新版高考數學三輪講練測核心熱點總動員新課標版 專題19 立體幾何大題理 Word版含解析

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1、 1

2、 1 【名師精講指南篇】 【高考真題再現】 1.【20xx新課標全國】如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）證明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值. A B C C1 A1 B1 2.【20xx高考全國1】如圖，

3、三棱柱中，側面為菱形，.（Ⅰ）證明：;（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值. x 3.【20xx全國1理18】如圖所示，四邊形為菱形，，，是平面同一側的兩點，平面，平面，，． （1）求證：平面平面； （2）求直線與直線所成角的余弦值． （2）以為坐標原點，分別以，的方向為,軸正方向，為單位長度， 建立空間直角坐標系．由（Ⅰ）知，，， ，所以，， 所以，所以直線與直線所成角的余弦值為． 4.【20xx全國2理19】如圖所示，長方體中，，，，點分別在，上，，過點的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形 （1）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由） （2

4、）求直線AF與平面所成角的正弦值 圖（1）圖（2） 【熱點深度剖析】 縱觀20xx年20xx年的高考題對本熱點的考查，可以發(fā)現均以規(guī)則幾何體為背景，這樣建立空間直角坐標系較為容易， 20xx年以三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定、線面垂直、面面垂直的性質以及向量法求線面角，考查學生的化歸與轉化能力、空間想象能力以及基本運算能力. 20xx年以平放的三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定和二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解.20xx年分別考查異面直線所成角及線面角。突出考查空間想象能力和計算能力.從近幾年的高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的

5、判定、面面垂直的判定與性質、二面角等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質，考查二面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內容，同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題連續(xù)三年都沒涉及，而在小題中考查，從高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學生的空間想象能力、運算能力．故預測20xx

6、年高考，可能以錐體或斜棱柱為幾何背景，第一問以線面平行，面面平行為主要考查點，第二問可能是求二面角或探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力，也有可能求線面角． 【重點知識整合】 1.直線與平面平行的判定和性質 （1）判定：①判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行； ②面面平行的性質：若兩個平面平行，則其中一個平面內的任何直線與另一個平面平行. （2）性質：如果一條直線和一個平面平行，那么經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 注意：在遇到線面平行時，常需作出過已知直線且與已知平面相

7、交的輔助平面，以便運用線面平行的性質. 2.直線和平面垂直的判定和性質 （1）判定：①如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直.②兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直. （2）性質：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內所有直線都垂直.②如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行. 3.平面與平面平行 （1）判定：一個如果平面內有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行. 注意：這里必須清晰“相交”這個條件.如果兩個平面平行，那么在其中一個平面內的所有直線與另一個平面無公共點，即這些直線都

8、平行于另一個平面. （2）性質：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行. 注意：這個定理給出了判斷兩條直線平行的方法，注意一定是第三個平面與兩個平行平面相交，其交線平行. 4.兩個平面垂直的判定和性質 （1）判定：①判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. ②定義法：即證兩個相交平面所成的二面角為直二面角； 注意：在證明兩個平面垂直時，一般先從已知有的直線中尋找平面的垂線，若不存在這樣的直線，則可以通過添加輔助線解決，而作輔助線應有理論依據；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性質定理，即在一個平面內作交線的垂直，使之轉化為線面垂直

9、，然后進一步轉化為線線垂直. （2）性質：①如果兩個平面垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. ②兩個平面垂直，則經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內. 注意：性質定理中成立有兩個條件：一是線在平面內，二是線垂直于交線，才能有線面垂直. (3)立體幾何中平行、垂直關系的證明的基本思路是利用線面關系的轉化，即： 5.直線與平面所成的角 （1）定義：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角.當直線和平面垂直時，就說直線和平面所稱的角為直角；當直線與平面平行或在平面內時，就說直線和平面所稱的角為角.

