新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四：第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明問題案文

《新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四：第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明問題案文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四：第2講空間中位置關(guān)系的判斷與證明問題案文（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第2講　空間中位置關(guān)系的判斷與證明問題 高考定位　1.以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以選擇、填空題的形式，題目難度較小；2.以解答題的形式考查空間平行、垂直的證明，并常與幾何體的表面積、體積相滲透. 真 題 感 悟 1.(2017·全國Ⅰ卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) 解析　法一　對于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳B∥CD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MN

2、Q，所以AB∥平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A項(xiàng)不正確. 　　 圖(1)　　　　　　　　圖(2) 法二　對于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQ∥AB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.A項(xiàng)不正確. 答案　A 2.(2016·全國Ⅱ卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確

3、的命題有________(填寫所有正確命題的編號). 解析　當(dāng)m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④. 答案?、冖邰? 3.(2016·全國Ⅰ卷)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析　如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因?yàn)棣痢纹矫鍯B1D1，所以m1∥m， 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

4、所以B1D1∥m1，故B1D1∥m. 因?yàn)槠矫鍭BB1A1∥平面DCC1D1， 且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1， 同理可證CD1∥n. 故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為. 答案　A 4.(2017·全國Ⅰ卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P－ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積. (1)證明　∵∠B

5、AP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD. ∵AB∥CD，∴AB⊥PD. 又∵PA∩PD＝P，PA，PD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD. ∵AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. (2)解　取AD的中點(diǎn)E， 連接PE. ∵PA＝PD，∴PE⊥AD. 由(1)知，AB⊥平面PAD， 故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD. 設(shè)AB＝x，則由已知可得AD＝x，PE＝x， 故四棱錐P－ABCD的體積 VP－ABCD＝AB·AD·PE＝x3. 由題設(shè)得x3＝，故x＝2. 從而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2， 可得四棱

6、錐P－ABCD的側(cè)面積為 PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2. 考 點(diǎn) 整 合 1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.

7、 (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 熱點(diǎn)一　空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定 【例1】　(2017·成都診斷)已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且m?α，n?β.有下列命題： ①若α∥β，則m∥n； ②若α∥β，則m∥β； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α⊥β； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，則α⊥β. 其中真命題的個數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析?、偃籀痢桅?，則m∥n或m，n異面，不正確； ②若α∥β，根據(jù)平面與平面

8、平行的性質(zhì)，可得m∥β，正確； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，則α與β不一定垂直，不正確； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l與n不一定相交，不能推出α⊥β，不正確. 答案　B 探究提高　判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的方法 (1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷. (2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定. (3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷. 【訓(xùn)練1】 (2017·廣東省際名校聯(lián)考)已知α，β

9、為平面，a，b，c為直線，下列命題正確的是(　　) A.a?α，若b∥a，則b∥α B.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，則b⊥β C.a⊥b，b⊥c，則a∥c D.a∩b＝A，a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α∥β 解析　選項(xiàng)A中，b?α或b∥α，不正確. B中b與β可能斜交，B錯誤. C中a∥c，a與c異面，或a與c相交，C錯誤. 利用面面平行的判定定理，易知D正確. 答案　D 熱點(diǎn)二　空間平行、垂直關(guān)系的證明 【例2】　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證： (

10、1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)∵平面PAD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA?平面PAD， ∴PA⊥底面ABCD. (2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四邊形ABED為平行四邊形. ∴BE∥AD. 又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD， ∴BE∥平面PAD. (3)∵AB⊥AD，而且ABED為平行四邊形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD. ∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD， ∴C

11、D⊥平面PAD，又PD?平面PAD， ∴CD⊥PD. ∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， ∴PD∥EF. ∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E， ∴CD⊥平面BEF，又CD?平面PCD， ∴平面BEF⊥平面PCD. 【遷移探究1】　在本例條件下，證明平面BEF⊥平面ABCD. 證明　如圖，連接AC，設(shè)AC∩BE＝O，連接FO，AE. ∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，CE＝CD， ∴AB綉CE. ∴四邊形ABCE為平行四邊形. ∴O為AC的中點(diǎn)，則FO綉PA，又PA⊥平面ABCD， ∴FO⊥平面ABCD.又FO?平面BEF， ∴平面BEF⊥平面ABCD

12、. 【遷移探究2】　在本例條件下，若AB＝BC，求證：BE⊥平面PAC. 證明　連接AC，AC∩BE＝O. AB∥CD，CD＝2AB，且E為CD的中點(diǎn). ∴AB綉CE. 又∵AB＝BC， ∴四邊形ABCE為菱形，∴BE⊥AC. 又∵PA⊥平面ABCD，又BE?平面ABCD， ∴PA⊥BE，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC， ∴BE⊥平面PAC. 探究提高　垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. (4)證明面面垂

13、直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 熱點(diǎn)三　平面圖形中的折疊問題 【例3】　(2016·全國Ⅱ卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于點(diǎn)H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置. (1)證明：AC⊥HD′； (2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱錐D′－ABCFE的體積. (1)證明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD， 又由AE＝CF得＝，故AC∥EF， 由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′. (2)解　由EF∥AC得＝＝. 由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，

14、 所以O(shè)H＝1，D′H＝DH＝3， 于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2， 故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H， 所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′， 又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O， 所以O(shè)D′⊥平面ABC. 又由＝得EF＝. 五邊形ABCFE的面積S＝×6×8－××3＝. 所以五棱錐D′－ABCFE的體積V＝××2＝. 探究提高　1.解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口.一般地翻折后還在同一個平面上的圖形

