高中數(shù)學(xué)人教A版選修44學(xué)案：第1講2 極坐標(biāo)系 Word版含解析

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1、 二　極坐標(biāo)系 1．理解極坐標(biāo)系的概念． 2．能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的區(qū)別．(難點) 3．掌握極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化．(重點、易錯點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　極坐標(biāo)系 閱讀教材P8～P10，完成下列問題． 1．極坐標(biāo)系的概念 (1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系． (2)極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一

2、點，極點O與點M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為θ.有序數(shù)對(ρ，θ)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．一般地，不作特殊說明時，我們認(rèn)為ρ≥0，θ可取任意實數(shù)． 2．點與極坐標(biāo)的關(guān)系 一般地，極坐標(biāo)(ρ，θ)與(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一個點．特別地，極點O的坐標(biāo)為(0，θ)(θ∈R)． 如果規(guī)定ρ>0，0≤θ<2π，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用惟一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；同時，極坐標(biāo)(ρ，θ)表示的點也是惟一確定的． 在極坐標(biāo)系中，ρ1＝ρ2，且θ1＝θ2是兩點M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的(

3、　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為θ1與θ2可相差2π的整數(shù)倍． 【答案】　A 教材整理2　極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化 閱讀教材P11，完成下列問題． 1．互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖1-2-1所示． 圖1-2-1 2．互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ，θ)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表： 點M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式

4、 ρ2＝x2＋y2， tan θ＝(x≠0) 將點M的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)是(　　) A．(5,5)　 B．(5，5) C．(5,5) D．(－5，－5) 【解析】　x＝ρcos θ＝10 cos＝5，y＝ρsin θ＝10sin＝5. 【答案】　A [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問

5、2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 將點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo) 　寫出下列各點的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點在第幾象限．

6、(1)；(2)；(3)；(4)(2，－2)． 【思路探究】　點的極坐標(biāo)(ρ，θ)―→―→點的直角坐標(biāo)(x，y)―→判定點所在象限． 【自主解答】　(1)由題意知x＝2cos＝2×＝－1，y＝2sin＝2×＝－， ∴點的直角坐標(biāo)為，是第三象限內(nèi)的點． (2)x＝2cos π＝－1，y＝2sin π＝， ∴點的直角坐標(biāo)為(－1，)，是第二象限內(nèi)的點． (3)x＝2cos＝1，y＝2sin＝－， ∴點的直角坐標(biāo)為(1，－)，是第四象限內(nèi)的點． (4)x＝2cos (－2)＝2cos 2，y＝2sin(－2)＝－2sin 2， ∴點(2，－2)的直角坐標(biāo)為(2cos 2，－2sin

7、2)，是第三象限內(nèi)的點． 1．點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件：(1)極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；(2)極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標(biāo)系的長度單位相同． 2．將點的極坐標(biāo)(ρ，θ)化為點的直角坐標(biāo)(x，y)時，運用到求角θ的正弦值和余弦值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關(guān)鍵． [再練一題] 1．分別把下列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： (1)；(2)；(3)(π，π)． 【解】　(1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝， y＝ρsin θ＝2sin＝1， ∴點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(，1)． (2)∵x＝ρcos θ＝3c

8、os＝0， y＝ρsin θ＝3sin＝3， ∴點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(0,3)． (3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴點的極坐標(biāo)(π，π)化為直角坐標(biāo)為(－π，0)． 將點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo) 　分別把下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π)： (1)(－2,2)；(2)(，－)；(3). 【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，但求角θ時，要注意點所在的象限． 【自主解答】　(1)∵ρ＝＝＝4， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(－2,2)在第二象限， ∴θ

9、＝， ∴點的直角坐標(biāo)(－2,2)化為極坐標(biāo)為. (2)∵ρ＝＝＝2， tan θ＝＝－，θ∈[0,2π)， 由于點(，－)在第四象限， ∴θ＝， ∴點的直角坐標(biāo)(，－)化為極坐標(biāo)為. (3)∵ρ＝＝＝， tan θ＝＝1，θ∈[0,2π)， 由于點在第一象限， ∴θ＝， ∴點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)為. 1．將直角坐標(biāo)(x，y)化為極坐標(biāo)(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)進行求解，先求極徑，再求極角． 2．在[0,2π)范圍內(nèi)，由tan θ＝(x≠0)求θ時，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號特征判斷出點所在的象限．如果允許θ∈R，再根據(jù)終邊相同的角的

10、意義，表示為θ＋2kπ(k∈Z)即可． [再練一題] 2．已知下列各點的直角坐標(biāo)，求它們的極坐標(biāo)： (1)A(3，)；(2)B(－2，－2); (3)C(0，－2)；(4)D(3,0)． 【解】　(1)由題意可知：ρ＝＝2， tan θ＝， 所以θ＝，所以點A的極坐標(biāo)為. (2)ρ＝＝4，tan θ＝＝，又由于θ為第三象限角，故θ＝π，所以B點的極坐標(biāo)為. (3)ρ＝＝2，θ為π，θ在y軸負(fù)半軸上，所以C點的極坐標(biāo)為. (4)ρ＝＝3，tan θ＝＝0，故θ＝0， 所以D點的極坐標(biāo)為(3,0)． 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用 　在極坐標(biāo)系中，如果A，B為等邊

