《新編一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習:第八章 第七節(jié) 拋物線 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新編一輪創(chuàng)新思維文數(shù)人教版A版練習:第八章 第七節(jié) 拋物線 Word版含解析(5頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
課時規(guī)范練
A組 基礎對點練
1.(20xx·沈陽質量監(jiān)測)拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標是( )
A.(0,a) B.(a,0)
C. D.
解析:將y=4ax2(a≠0)化為標準方程得x2=y(tǒng)(a≠0),所以焦點坐標為,所以選C.
答案:C
2.(20xx·遼寧五校聯(lián)考)已知AB是拋物線y 2=2x的一條焦點弦,|AB|=4,則AB中點C的橫坐標是( )
A.2 B.
C. D.
解析:設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=4,又p=1,所以x1+x2=3,所以點C的橫坐標是=.
答案:C
3.(20xx
2、·邯鄲質檢)設F為拋物線y2=2x的焦點,A、B、C為拋物線上三點,若F為△ABC的重心,則||+||+||的值為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:依題意,設點A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又焦點F,x1+x2+x3=3×=,則||+||+||=(x1+)+(x2+)+=(x1+x2+x3)+=+=3.選C.
答案:C
4.(20xx·沈陽質量監(jiān)測)已知拋物線x2=4y的焦點為F,準線為l,P為拋物線上一點,過P作PA⊥l于點A,當∠AFO=30°(O為坐標原點)時,|PF|=________.
解析:設l與y軸的交點為B,在Rt△ABF中
3、,∠AFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=,設P(x0,y0),則x0=±,代入x2=4y中,得y0=,從而|PF|=|PA|=y(tǒng)0+1=.
答案:
5.已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),⊙M的方程為x2+y2+8x+12=0,如果拋物線C的準線與⊙M相切,那么p的值為__________.
解析:將⊙M的方程化為標準方程:(x+4)2+y2=4,圓心坐標為(-4,0),半徑r=2,又拋物線的準線方程為x=-,∴|4-|=2,解得p=12或4.
答案:12或4
6.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A,B,C,若|BC|=2|
4、BF|,且|AF|=3,則拋物線的方程是__________.
解析:分別過點A、B作準線的垂線AE、BD,分別交準線于點E、D(圖略),則|BF|=|BD|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BD|,∴∠BCD=30°,又|AE|=|AF|=3,∴|AC|=6,即點F是AC的中點,根據題意得p=,∴拋物線的方程是y2=3x.
答案:y2=3x
7.已知拋物線y2=4px(p>0)的焦點為F,圓W:(x+p)2+y2=p2的圓心到過點F的直線l的距離為p.
(1)求直線l的斜率;
(2)若直線l與拋物線交于A、B兩點,△WAB的面積為8,求拋物線的方程.
解析:(1)
5、易知拋物線y2=4px(p>0)的焦點為F(p,0),依題意直線l的斜率存在且不為0,設直線l的方程為x=my+p,因為W(-p,0),
所以點W到直線l的距離為=p,解得m=±,所以直線l的斜率為±.
(2)由 (1)知直線l的方程為x=±y+p,由于兩條直線關于x軸對稱,不妨取x=y(tǒng)+p,
聯(lián)立消去x得y2-4py-4p2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4p,y1y2=-4p2,
所以|AB|=·=16p,
因為△WAB的面積為8,所以p×16p=8,得p=1,
所以拋物線的方程為y2=4x.
8.已知拋物線C1:x2=2py(p>0),O是坐標
6、原點,點A,B為拋物線C1上異于O點的兩點,以OA為直徑的圓C2過點B.
(1)若A(-2,1),求p的值以及圓C2的方程;
(2)求圓C2的面積S的最小值(用p表示).
解析:(1)∵A(-2,1)在拋物線C1上,∴4=2p,p=2.又圓C2的圓心為,半徑為=,∴圓C2的方程為(x+1)2+2=.
(2)記A(x1,),B(x2,).則=(x2,),=(x2-x1,).
由·=0知,x2(x2-x1)+=0.
∵x2≠0,且x1≠x2,∴x+x1·x2=-4p2,∴x1=-.
∴x=x++8p2≥2+8p2=16p2,當且僅當x=,即x=4p2時取等號.
又|OA|2=x +
7、=(x+4p2·x),注意到x≥16p2,
∴|OA|2≥(162·p4+4p2·16p2)=80p2.而S=π·,∴S≥20πp2,
即S的最小值為20πp2,當且僅當x=4p2時取得.
B組 能力提升練
1.(20xx·唐山統(tǒng)考)已知拋物線y2=2px(p>0),過點C(-2,0)的直線l交拋物線于A、B兩點,坐標原點為O,·=12.
(1)求拋物線的方程;
(2)當以AB為直徑的圓與y軸相切時,求直線l的方程.
解析:(1)設l:x=my-2,代入y2=2px,
得y2-2pmy+4p=0.(*)
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=2pm,y1y2
8、=4p,則x1x2==4.
因為·=12,所以x1x2+y1y2=12,即4+4p=12,
得p=2,拋物線的方程為y2=4x.
(2)(1)中(*)式可化為y2-4my+8=0,
y1+y2=4m, y1y2=8.
設AB的中點為M,
則|AB|=2xM=x1+x2=m(y1+y2)-4=4m2-4,①
又|AB|=|y1-y2|=,②
由①②得(1+m2)(16m2-32)=(4m2-4)2,
解得m2=3,m=±.
所以,直線l的方程為x+y+2=0或x-y+2=0.
2.如圖,由部分拋物線:y2=mx+1(m>0,x≥0)和半圓x2+y2=r2(x≤0)所組成的曲
9、線稱為“黃金拋物線C”,若“黃金拋物線C”經過點(3,2)和.
(1)求“黃金拋物線C”的方程;
(2)設P(0,1)和Q(0,-1),過點P作直線l與“黃金拋物線C”相交于A,P,B三點,問是否存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
解析:(1)∵“黃金拋物線C”過點(3,2)和,
∴r2=2+2=1,4=3m+1,∴m=1.
∴“黃金拋物線C”的方程為y2=x+1(x≥0)和x2+y2=1(x≤0).
(2)假設存在這樣的直線l,使得QP平分∠AQB,顯然直線l的斜率存在且不為0,
設直線l:y=kx+1,聯(lián)立,消去y,得k2x2+(2k-1)x=0,∴xB=,
yB=,即B,
∴kBQ=,
聯(lián)立,消去y,
得(k2+1)x2+2kx=0,
∴xA=-,yB=,
即A,
∴kAQ=-,
∵QP平分∠AQB,∴kAQ+kBQ=0,
∴-=0,解得k=-1±,
由圖形可得k=-1-應舍去,∴k=-1,
∴存在直線l:y=(-1)x+1,
使得QP平分∠AQB.