新編高考數(shù)學(xué)文科一輪總復(fù)習(xí) 61

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第六篇 數(shù)列 第1講　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、填空題 1．在數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6的值是________． 解析　由an＋1＝an＋2＋an，得an＋2＝an＋1－an， ∴a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－2， a5＝a4－a3＝－5，a6＝a5－a4＝－3. 答案　－3 2．若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝，則＝________. 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，∴＝5×(5＋1)＝30. 答案　30 3．在數(shù)列{an

2、}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an＝______. 解析　由an＋1－an＝n＋1，可得an－an－1＝n， an－1－an－2＝n－1，an－2－an－3＝n－2， … a3－a2＝3，a2－a1＝2， 以上n－1個(gè)式子左右兩邊分別相加得， an－a1＝2＋3＋…＋n， ∴an＝1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝＋1. 答案　＋1 4．(2014·貴陽(yáng)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n2－1，則a3＝________. 解析　a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案　10 5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(

3、n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 解析　法一　(構(gòu)造法)由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ∴＝，∴數(shù)列是常數(shù)列． 且＝＝1，∴an＝n. 法二　(累乘法)：n≥2時(shí)，＝，＝. … ＝，＝， 兩邊分別相乘得＝n，又因?yàn)閍1＝1，∴an＝n. 答案　n 6．(2013·蚌埠模擬)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝－n2＋10n＋11，則該數(shù)列前________項(xiàng)的和最大． 解析　易知a1＝20>0，顯然要想使和最大，則應(yīng)把所有的非負(fù)項(xiàng)求和即可，令an≥0，則－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可見(jiàn)，當(dāng)n＝11時(shí)，a11＝0，故a10是最后一個(gè)正

4、項(xiàng)，a11＝0，故前10或11項(xiàng)和最大． 答案　10或11 7．(2014·廣州模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． 解析　∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，則當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，兩式左右兩邊分別相減得3n－1an＝，∴an＝(n≥2)．由題意知，a1＝，符合上式，∴an＝(n∈N*)． 答案　an＝ 8．(2013·淄博二模)在如圖所示的數(shù)陣中，第9行的第2個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析　每行的第二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，由題意知a2＝3，a3＝6

5、，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式兩邊同時(shí)相加得an－a2＝＝n2－2n， 所以an＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a9＝92－2×9＋3＝66. 答案　66 二、解答題 9．(2013·梅州調(diào)研改編)已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿(mǎn)足f(log2an)＝－2n. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列． (1)解　∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n， ∴＝－2n，∴an－＝－2n. ∴a＋2nan－1

6、＝0，解得an＝－n±. ∵an＞0，∴an＝－n. (2)證明?。? ＝＜1. ∵an＞0，∴aa＋1＜an，∴數(shù)列{an}是遞減數(shù)列． 10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍． 解　(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)， 又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項(xiàng)為a－3，公比為2的等比數(shù)列， 因此，所求通項(xiàng)

7、公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a不適合上式， 故an＝ an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12·n－2＋a－3≥0?a≥－9. 又a2＝a1＋3>a1. 綜上，所求的a的取值范圍是[－9，＋∞)． 能力提升題組 (建議用時(shí)：25分鐘) 一、填空題 1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

8、an＝，則滿(mǎn)足an＋1＜an的n的取值為_(kāi)_______． 解析　由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，又n∈N*，∴n＝5. 答案　5 2．(2014·湖州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　∵數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又an＝f(n)(n∈N*)， ∴?2

9、為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________. 解析　依題意得數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 答案　28 二、解答題 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2an＝S2＋Sn對(duì)一切正整數(shù)n都成立． (1)求a1，a2的值； (2)設(shè)a1>0，數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n.當(dāng)n為何值時(shí)，Tn最大？并求出Tn的最大值． 解　(1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2， ① 取n＝2，得a＝2a1＋2a2， ② 由②－①，得a2

10、(a2－a1)＝a2. ③ 若a2＝0，由①知a1＝0. 若a2≠0，由③知a2－a1＝1. ④ 由①④解得，a1＝＋1，a2＝2＋； 或a1＝1－，a2＝2－. 綜上可得，a1＝0，a2＝0；或a1＝＋1，a2＝＋2；或a1＝1－，a2＝2－. (2)當(dāng)a1>0時(shí)，由(1)知a1＝＋1，a2＝＋2. 當(dāng)n≥2時(shí)，有(2＋)an＝S2＋Sn，(2＋)an－1＝S2＋Sn－1， ∴(1＋)an＝(2＋)an－1，即an＝an－1(n≥2)， ∴an＝a1()n－1＝(＋1)·()n－1.令bn＝lg， 則bn＝1－lg()n－1＝1－(n－1)lg 2＝lg. ∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減的等差數(shù)列(公差為－lg 2)，從而b1>b2>…>b7＝lg>lg 1＝0， 當(dāng)n≥8時(shí)，bn≤b8＝lg