11、三角形ABC的兩個頂點，求頂點C的極坐標(biāo)(ρ>0,0≤θ<2π)． 【思路探究】　解答本題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點C的直角坐標(biāo)，進而求出點C的極坐標(biāo)． 【自主解答】　對于點A有ρ＝2，θ＝， ∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，則A(，)． 對于B有ρ＝2，θ＝π， ∴x＝2cos＝－，y＝2sin＝－， ∴B(－，－)． 設(shè)C點的坐標(biāo)為(x，y)，由于△ABC為等邊三角形， 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4， ∴有 解之得或 ∴C點的坐標(biāo)為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1， ∴θ＝或θ＝. 故點C的極

12、坐標(biāo)為或. 1．本例綜合考查了點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì)．結(jié)合幾何圖形可知，點C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵． 2．若設(shè)出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解． [再練一題] 3．本例中，如果點的極坐標(biāo)仍為A，B，且△ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點C的極坐標(biāo)？ 【解】　對于點A，直角坐標(biāo)為(，)， 點B的直角坐標(biāo)為(－，－)， 設(shè)點C的直角坐標(biāo)為(x，y)，由題意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|， ∴·＝0， 即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0， ∴x2＋y2＝4.　 ① 又|A|2＝|B|2，

13、于是(x－)2＋(y－)2 ＝(x＋)2＋(y＋)2， ∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝±， ∴或 ∴點C的直角坐標(biāo)為(，－)或(－，)， ∴ρ＝＝2，tan θ＝－1，θ＝或， ∴點C的極坐標(biāo)為或. [探究共研型] 極坐標(biāo) 探究1　如圖1-2-2是某校園的平面示意圖．假設(shè)某同學(xué)在教學(xué)樓處，請回答下列問題： ①他向東偏北60°方向走120 m后到達什么位置？該位置惟一確定嗎？ ②如果有人打聽體育館和辦公樓的位置，他應(yīng)如何描述？ 圖1-2-2 【提示】　以A為基點，射線AB為參照方向，利用與A的距離、與AB所成的角，就可以刻畫平面上點的位置．①到達圖書館

14、，該位置惟一確定；②體育館在正東方向60 m處，辦公樓在西北方向50 m處． 探究2　在極坐標(biāo)系中，，，，表示的點有什么關(guān)系？你能從中體會極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)在刻畫點的位置時的區(qū)別嗎？ 【提示】　由終邊相同的角的定義可知，上述極坐標(biāo)表示同一個點．實際上，(k∈Z)都表示這個點． 　設(shè)點A，直線l為過極點且垂直于極軸的直線，分別求點A關(guān)于極軸，直線l，極點的對稱點的極坐標(biāo)(限定ρ>0，－π<θ≤π)． 【思路探究】　欲寫出點的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定ρ和θ的值． 【自主解答】　如圖所示，關(guān)于極軸的對稱點為B2，－， 關(guān)于直線l的對稱點為C， 關(guān)于極點O的對稱點為D. 四個點A，B，C，

15、D都在以極點為圓心，2為半徑的圓上． 1．點的極坐標(biāo)不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，則除極點外，點的極坐標(biāo)是惟一確定的． 2．寫點的極坐標(biāo)要注意順序：極徑ρ在前，極角θ在后，不能顛倒順序． [再練一題] 4．在極坐標(biāo)系中與點A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與點A關(guān)于極軸所在的直線對稱的點的極坐標(biāo)可以表示為(k∈Z)． 【答案】　B [構(gòu)建·體系] 極坐標(biāo)系— 1．極坐標(biāo)系中，點M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為(　　) A．(1,0) B．(－1，π) C．(1，π) D．(1,2π) 【解析】

16、　∵(ρ，θ)關(guān)于極點的對稱點為(ρ，π＋θ)， ∴M(1,0)關(guān)于極點的對稱點為(1，π)． 【答案】　C 2．點A的極坐標(biāo)是，則點A的直角坐標(biāo)為(　　) A．(－1，－) B．(－，1) C．(－，－1) D．(，－1) 【解析】　x＝ρcos θ＝2cosπ＝－， y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1. 【答案】　C 3．點M的直角坐標(biāo)為，則點M的極坐標(biāo)可以為(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝， ∴M的極坐標(biāo)為. 【答案】　C 4．將極軸Ox繞極點順時針方向旋轉(zhuǎn)得到射線OP，在OP上取點M，使|OM|＝2，則ρ>0，θ∈[0,

17、2π)時點M的極坐標(biāo)為________，它關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)為_______________________________________(ρ>0，θ∈[0,2π)). 【解析】　ρ＝|OM|＝2，與OP終邊相同的角為－＋2kπ(k∈Z)． ∵θ∈[0,2π)，∴k＝1，θ＝， ∴M， ∴M關(guān)于極軸的對稱點為. 【答案】　　 5．在極軸上求與點A距離為5的點M的坐標(biāo)． 【解】　設(shè)M(r,0)，∵A， ∴ ＝5， 即r2－8r＋7＝0， 解得r＝1或r＝7， ∴點M的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)． 我還有這些不足： (1)　

