數(shù)學人教A版選修44優(yōu)化練習：第一講 四　柱坐標系與球坐標系簡介 Word版含解析

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1、 [課時作業(yè)] [A組　基礎鞏固] 1．點A的柱坐標是，則它的直角坐標是(　　) A．(，1,7) B．(，1，－7) C．(2，1,7) D．(2，1，－7) 解析：∵ρ＝2，θ＝，z＝7，∴x＝ρcos θ＝，y＝ρsin θ＝1，z＝7，∴點A的直角坐標是(，1,7)． 答案：A 2．若點M的直角坐標為(2,2,2)，則它的球坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：由坐標變換公式得，r＝＝4，由rcos φ＝z＝2得cos φ＝，所以φ＝，又tan θ＝＝1，點M在第Ⅰ卦限，所以θ＝，所以M的球坐標為. 答案：B 3．若點P的柱

2、坐標為，則P到直線Oy的距離為(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C.　　　 D. 解析：由于點P的柱坐標為(ρ，θ，z)＝，故點P在平面xOy內的射影Q到直線Oy的距離為ρcos＝，可得P到直線Oy的距離為. 答案：D 4．在直角坐標系中，(1,1,1)關于z軸對稱點的柱坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：(1,1,1)關于z軸的對稱點為(－1，－1,1)，它的柱坐標為. 答案：C 5．已知點P1的球坐標為，P2的柱坐標為，則|P1P2|＝(　　) A.　　　　　 B. C. D．4 解析：設點P1的直角坐標為(x1，y1，z1)， 則得 故

3、P1(2，－2，0)， 設點P2的直角坐標為(x2，y2，z2)， 故得 故P2(，1,1)． 則|P1P2|＝＝. 答案：A 6．已知柱坐標系Oxyz中，點M的柱坐標為，則|OM|＝________. 解析：∵(ρ，θ，z)＝， 設M的直角坐標為(x，y，z)， 則x2＋y2＝ρ2＝22， ∴|OM|＝ ＝ ＝3. 答案：3 7．已知點M的直角坐標為(1,2,3)，球坐標為(r，φ，θ)，則tanφ＝______，tan θ＝______. 解析： 如圖所示， tan φ＝＝， tan θ＝＝2. 答案：　2 8．已知在柱坐標系中，點M的柱坐標為，且點

4、M在數(shù)軸Oy上的射影為N，則|OM|＝________，|MN|＝________. 解析：設點M在平面xOy上的射影為P，連接PN，則PN為線段MN在平面xOy上的射影． 因為MN⊥直線Oy，MP⊥平面xOy， 所以PN⊥直線Oy. 所以|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1， 所以|OM|＝＝＝3. 在Rt△MNP中，∠MPN＝90°， 所以|MN|＝＝＝. 答案：3　 9．已知點P的球坐標為，求它的直角坐標． 解析：由變換公式得： x＝rsin φcos θ＝4sincos＝2. y＝rsin φsin θ＝4sinsin＝2. z＝rcos φ＝4cos ＝－2.

5、 它的直角坐標為(2,2，－2)． 10．已知點M的柱坐標為，求M關于原點O對稱的點的柱坐標． 解析：M(，，1)的直角坐標為 ∴M關于原點O的對稱點的直角坐標為(－1，－1，－1)． (－1，－1，－1)的柱坐標為： ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝. tan θ＝＝1，又x<0，y<0.∴θ＝. ∴其柱坐標為 ∴M關于原點O對稱點的柱坐標為. [B組　能力提升] 1．球坐標系中，滿足θ＝，r∈[0，＋∞)，φ∈[0，π]的動點P(r，φ，θ)的軌跡為(　　) A．點 B．直線 C．半平面 D．半球面 解析：由于在球坐標系中，θ＝，r∈[0，＋∞)，

6、φ∈[0，π]，故射線OQ平分∠xOy，由球坐標系的意義，動點P(r，φ，θ)的軌跡為二面角x-OP-y的平分面，這是半平面，如圖． 答案：C 2．已知點P的柱坐標為，點B的球坐標為，則這兩個點在空間直角坐標系中的點的坐標分別為(　　) A．P(5,1,1)，B B．P(1,1,5)，B C．P，B(1,1,5) D．P(1, 1,5)，B 解析：設點P的直角坐標為(x，y，z)，則 x＝cos＝×＝1， y＝sin＝1，z＝5. 設點B的直角坐標為(x′，y′，z′)，則 x′＝sincos＝××＝， y′＝sinsin＝××＝， z′＝cos＝×＝. 所以點P的

7、直角坐標為(1,1,5)，點B的直角坐標為. 答案：B 3.如圖，在柱坐標系中，長方體的兩個頂點坐標為A1(4,0,5)，C1，則此長方體外接球的體積為________． 解析：由A1、C1兩點的坐標知長方體的長、寬、高的值為6、4、5，設外接球的半徑為R，則有 (2R)2＝16＋25＋36＝77， 所以R＝，V球＝πR3＝. 答案： 4．已知球坐標系中，M，N，則|MN|＝________. 解析：設點M的直角坐標為(x，y，z)， 由得 ∴M的直角坐標為(1，，2)， 同理N的直角坐標為(3，，2)， ∴|MN|＝ ＝2. 答案：2 5.已知正方體ABCD-A

8、1B1C1D1的棱長為1，如圖建立空間直角坐標系Axyz，Ax為極軸，求點C1的直角坐標、柱坐標以及球坐標． 解析：點C1的直角坐標為(1,1,1)， 設點C1的柱坐標為(ρ，θ，z)，球坐標為(r，φ，θ)，其中ρ≥0，r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π， 由公式及 得及 得及 結合題圖得θ＝，由cos φ＝得tan φ＝. ∴點C1的直角坐標為(1,1,1)，柱坐標為(，，1)，球坐標為，其中tan φ＝，0≤φ≤π. 6．以地球球心為坐標原點，地球赤道所在平面為坐標平面xOy，以原點指向北極點的方向為z軸正方向，本初子午線(0°經(jīng)線)所在平面為坐標平面xOz，建立空間直角坐標系Oxyz，如圖，已知地球半徑為R，點A的球坐標為，點B的球坐標為，求： (1)A，B兩地之間的距離； (2)A，B兩地之間的球面距離． 解析：(1)由于球坐標(r，φ，θ)的直角坐標為(x，y，z)＝(rsin φcos θ，rsin φsin θ，rcos φ)， 所以A，B點的直角坐標分別為 ，， 所以A，B兩地之間的距離為|AB|＝ ＝R. (2)由上述可知，在△OAB中，|OA|＝|OB|＝|AB|＝R，得∠AOB＝， 所以A，B兩地之間的球面距離為＝R. 最新精品語文資料