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1、新編高考數(shù)學復習資料
第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和
[來源:]
考點一
等比數(shù)列的判定與證明
[例1] 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．
[自主解答] an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝＝＝＝2，
∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.
∴b1＝a2－2a1＝3.
∴數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．
【互動探究】
保持本例條件不變，若cn＝，證明：{cn}是等比數(shù)列．
證明：由例題
2、知，bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
∴－＝3.
∴數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列．
∴＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
∴an＝(3n－1)·2n－2，∴cn＝2n－2.
∴＝＝2.
∴數(shù)列{cn}為等比數(shù)列．
【方法規(guī)律】
等比數(shù)列的判定方法
證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可．
已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·a
3、m(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結論一定正確的是( )
A．數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm
B．數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m
C．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2
D．數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm
解析：選C bn＝am(n－1)＋1·(1＋q＋q2＋…＋qm－1)，＝＝qm，故數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為qm，選項A、B均錯誤；cn＝a·q1＋2＋…＋(m－1)，＝＝m＝(qm)m＝qm2，故數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2，D錯誤，故選C.
高頻考點
考點二 等比數(shù)列的基本運算 [來源:]
1．等比數(shù)列的基本運算
4、是高考的常考內容，題型既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中，屬中低檔題．
2．高考對等比數(shù)列的基本運算的考查常有以下幾個命題角度：
(1)化基本量求通項；
(2)化基本量求特定項；
(3)化基本量求公比；
(4)化基本量求和．
[例2] (1)(2013·新課標全國卷Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝( )
A. B．－ C. D．－
(2)(2012·浙江高考)設公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝________.
(
5、3)(2013·湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.
①求數(shù)列{an}的通項公式；
②是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2 013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．
[自主解答] (1)由已知條件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝9a1，設數(shù)列{an}的公比為q，則q2＝9.
所以a5＝9＝a1·q4＝81a1，得a1＝.
(2)由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2作差，可得a3＋a4＝3a4－3a2，即2a4－a3－3a2＝0，所以2q2－q－3＝0，解得q＝或q＝－1(舍)．
(3)①設數(shù)列{
6、an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.
由題意得
即解得
故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3×(－2)n－1.
②由①有Sn＝＝1－(－2)n.[來源:]
若存在n，使得Sn≥2 013，則1－(－2)n≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
當n為偶數(shù)時，(－2)n>0，上式不成立；
當n為奇數(shù)時，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即2n≥2 012，則n≥11.
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．
[答案] (1)C (2)
等比數(shù)列基本量運算問題的常見類型及解題策略
(1)化基本量求通項．求等比
7、數(shù)列的兩個基本元素a1和q，通項便可求出，或利用知三求二，用方程求解．
(2)化基本量求特定項．利用通項公式或者等比數(shù)列的性質求解．
(3)化基本量求公比．利用等比數(shù)列的定義和性質，建立方程組求解．
(4)化基本量求和．直接將基本量代入前n項和公式求解或利用等比數(shù)列的性質求解．
1．(2013·新課標全國卷Ⅰ)設首項為1，公比的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝3an－2
C．Sn＝4－3an D．Sn＝3－2an
解析：選D 因為a1＝1，公比q＝，所以an＝n－1，
Sn
8、＝＝3＝3－2n－1＝3－2an.
2．(2014·寧波模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
解析：設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，
∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴
由①得a1＝q，
由②知q＝2或q＝，
又數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，
∴a1＝q＝2，從而an＝2n.
答案：2n
3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
解：(1)∵S1，S3，S2成等差
9、數(shù)列，
∴a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)．
由于a1≠0，故2q2＋q＝0，
又q≠0，從而q＝－.
(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4，
從而Sn＝＝.
考點三
等比數(shù)列的性質
[例3] (1)已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，則前9項之和等于( )
A．50 B．70 C．80 D．90
(2)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝( )
A．7 B．5 C．－5 D．
10、－7[來源:]
[自主解答] (1)∵S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，
∴S3·(S9－S6)＝(S6－S3)2，
又S3＝40，S6＝40＋20＝60，
∴40(S9－60)＝202，故S9＝70.
(2)由已知得
解得或
當a4＝4，a7＝－2時，易得a1＝－8，a10＝1，從而a1＋a10＝－7；[來源:]
當a4＝－2，a7＝4時，易得a10＝－8，a1＝1，從而a1＋a10＝－7.
[答案] (1)B (2)D
【方法規(guī)律】
等比數(shù)列常見性質的應用
等比數(shù)列性質的應用可以分為三類：(1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3)前n項和公式的變形
11、．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
1．記等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，則m的值為( )
A．4 B．7 C．10 D．12
解析：選A 因為{an}是等比數(shù)列，所以am－1am＋1＝a，
又由am－1am＋1－2am＝0，可知am＝2.
由等比數(shù)列的性質可知前(2m－1)項積T2m－1＝a，即22m－1＝128，故m＝4.
2．在等比數(shù)列{an}中，若a1·a2·a3·a4＝1，a13·a14·a15·a16＝8，則a
12、41·a42·a43·a44＝________.
解析：法一：a1·a2·a3·a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝a·q6＝1，①
a13·a14·a15·a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8，②
由②÷①，得＝q48＝8?q16＝2，
又a41·a42·a43·a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a·q6)·(q16)10＝1×210＝1 024.
法二：由性質可知，依次4項的積為等比數(shù)列，
設公比為q，
T1＝a1·a2·a3·a4＝1，T4＝a13·a14·a16＝8，
∴T4
13、＝T1·q3＝1·q3＝8，即q＝2.
∴T11＝a41·a42·a43·a44＝T1·q10＝210＝1 024.
答案：1 024
——————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
2個注意點——應用等比數(shù)列的公比應注意的問題
(1)由an＋1＝qan(q≠0)，并不能斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.
(2)在應用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1和q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情況而導致錯誤．
4種方法——等比數(shù)列的判定方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù))或＝q(q為非零
常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項法：在數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；
(4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．
注意：前兩種方法也可用來證明一個數(shù)列為等比數(shù)列．
新編高考數(shù)學復習：第五章 ：第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和突破熱點題型