10、 （2）范圍：； （3）求法：作出直線在平面上的射影,關鍵是找到異于斜足的一點在平面內的垂足，可根據面面垂直的性質定理來確定垂線. （4）最小角定理：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角是斜線與平面所成的角. 6. 二面角 （1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通過其平面角來度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；③角的兩邊與棱都垂直. （2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角

11、，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；②三垂線法：過其中一個面內一點作另一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過一點作棱的垂面，則垂面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角； （3）二面角的范圍：； 7 利用向量處理平行問題 （1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線； （2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面內的某一向量是共線（平行）；②證明直線的方向向量與平面的兩個不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進行證明；③證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直. （3）平面與平面平行的證明方法：證明兩個平面的法向量平行. 8（理）利

12、用向量處理垂直問題 （1）證明線線垂直，可證明兩條線的方向向量的數量積為0； （2）證明線面垂直方法：①根據線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；②轉化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線. （3）證明面面垂直的方法：①根據面面垂直的判定定理利用向量證明一個平面內的一條直線方向向量為另一個平面的法向量；②證明一個平面的法向量與另一人平面平行；③轉化為證明這兩個平面的法向量互相垂直. 9.利用向量處理角度問題 1.求異面直線所成的角的向量法：其基本步驟是（1）在a、b上分別?。换蛘呓⒖臻g直角坐標系用坐標表示;(2)由公式確定異面直線a與b所成角的大小. 2

13、.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量，并求出平面的一個法向量，若設斜線和平面所成的角為,由. 3.求二面角的向量法：方法（1）設，分別是平面的法向量，則向量和的夾角與二面角的平面角相等或互補. 方法（2）二面角的棱上確定兩個點，過分別在平面內求出與垂直的向量，則二面角的大小等于向量的夾角，即 【應試技巧點撥】 1. 線線平行與垂直的證明 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質定理；（3）面面平行的性質定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質定理的成立條件. 證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質定理；（3）面面

14、垂直的性質定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關系性質的傳遞性，垂直關系的多樣性. 2.線面平行與垂直的證明方法 線面平行與垂直位置關系的確定，也是高考考查的熱點，在小題中考查關系的確定，在解答題考查證明細節(jié). 線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個平面內的一個向量互相平行；證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 線面垂直的證明方

15、法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質定理；（4）向量法：證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行. 線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直. 3.面面平行與垂直的證明 （1）面面平行的證明方法：①反證法:假設兩個平面不平行，則它們必相交，在導出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質:垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；④向量法：證明兩個平面的法向量平行. （2）面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個平面的法向量垂直. 解題時要由已知相性質，由求證想判定，即分析法和綜合法相結合

16、尋找證明思路，關鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行垂直之間的轉化. 4.探索性問題 探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設存在，再去推理，下結論；二是運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據條件給出證明或計算. 5. 如何求線面角 （1）利用面面垂直性質定理，巧定垂足：由面面垂直的性質定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.

17、可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習題出現過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. （4）萬能方法，空間向量求解不用找角 設AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則. 6.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三

18、計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 法二：設,是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向內側，另一個指向外側（同等異補）， 則二面角的平面角

19、 7.如何建立適當的坐標系 根據幾何體本身的幾何性質，恰當建立空間直角坐標系最為關鍵，如果坐標系引入的恰當，合理，即能夠容易確定點的坐標，需要總結一些建系方法.常見建系方法： （1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標軸，如正方體，長方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個坐標軸，如圖1、2； （2）借助面面垂直的性質定理建系，若題目中出現側面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3； （3）借助棱錐的高線建系等.對于正棱錐，利用定點在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4. 8.如何確定平面的法向量 （

20、1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉化為待定系數法； （2）待定系數法：由于法向量沒有規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，于是可把法向量的某個坐標設為1，再求另兩個坐標.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設由解方程組求得. 9. 向量為謀求解立體幾何的探索性問題 空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問題，它無需進行復雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷，在解題過程中，往往把“是否存在”問題，轉化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問題的解集更加簡單、有效，應善于運用這一方法解題. 【考場經驗分

21、享】 1．在推證線面平行時，一定要強調直線不在平面內，否則，會出現錯誤． 2．可以考慮向量的工具性作用，能用向量解決的盡可能應用向量解決，可使問題簡化． 3．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質定理的聯合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化． 4．面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． 5．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法

