高三數(shù)學北師大版文一輪教師用書：第4章 第6節(jié)　正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　正弦定理與余弦定理、三角形中的幾何計算 [最新考綱]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題． (對應學生用書第76頁) 1．正弦、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC的外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C. 變形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)

2、＝＝2R. cos A＝； cos B＝； cos C＝. 2.三角形常用面積公式 (1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)； (2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； (3)S＝r(a＋b＋c)(r為內切圓半徑)． 1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sin A＞sin B. 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A； c＝bcos A＋acos B. 3．內角和公式的變形 (1)sin(A＋B)＝sin C； (2)cos(A＋B)＝－cos C. 一、思考辨析(正確的打“

3、√”，錯誤的打“×”) (1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角之比． (　　) (2)在△ABC中，若sin A＞sin B，則A＞B. (　　) (3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素． (　　) (4)當b2＋c2－a2＞0時，△ABC為銳角三角形；當b2＋c2－a2＝0時，△ABC為直角三角形；當b2＋c2－a2＜0時，△ABC為鈍角三角形． (　　) [答案](1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，則b＝(　　) A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　

4、D. D　[由＝得b＝＝＝×2＝.] 2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有(　　) A．無解 B．兩解 C．一解 D．解的個數(shù)不確定 B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12， ∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b. ∴此三角形有兩解．] 3．在△ABC中，acos A＝bcos B，則這個三角形的形狀為________． 等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形

5、．] 4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于________． 2　[因為＝，所以sin B＝1，所以 B＝90°， 所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.] (對應學生用書第76頁) ⊙考點1　利用正、余弦定理解三角形 　解三角形的常見題型及求解方法 (1)已知兩角A，B與一邊a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知兩邊b，c及其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三邊a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知兩邊a，b及其中一邊的對角A，由正

6、弦定理＝可求出另一邊b的對角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通過＝求角B時，可能有一解或兩解或無解的情況． (1)(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，則＝(　　) A．6　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 (2)(2019·全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. ①求A； ②若a＋b＝2c，求sin C. (1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C， ∴

7、由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6. 故選A.] (2)[解]?、儆梢阎胹in2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因為0°＜A＜180°，所以A＝60°. ②由①知B＝120°－C，由題設及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(

8、C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝. 　解三角形問題，關鍵是利用正、余弦定理實施邊和角的轉化，三角變換的相關公式如兩角和與差的正、余弦公式，二倍角公式等，作為化簡變形的重要依據． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，則B＝________. 　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.] 2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC邊上中線AD＝，則BC＝________. 9　[設BD＝DC

9、＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α， 在△ADC中，(7)2＝x2＋－2x×cos α， ① 在△ABD中，(4)2＝x2＋－2x×cos(π－α)， ② ①＋②得x＝， ∴BC＝9.] 3．(2019·貴陽模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，C＝120°. (1)求邊長a； (2)求AB邊上的高CD的長． [解](1)由題意得b＝a＋2，c＝a＋4， 由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3. (2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面積公式得 ab

10、sin∠ACB＝c×CD， 所以CD＝＝＝， 即AB邊上的高CD＝. 法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由正弦定理得＝＝， 即sin A＝， 在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝， 即AB邊上的高CD＝. [教師備選例題] 　(2018·天津高考)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsin A＝acos. (1)求角B的大?。? (2)設a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值． [解](1)在△ABC中， 由正弦定理＝， 可得bsin A＝asin B， 又由bsin A＝acos， 得asin B＝acos， 即

11、sin B＝cos， 可得tan B＝. 又因為B∈(0，π)，可得B＝. (2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝. 由bsin A＝acos， 可得sin A＝. 因為a＜c，故cos A＝. 因此sin 2A＝2sin Acos A＝， cos 2A＝2cos2A－1＝， 所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝. ⊙考點2　與三角形面積有關的問題 　三角形面積公式的應用原則 (1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個

12、角就使用哪一個公式． (2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化． 　(2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． [解](1)由題設及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A. 因為sin A≠0，所以sin＝sin B. 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos， 故cos＝2sincos. 因為cos≠0，故sin＝，所以B＝60°. (2)由題設及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定

13、理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°. 由(1)知A＋C＝120°， 所以30°＜C＜90°，故＜a＜2，從而＜S△ABC＜. 因此，△ABC面積的取值范圍是. (1)若已知一個角(角的大小或該角的正弦值、余弦值)，一般結合題意求夾這個角的兩邊或兩邊之積，再代入公式求解． (2)若已知三邊，可先求一個角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面積． (3)若求面積的最值，一般表示為一個內角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求解，也可結合基本不等式求解． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝

14、2c，B＝，則△ABC的面積為________． 6　[法一：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6. 法二：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面積S＝×2×6＝6.] 2．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2acos B. (1

15、)證明：A＝2B； (2)若△ABC的面積S＝，求角A的大?。? [解](1)證明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B) ＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)． 又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B. (2)由S＝，得absin C＝， 故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B， 由sin B≠0，得sin C＝cos B.

16、 又B，C∈(0，π)．所以C＝±B. 當B＋C＝時，A＝；當C－B＝時，A＝. 綜上，A＝或A＝. [教師備選例題] 　已知△ABC的面積為3，AC＝2，BC＝6，延長BC至D，使∠ADC＝45°. (1)求AB的長； (2)求△ACD的面積． [解](1)因為S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3， 所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°， 又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2. (2)在△ACD中，因為∠ACB＝150°，∠ADC＝

17、45°， 所以∠CAD＝105°， 由正弦定理得＝， 所以CD＝3＋， 又∠ACD＝180°－150°＝30°， 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝. ⊙考點3　判斷三角形的形狀 　判斷三角形形狀的兩種思路 (1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀． (2)化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論． 　設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形

18、C．鈍角三角形 D．不確定 B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A， 即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A. ∵A∈(0，π)，∴sin A＞0， ∴sin A＝1， 即A＝，∴△ABC為直角三角形．] 　在判斷三角形的形狀時，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隱含條件．另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響，在等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應提取公因式，以免漏解． 　在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形 C　[因為＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因為A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等邊三角形．]