高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)業(yè)分層測評9 漸開線與擺線 Word版含解析

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1、 學(xué)業(yè)分層測評(九) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)的基圓的周長是(　　) A．π　　　　B．2π　　　　C．3π　　　　D．4π 【解析】　圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，所以基圓的周長為2π，故選B. 【答案】　B 2．給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的擺線和漸開線方程

2、時(shí)，如果建立的坐標(biāo)系原點(diǎn)和坐標(biāo)軸選取不同，可能會(huì)得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點(diǎn)而且是惟一的交點(diǎn)． 其中正確的說法有(　　) A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 【解析】?、馘e(cuò)，②正確，對于一個(gè)圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標(biāo)系的不同，其在坐標(biāo)系中的位置也會(huì)不同，相應(yīng)的參數(shù)方程也會(huì)有所區(qū)別，故③正確，至于漸開線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)要看選取的坐標(biāo)系的位置．故④錯(cuò)誤，故選C. 【答案】　C 3．當(dāng)φ＝2π時(shí)，圓的漸開線上的點(diǎn)是(　　) A．(6,0) B．(6,6π) C．(6，－12π) D．(－π，12π) 【解析】　當(dāng)φ＝2

3、π時(shí)，代入圓的漸開線方程． ∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. 【答案】　C 4．已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中與參數(shù)φ＝對應(yīng)的點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為(　　) A.－1 B. C. D. 【解析】　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A， ∴|AB|＝＝. 【答案】　C 5．已知一個(gè)圓的擺線過點(diǎn)(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 【解析】　圓的擺線的參數(shù)方程為 令r(1

4、－cos φ)＝0， 得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ) 得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(1,0)． ∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝. 又r＞0，∴k∈N＋. 【答案】　A 二、填空題 6．已知圓的方程為x2＋y2＝4，點(diǎn)P為其漸開線上一點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)φ＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________． 【解析】　由題意，圓的半徑r＝2，其漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 當(dāng)φ＝時(shí)，x＝π，y＝2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(π，2)． 【答案】　(π，2) 7．已知平擺線的方程為(α為參數(shù))，則該平擺線的拱高是________，周期是________． 【解

5、析】　由已知方程可化為 知基圓半徑為r＝1， ∴拱高為2r＝2，周期為2π. 【答案】　2　2π 8．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________． 【解析】　根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2＋y2＝36，把基圓的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線的方程為2＋y2＝36，整理可得＋＝1，這是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．c＝＝＝6，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6，0)和(－6，0)． 【答案】　(6，0)和(－6，0) 三、解答題 9．已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))和直線l對應(yīng)的普

6、通方程是x－y－6＝0. (1)如果把圓心平移到原點(diǎn)O，請問平移后圓和直線有什么位置關(guān)系？ (2)寫出平移后圓的漸開線方程． 【解】　(1)圓C平移后圓心為O(0,0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的． (2)由于圓的半徑是6，所以可得漸開線方程是(φ為參數(shù))． 10．有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22 mm，求齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程． 【解】　因?yàn)榛鶊A的直徑為22 mm，所以基圓的半徑為11 mm，因此齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． [能力提升] 1．如圖2-4-1，四邊形ABCD是邊長為

7、1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中、、、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長是(　　) 圖2-4-1 A．3π B．4π C．5π D．6π 【解析】　根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長，長度為π；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2π，所以曲線AEFGH的長是5π. 【答案】　C 2．我們知道關(guān)于直線y＝x對稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對稱的曲線的參數(shù)方程為________． 【解析】　關(guān)于直線y＝x對稱的函數(shù)互為反函數(shù)，

8、而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于y＝x對稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換． 【答案】　(φ為參數(shù)) 3．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對應(yīng)的基圓的直徑是________，當(dāng)參數(shù)φ＝時(shí)對應(yīng)的曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 【解析】　圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當(dāng)φ＝時(shí)對應(yīng)的坐標(biāo)只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對應(yīng)的坐標(biāo)為. 【答案】　2　 4．如圖2-4-2，若點(diǎn)Q在半徑AP上(或在半徑AP的延長線上)，當(dāng)車輪滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡稱為變幅平擺線，取|AQ|＝或|AQ|＝，請推出Q的軌跡的參數(shù)方程． 圖2-4-2 【解】　設(shè)Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)， 則當(dāng)|AQ|＝時(shí)， 有代入 ∴點(diǎn)Q的軌跡的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 當(dāng)AQ＝時(shí)，有 代入 ∴點(diǎn)Q的軌跡方程為(θ為參數(shù))． 最新精品資料