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個公共點,則c等于(　A　) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 解析:∵y′=3(x+1)(x-1), ∴當(dāng)x=-1或x=1時取得極值, 由題意得f(1)=0或f(-1)=0, 即c-2=0或c+2

7、=0, 解得c=2或c=-2.故選A. 7.若函數(shù)f(x)=xx2+a(a>0)在[1,+∞)上的最大值為33,則a的值為(　D　) (A)33 (B)3 (C)3+1 (D)3-1 解析:f′(x)=x2+a-2x2(x2+a)2=a-x2(x2+a)2, 當(dāng)x>a時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減, 當(dāng)-a0,f(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)x=a時, 令f(x)=a2a=33,a=32<1,不合題意. ∴f(x)max=f(1)=11+a=33, a=3-1,故選D. 二、填空題 8.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在[-2,2]上有最

8、大值3,那么此函數(shù)在[-2,2]上的最小值為　　　　.? 解析:∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2), ∴f(x)在(-2,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減, 因此,當(dāng)x=0時,f(x)取得最大值, 即f(0)=m=3, 然而f(-2)=-37,f(2)=-5, 因此f(x)min=f(-2)=-37. 答案:-37 9.已知函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m是偶函數(shù),函數(shù)g(x)=-x3+2x2+mx+5在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則實數(shù)m=　　　　.? 解析:由已知得,m2-4=0, ∴m=±2. 若g(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

9、則g′(x)≤0恒成立, 即-3x2+4x+m≤0恒成立, 亦即3x2-4x-m≥0恒成立. ∴Δ=16+12m≤0, 解得m≤-43, 故m=-2. 答案:-2 10.函數(shù)f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]有極大值又有極小值,則a的取值范圍是　　　　.? 解析:∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令f′(x)=0得,x2+2ax+a+2=0, 若f(x)有極大值和極小值, 則方程x2+2ax+a+2=0有兩個不等實數(shù)根, ∴Δ=4a2-4(a+2)>0. 解得a>2或a<-1. 答案:(-∞,-1)∪(2,+∞) 11.做一個圓柱形鍋爐,

10、容積為V,兩個底面的材料每單位面積的價格為a元,側(cè)面的材料每單位面積的價格為b元,當(dāng)造價最低時,鍋爐的底面直徑與高的比為　　　　.? 解析:設(shè)圓柱底面半徑為R,高為h, 則V=πR2h, 則總造價y=2πR2a+2πRhb =2πR2a+2πRb·VπR2 =2πaR2+2bVR, 故y′=4πaR-2bVR2, 令y′=0得2Rh=ba. 故當(dāng)2Rh=ba時y取最小值. 答案:ba 三、解答題 12.(20xx浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c(x∈[-1,2]),且函數(shù)f(x)在x=1和x=-23處都取得極值. (1)求a,b的值; (2)求函

11、數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解:(1)由于f′(x)=3x2+2ax+b, 依題意知,f′(1)=0且f′(-23)=0, 所以3+2a+b=0,4-4a+3b=0, 解得a=-12,b=-2. (2)由(1)知,f(x)=x3-12x2-2x+c, f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). f′(x)>0得,x>1或x<-23. 又x∈[-1,2], 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[-1,-23 ),(1,2]. 13.(20xx汕頭市金山中學(xué)第一學(xué)期期中考試)某種商品的成本為 5元/ 件,開始按8元/件銷售,銷售量為50件,為了獲得最大利潤,商家先后采取了提價

12、與降價兩種措施進(jìn)行試銷.經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn):實際銷售價x(元)每上漲1元每天銷售量就減少10件;而降價后,日銷售量Q(件)與實際銷售價x(元)滿足關(guān)系: Q=39(2x2-29x+107)(5

13、(50,y=f(x)為增函數(shù), 當(dāng)6

14、4.設(shè)函數(shù)f(x)=a2ln x-x2+ax,a>0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)求所有的實數(shù)a,使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立.(注:e為自然對數(shù)的底數(shù)) 解:(1)因為f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0, 所以f′(x)=a2x-2x+a=-(x-a)(2x+a)x. 由于a>0, 所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,a),單調(diào)減區(qū)間為(a,+∞). (2)由題意得f(1)=a-1≥e-1, 即a≥e. 由(1)知f(x)在[1,e]內(nèi)單調(diào)遞增, 要使e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立. 只要f(1)=a-1≥e-1,f(e

15、)=a2-e2+ae≤e2解得a=e. B組 15.(20xx潮州市質(zhì)檢)定義域為R的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)+xf′(x)<0恒成立,若a=3f(3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=-2f(-2),則(　A　) (A)a>c>b (B)c>b>a (C)c>a>b (D)a>b>c 解析:設(shè)g(x)=xf(x),依題意得g(x)是偶函數(shù).當(dāng)x∈(-∞,0)時,f(x)+xf′(x)<0恒成立,即g′(x)<0恒成立,故g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,a=3f(3)=g(3), b=(logπ3)·f(logπ

16、3)=g(logπ3),c=-2f(-2)=g(-2)=g(2).又logπ3<1<2<3,故a>c>b.故選A. 16.(20xx中山市期末統(tǒng)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a(x+1)(x-a), 若f(x)在x=a處取得極大值,則a的取值范圍為　　　　.? 解析:若a>0時,則x∈(-1,a)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; x∈(a,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=a處取得極小值,不適合題意,舍去.若-10,f(x)單調(diào)遞增;x∈(a,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=a處取得極大值,適合題意.若a=-1時,函數(shù)沒有極值點,不適合題意.若a<-1時,則x∈(-∞,a)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;x∈(a,-1)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)在x=a處取得極小值,不適合題意.故適合題意的a的取值范圍是-1