22、證直線a∥b，只需證明它們的方向向量滿足(λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調直線在平面外． 6．利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉化為各空間角．因為向量夾角與各空間角的定義、范圍不同． 【名題精選練兵篇】 1．【20xx屆河南省洛陽市一中高三下學期第二次模擬】如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））． （1）求證：； （2）若，直線與平面所成的角為，求長． 【解析】 （1） . 又平面. 平面，. 解之得，或（舍去）. 所以的長為. 2．【20xx屆河北省邯鄲一中高三下第一次模擬】

23、直三棱柱中，，分別是的中點，，為棱上的點． （1）證明：； （2）是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由． 因為，所以，所以 3．【20xx屆陜西省西安一中等八校高三下聯考】如圖，在四棱錐中，已知棱，，兩兩垂直，長度分別為1，2，2.若（），且向量與夾角的余弦值為. （1）求的值； （2）求直線與平面所成角的正弦值. 4．【20xx屆青海省平安一中高三4月月考】在長方體中，，過、、三點的平面截去長方體的一個角后，得如圖所示的幾何體，且這個幾何體的體積為. （1）求棱的長； （2）若的中點為 ，

24、求異面直線與所成角的余弦值. 5．【20xx屆四川省成都市七中高三考】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，且有的中點. （1）求證：平面； （2）求二面角的大小. 【解析】 （1）取的中點，連接. 在中，是的中點，是的中點，所以， 又因為，所以，且. 所以四邊形為平行四邊形，所以. 又因為平面，平面，故平面. （2）由（1）可知平面的一個法向量是. 因為平面，所以，又因為，所以平面. 故是平面的一個法向量. 所以，，又二面角為銳角， 故二面角的大小為. 6．【20xx屆河北省衡水中學高三下學期一模考試】如圖，四邊形是直角梯形，，又，直線

25、與直線所成的角為. （1）求證：； （2）求二面角的余弦值； （3）求點到平面的距離. 【解析】(1) 平面，平面， 顯然，二面角為銳二面角， 所以二面角的余弦值為 （3）點到平面的距離. 7．【20xx屆寧夏六盤山高中高三第二次模擬】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，,E為PC的中點. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值. 設平面BDE的一個法向量為, 由 ，由圖知二面角是銳二面角 所以二面角的余弦值為. 8．【20xx屆重慶市巴蜀中學高三3月月考】如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，. （1）求證：面面； （2

26、）設為上一點，滿足，若直線與平面所成的角的正切值為，求二面角的余弦值. 設平面的法向量為， 則，取， 所以，所以二面角余弦值為. 9．【20xx屆福建省漳州市高三下學期第二次模擬】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側面底面，，， 分別為的中點，點在線段上． F C A D P M B E （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）如果直線與平面所成的角和直線與平面所成的角相等，求的值． （Ⅱ）解：因為底面，，所以兩兩垂直，故以 分別為軸、軸和軸，如上圖建立空間直角坐標系， 則， 所以，，， 設，則， 所以，，

27、 易得平面的法向量． 設平面的法向量為， 由，，得 令， 得． 10. 【四川省資陽市20xx屆高三第二次診斷】四棱錐S－ABCD中，側面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、SC的中點． (Ⅰ)求證：MN∥平面SAD； (Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值． [解法二]:如圖，取的中點，連結、，連結SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，則，所以，則有，所以是二面角的平面角，設，則，，，，，則，所以二面角的余弦值為． 11. 【山東省濟南市20xx屆高三上學期期末】在四棱錐，平面ABCD，PA=2. （I）設平面

28、平面，求證：； （II）設點Q為線段PB上一點，且直線QC與平面PAC所成角的正切值為，求的值. 12. 【山東省日照市20xx屆高三3月模擬】在如圖所示的空間幾何體中，平面平面ABC，是邊長為2的等邊三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角為60°，且點E在平面ABC上的射影落在的平分線上. （I）求證：DE//平面ABC； （II）求二面角的余弦值. 13. 【吉林省實驗中學20xx屆高三第三次模擬】如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝1，AD＝，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動． （Ⅰ）證明：無論點E在邊BC的