15、的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的圖形的性質(zhì)發(fā)生變化. 2.在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形，善于將折疊后的量放在原平面圖形中進(jìn)行分析求解. 【訓(xùn)練3】 (2017·成都診斷)如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，點(diǎn)G，R分別在線段DH，HB上，且＝.將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，B，C重合于點(diǎn)P，如圖2所示. 圖1　　　　　　　　圖2 (1)求證：GR⊥平面PEF； (2)若正方形ABCD的邊長為4，求三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑. (1)證明　

16、在正方形ABCD中，∠A，∠B，∠C為直角. ∴在三棱錐P－DEF中，PE，PF，PD兩兩垂直. 又PE∩PF＝P，∴PD⊥平面PEF. ∵＝，即＝， ∴在△PDH中，RG∥PD. ∴GR⊥平面PEF. (2)解　正方形ABCD邊長為4. 由題意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2. ∴S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4. S△DEF＝×2×＝6. 設(shè)三棱錐P－DEF內(nèi)切球的半徑為r， 則三棱錐的體積為VP－DEF＝×PD·S△PEF ＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝. ∴三棱錐P－DEF的內(nèi)切球的半徑為. 1.空間中

17、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定 (1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會找特例、反例.(2)可以借助長方體，在理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義. 2.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換. (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即

18、可，l⊥α，a?α?l⊥a. 3.解決平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是抓住平面圖形翻折前后的不變“性”與“量”，即兩條直線的平行與垂直關(guān)系以及相關(guān)線段的長度、角度等. 一、選擇題 1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 解析　由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確.故選C. 答案　C 2.(2017·全國Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(　　) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.

19、A1E⊥AC 解析　如圖，由題設(shè)知，A1B1⊥平面BCC1B1，從而A1B1⊥BC1. 又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E?平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1. 答案　C 3.(2017·梅州質(zhì)檢)已知α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(　　) A.若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B.若m⊥α，n⊥m，則n∥α C.若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n D.若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β 解析　對于A，m∥α，α∩β＝n，則m∥n或m，n異面，故A錯誤；對于B，若m⊥α，n⊥m，則

20、n∥α或n?α，故B錯誤；對于C，若n⊥β，α⊥β，則n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，故C正確；對于D，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m可能與β相交，也可能與β平行，也可能在β內(nèi)，故D錯誤.故選C. 答案　C 4.如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列正確的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE 解析　因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，又BE∩DE＝E，于是AC⊥平

21、面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以選C. 答案　C 5.(2017·石家莊質(zhì)檢)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，給出下列四個命題： ①若m?α，n∥α，則m∥n； ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ； ③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β； ④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β 其中真命題的個數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析?、賛∥n或m，n異面，故①錯誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯誤；④α∥β或α與β相交，故④錯誤. 答案　B 二、填空

22、題 6.如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)M∈AB，點(diǎn)N∈AD，若＝，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是______. 解析　由＝，得MN∥BD. 而BD?平面BDC，MN?平面BDC， 所以MN∥平面BDC. 答案　平行 7.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段B1D1上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是________(填序號). ①AC⊥BE； ②B1E∥平面ABCD； ③三棱錐E－ABC的體積為定值； ④直線B1E⊥直線BC1. 解析　因AC⊥平面BDD1B1，故①正確；因B1D1∥平面ABCD，故②正確；記正方體的體積為V，則VE－ABC＝V，為定值，故

23、③正確；B1E與BC1不垂直，故④錯誤. 答案?、佗冖? 8.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的命題序號是________. ①平面ABD⊥平面ABC?、谄矫鍭DC⊥平面BDC ③平面ABC⊥平面BDC?、芷矫鍭DC⊥平面ABC 解析　因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝AB， ∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD， 所以

24、CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，則CD⊥AB， 又AD⊥AB，AD∩CD＝D， 所以AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC， 所以平面ABC⊥平面ADC. 答案　④ 三、解答題 9.(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD， EF⊥AD， 則AB∥EF. ∵AB?平面ABC，EF?平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面

25、BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD， ∴BC⊥平面ABD. ∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD. 又AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC， 又因?yàn)锳C?平面ABC，∴AD⊥AC. 10.(2016·全國Ⅲ卷)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn). (1)證明：MN∥平面PAB； (2)求四面體NBCM的體積. (1)證明　由已知得AM＝AD＝2. 如圖，取BP的中點(diǎn)T，連接AT，TN，由N為PC中點(diǎn)知TN

26、∥BC，TN＝BC＝2. 又AD∥BC，故TN綉AM， 所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT. 因?yàn)锳T?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)解　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，N為PC的中點(diǎn)， 所以N到平面ABCD的距離為PA. 如圖，取BC的中點(diǎn)E，連接AE. 由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝. 由AM∥BC得M到BC的距離為， 故S△BCM＝×4×＝2. 所以四面體NBCM的體積VNBCM＝×S△BCM×＝. 11.(2017·石家莊模擬)在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC

27、＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB. (1)求證：AC⊥平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積. (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA∥平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由. (1)證明　在△ABC中， 因?yàn)锳C＝，AB＝2，BC＝1，所以AC2＋BC2＝AB2， 所以AC⊥BC. 又因?yàn)锳C⊥FB，BC∩FB＝B，BC，F(xiàn)B?平面FBC， 所以AC⊥平面FBC. (2)解　因?yàn)锳C⊥平面FBC，F(xiàn)C?平面FBC， 所以AC⊥FC. 因?yàn)镃D⊥FC，AC∩CD＝C，所以FC⊥平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得CB＝DC＝1，所以FC＝1. 所以△BCD的面積為S＝. 所以四面體FBCD的體積為VF－BCD＝S·FC＝. (3)解　線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時，有EA∥平面FDM.證明如下： 連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN. 因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形，所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn). 所以EA∥MN.因?yàn)镸N?平面FDM，EA?平面FDM， 所以EA∥平面FDM. 所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA∥平面FDM成立.