高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第4章 第5節(jié) 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 Word版含解析

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1、 第五節(jié)　三角恒等變換 [最新考綱]　1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.3.會用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.4.能運用上述公式進行簡單的三角恒等變換(包括導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)． 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正

2、切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. 3．輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ) 1．公式的常用變式 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； sin 2α＝＝； cos 2α＝＝. 2．降冪公式 sin2α＝； cos2α＝； sin αcos α＝sin 2α. 3．升冪公式 1＋cos α＝2cos2； 1－cos α＝2sin2； 1＋sin α＝2； 1－sin α＝2.

3、 4．半角正切公式 tan ＝＝. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關．(　　) (3)cos θ＝2cos2－1＝1－2sin2.(　　) (4)當α是第一象限角時，sin ＝.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．已知cos α＝－，α是第三象限角，則cos為(　　) A. B．－ C. D．－ A　[∵cos α＝－， α是第三象限角， ∴s

4、in α＝－＝－. ∴cos＝(cos α－sin α)＝ ＝.故選A.] 2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.] 3．計算：sin 108°cos 42°－cos 72°·sin 42°＝_

5、_______. 　[原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42° ＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°) ＝sin 30°＝.] 4．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝________. 　[∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝－tan 20°tan 40°， ∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.] 5．若tan α＝，tan(α＋β

6、)＝，則tan β＝________. 　[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.] 第1課時　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 考點1　公式的直接應用 　(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結構特征． (2)使用公式求值，應先求出相關角的函數(shù)值，再代入公式求值． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　) A. B. C. D. B　[由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α. ∵α∈，∴cos α≠0， ∴2sin α＝cos α，∴tan α＝，∴sin

7、α＝.故選B.] 2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　) A．－ B． C． D．－ A　[∵α∈，∴tan α＝－，又tan β＝－， ∴tan(α－β)＝ ＝＝－.] 3．(2019·太原模擬)若α∈，且sin＝，則cos＝________. 　[由于角α為銳角，且sin＝， 則cos＝， 則cos＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝.] 4．計算的值為________． 　[＝ ＝＝＝.] 　兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與

8、差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統(tǒng)一角和角與角轉換的目的． 考點2　公式的逆用與變形用 　公式的一些常用變形 (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； (3)1±sin α＝2； (4)sin 2α＝＝； (5)cos 2α＝＝； (6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)； (7)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 　公式的逆用 　(1)化簡＝________. (2)在△ABC中，若tan Atan B＝

9、tan A＋tan B＋1，則cos C＝________. (1)　(2)　[(1)＝＝ ＝＝. (2)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1， 即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)， 所以A＋B＝， 則C＝，cos C＝.] 　(1)逆用公式的關鍵是準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式，同時，要注意公式成立的條件和角之間的關系． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關系結合命題． (3)重視sin α

10、cos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整體應用． 　公式的變形用 　(1)化簡＝________. (2)化簡sin2＋sin2－sin2α的結果是________． (1)－1　(2)　[(1)＝＝＝－1. (2)原式＝＋－sin2α ＝1－－sin2α ＝1－cos 2α·cos －sin2α ＝1－－＝.] 　注意特殊角的應用，當式子中出現(xiàn)，1，，等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”構造適合公式的形式． 　1.設a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，

11、c＝，則a，b，c的大小關系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b D　[由兩角和與差的正、余弦公式及誘導公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c＝ ＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°.因為函數(shù)y＝sin x，x∈為增函數(shù)，所以

12、sin 13°＞sin 12°＞sin 11°，所以a＞c＞b.] 2.cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　) A. B. C.1 D. D　[法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝.故選D. 法二：因為cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4×2×＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故選D.] 3．已

13、知α＋β＝，則(1＋tan α)(1＋tan β)＝________. 2　[(1＋tan α)(1＋tan β)＝tan α＋tan β＋tan αtan β＋1 ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β＋1 ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＋1 ＝2.] 4．已知sin αcos β＝，則cos αsin β的取值范圍________． 　[由題知sin αcos β＝，① 設cos αsin β＝t，② ①＋②得sin αcos β＋cos αsin β＝＋t， 即sin(α＋β)＝＋t， ①－②得sin αcos β－co

14、s αsin β＝－t， 即sin(α－β)＝－t. ∵－1≤sin(α±β)≤1， ∴ ∴－≤t≤.] 考點3　公式的靈活運用 　三角公式應用中變“角”與變“名”問題的解題思路 (1)角的變換：發(fā)現(xiàn)各個角之間的關系：拆角、湊角、互余、倍半、互利(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧及半角與倍角的相互轉化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，＋＝，＝2×等． (2)名的變換：明確各個三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦． 　三角公式中角

15、的變換 　(1)設α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝________. (2)已知cos(75°＋α)＝，則cos(30°－2α)的值為________． (1)　(2)　[(1)依題意得sin α＝＝， 因為sin(α＋β)＝＜sin α且α＋β＞α， 所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝. (2)cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝， 所以cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.] 　(1)

16、解決三角函數(shù)的求值問題的關鍵是把“所求角”用“已知角”表示．①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系． (2)常見的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． 　三角公式中名的變換 　(1)化簡：(0＜θ＜π)； (2)求值：－sin 10°. [解]　(1)由θ∈(0，π)，得0＜＜，∴cos ＞0， ∴＝＝2cos . 又(1＋sin θ＋cos θ) ＝ ＝2cos ＝－2cos cos θ. 故原式＝＝－cos θ.

17、 (2)原式＝－sin 10° ＝－sin 10°· ＝－sin 10°· ＝－2cos 10°＝ ＝ ＝ ＝＝. 　1.(2019·石家莊模擬)已知tan θ＋＝4，則cos2＝(　　) A. B. C. D. C　[由tan θ＋＝4，得＋＝4，即＝4，∴sin θcos θ＝，∴cos2＝＝＝＝＝.] 2．已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，則sin β＝________. 　[由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)·cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝.] 3.＝________.(用數(shù)字作答) 　[＝ ＝＝＝.]