29、何處，都有PE⊥AF； （Ⅱ）當BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小是45°？ A B C D P E F A B C D P E F z x y 14. 【江西省九江市20xx年第一次模擬】如圖所示，在長方體中，，()，、分別是和的中點，且平面. （1）求的值； （2）求二面角的余弦值. 【解析】以為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，設，則，則，，，，，，， 15. 【遼寧省朝陽市三校協(xié)作體20xx屆高三下學期開學聯考】如圖，在三棱柱中，已知，，，. (1)求證：； (2)設 ()，且平面與所成的銳二面角的大小為30

30、°，試求l的值. 【解析】（1）因為側面,側面，故, 在中, 由余弦定理得：，所以故,所以, 而. 16. 【山東省青島市20xx屆高三上學期期末】如圖，ABCD為梯形，平面ABCD，AB//CD，，E為BC中點，連結AE，交BD于O. （I）平面平面PAE （II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可） 【解析】 (Ⅰ) 連結 ，，,所以，為中點,所以,，因為,， 所以與為全等三角形，所以，所以與為全等三角形，所以在中,,即，又因為平面,平面，所以，而，所以平面，因為平面，所以平面平面； (Ⅱ) 以為原點,分別以所在直線為軸,

31、建立空間直角坐標系如圖 【名師原創(chuàng)測試篇】 1．如圖所示的幾何體中，內接于圓，且是圓的直徑，四邊形為矩形，且. (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若且二面角所成角的余弦值是,試求該幾何體的體積. 【解析】（Ⅰ）是圓的直徑，.又四邊形為矩形，. 又平面，且，平面.又平面，. （Ⅱ）因為四邊形為矩形，.又，平面，∴平面，設.以所在直線分別為軸，軸，軸，如圖所示，則，，，，由于平面，可取平面的一個法向量是.設為平面的一個法向量，由條件得，，， ，即 .不妨令，則，，.又二面角所成角的 2. 已知四棱錐

32、的底面是平行四邊形，分別是的中點，，，． （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值． （Ⅱ）以為坐標原點，直線分別為軸，以過點垂直于面的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設，則，，，，，，．所以，．設面的法向量，則有，令，，，所以，面的法向量，則，所以二面角的余弦值為． 3. 如圖1，在中，，分別是上的點，且.將沿折起到的位置，使，如圖2. （Ⅰ）是的中點，求與平面所成角的大小； （Ⅱ）求二面角的正切值. （Ⅱ）因為平面.所以是平面的法向量.設平面與平面所成的角為.所以 ， ，所以二面角的正切值為 4. 如圖，矩形所在平面

33、與直角梯形所在平面垂直，其中，，，，.、分別為、的中點. （1）求證：平面； （2）求二面角的余弦值. 解法二（向量法） 因為平面平面，平面平面，又矩形中，，所以平面， 又，故平面. 如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，故，. 因為平面平面，平面平面，又因為，所以面.故為面的一個法向量. 設平面的法向量為，則由，可得，即.不妨取，則，.所以平面的一個法向量為. 故. 設二面角為，由圖可知，，所以. 5. 如圖所示,棱柱為正三棱柱,且,其中點分別為的中點. (1)求證:平面; (2)求證:平面; 【解析】(1)證明:作的中點,連結.在

34、中,,又據題意知，． ∴，∴四邊形為平行四邊形.∴，又平面，平面．∴平面． (2)證明:棱柱為正三棱柱，平面 ，又平面，，是正三角形且 ，，綜上,且,平面，平面 ，又 ，平面， 6. 如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點． （Ⅰ）求證：AF//平面BDH； （Ⅱ）求二面角A﹣FE﹣C的大小． 【解析】設，取的中點，連接，因為四邊形是矩形，分別為的中點，所以 ，又因為 平面，所以 平面，因為四邊形是菱形，所以 ，得兩兩垂直.所以以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系. F B C E A H D O z N x y