18、 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(二) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達標(biāo)] 一、選擇題

19、1．下列各點中與不表示極坐標(biāo)系中同一個點的是(　　) A. B. C. D. 【解析】　與極坐標(biāo)相同的點可以表示為(k∈Z)，只有不適合． 【答案】　C 2．將點的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(　　) A．(π，0) B．(π，2π) C．(－π，0) D．(－2π，0) 【解析】　x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0， 所以點的極坐標(biāo)(π，－2π)化為直角坐標(biāo)為(π，0)． 【答案】　A 3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點M1(ρ1，θ1)與點M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是(　　) A．關(guān)于極軸所在直線對稱 B．關(guān)于極點對稱 C

20、．關(guān)于過極點垂直于極軸的直線對稱 D．兩點重合 【解析】　因為點(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對稱的點為(－ρ，π－θ)．由此可知點(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是關(guān)于極軸所在直線對稱． 【答案】　A 4．在極坐標(biāo)系中，已知點P1、P2，則|P1P2|等于(　　) A．9　　　B．10 C．14　　　D．2 【解析】　∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2為直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10. 【答案】　B 5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的直角坐標(biāo)為(1，－)．若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點P的極坐標(biāo)可以

21、是 (　　) A. B. C. D. 【解析】　極徑ρ＝＝2，極角θ滿足tan θ＝＝－， ∵點(1，－)在第四象限，∴θ＝－. 【答案】　A 二、填空題 6．平面直角坐標(biāo)系中，若點P經(jīng)過伸縮變換后的點為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點到極軸所在直線的距離等于________． 【解析】　∵點P經(jīng)過伸縮變換后的點為Q，則極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)為Q的點到極軸所在直線的距離等于6＝3. 【答案】　3 7．已知點P在第三象限角的平分線上，且到橫軸的距離為2，則當(dāng)ρ>0，θ∈[0,2π)時，點P的極坐標(biāo)為________． 【解析】　∵點P(x，y)在第三象限角的平分線上

22、，且到橫軸的距離為2， ∴x＝－2，且y＝－2， ∴ρ＝＝2， 又tan θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝. 因此點P的極坐標(biāo)為. 【答案】　 8．極坐標(biāo)系中，點A的極坐標(biāo)是，則 (1)點A關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)是________； (2)點A關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是________； (3)點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)是________．(本題中規(guī)定ρ>0，θ∈[0,2π)) 【解析】　點A關(guān)于極軸的對稱點的極坐標(biāo)為；點A關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)為；點A關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標(biāo)為. 【答案】　(1)　(2)　(3) 三、

23、解答題 9．(1)已知點的極坐標(biāo)分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(biāo)． (2)已知點的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C(－2，－2)，求它們的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 【解】　(1)根據(jù)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 得A， B(－1，)，C， D(0，－4)． (2)根據(jù)ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C. 10．在極坐標(biāo)系中，已知△ABC的三個頂點的極坐標(biāo)分別為A，B(2，π)，C. (1)判斷△ABC的形狀； (2)求△ABC的面積． 【解】　(1)如圖所示，由A，B(2，π)，C， 得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2， ∠AOB＝∠BO

24、C＝∠AOC＝， ∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC為等邊三角形． (2)由上述可知， AC＝2OAsin＝2×2×＝2. ∴S△ABC＝×(2)2＝3. [能力提升] 1．已知極坐標(biāo)平面內(nèi)的點P，則P關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)分別為 (　　) A.，(1，) B.，(1，－) C.，(－1，) D.，(－1，－) 【解析】　點P關(guān)于極點的對稱點為 ， 即，且x＝2cos＝－2cos ＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－. 【答案】　D 2．已知極坐標(biāo)系中，極點為O,0≤θ＜2π，M，在直線OM上與點M的距離為4的點的極坐標(biāo)為

25、________． 【解析】　如圖所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直線OM上取點P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，顯然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4. 【答案】　或 3．直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于________． 【解析】　如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置分析夾角大?。? 因為|AO|＝|BO|＝3， ∠AOB＝－＝， 所以∠OAB＝＝， 所以∠ACO＝π－－＝. 【答案】　 4．某大學(xué)校園的部分平面示意圖如圖1-2-3：用

26、點O，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G分別表示校門，器材室，操場，公寓，教學(xué)樓，圖書館，車庫，花園，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600 m．建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，寫出除點B外各點的極坐標(biāo)(限定ρ≥0,0≤θ<2π且極點為(0,0))． 圖1-2-3 【解】　以點O為極點，OA所在的射線為極軸Ox(單位長度為1 m)，建立極坐標(biāo)系， 由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m， 又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m. 同理，得|OE|＝2|OG|＝300 m， 所以各點的極坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(300，0)， C，D，E，F(xiàn)(300，π)，G. 最新精品資料