高中數(shù)學人教B版必修5同步練習：第1章 解三角形第1章綜合素質(zhì)檢測 Word版含解析

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1、 第一章綜合素質(zhì)檢測 (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每個小題5分，共60分，每小題給出的四個備選答案中，有且僅有一個是符合題目要求的) 1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝，b＝，B＝120°，則a等于(　　) A．　　　　　　　　　 B．2 C．　 D． [答案]　D [解析]　在△ABC中，由正弦定理，得 sinC＝＝＝， 又∵B＝120°，∴C為銳角， ∴C＝30°，∴A＝30°，∴a＝c＝. 2．在△ABC中，若AB＝－1，BC＝＋1，AC＝，則B等于(　　) A．30°　

2、B．45° C．60°　 D．120° [答案]　C [解析]　cosB＝＝，∴B＝60°. 3．在△ABC中，A＝45°，AC＝4，AB＝，那么cosB＝(　　) A．　 B．－ C．　 D．－ [答案]　D [解析]　BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA ＝16＋2－8cos45°＝10，∴BC＝， cosB＝＝－. 4．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ccosA＝b，則△ABC(　　) A． 一定是銳角三角形 B．一定是鈍角三角形 C．一定是斜三角形 D．一定是直角三角形 [答案]　D [解析]　解法一：∵ccosA＝b， ∴si

3、nCcosA＝sinB＝sin(A＋C) ＝sinAcosC＋cosAsinC， ∴sinAcosC＝0， ∵sinA≠0，∴cosC＝0，又0β　 B．α＝β C．α＋β＝90°　 D．α＋β＝180° [答案]　B [解析]　仰角和俯角都是水平線與視線的夾角，故α＝β. 6．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知8b＝

4、5c，C＝2B，則cosC＝(　　) A．　 B．－ C．±　 D． [答案]　A [解析]　由＝及8b＝5c，C＝2B得，5csin2B＝8csinB，∴cosB＝，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝. 7．△ABC的三邊分別為2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3(m>0)，則最大內(nèi)角度數(shù)為(　　) A．150°　 B．120° C．90°　 D．135° [答案]　B [解析]　解法一：∵m>0，∴m2＋3m＋3>2m＋3， m2＋3m＋3>m2＋2m. 故邊m2＋3m＋3對的角為最大角，由余弦定理， cosθ＝ ＝－，∴θ＝120°. 解法二：特值法．

5、取m＝1，則三邊長為5,3,7 ∴cosθ＝＝－，∴θ＝120°. 8．在△ABC中，關于x的方程(1＋x2)sinA＋2xsinB＋(1－x2)sinC＝0有兩個不等的實數(shù)根，則A為(　　) A．銳角　 B．直角 C．鈍角　 D．不存在 [答案]　A [解析]　把已知方程整理得(sinA－sinC)x2＋2sinB·x＋(sinA＋sinC)＝0， Δ＝4sin2B－4(sinA－sinC)(sinA＋sinC)＞0， 即sin2B＋sin2C－sin2A＞0. ∴b2＋c2－a2＞0，∴cosA＞0，可知A為銳角． 9．若△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對的邊a、b、c

6、滿足(a＋b)2－c2＝4，且∠C＝60°，則ab的值為(　　) A．　 B．8－4 C．1　 D． [答案]　A [解析]　由(a＋b)2－c2＝4得(a2＋b2－c2)＋2ab＝4.① ∵a2＋b2－c2＝2abcosC， ∴方程①化為2ab(1＋cosC)＝4， ∴ab＝. 又∵∠C＝60°，∴ab＝. 10．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝2S△ABC，則△ABC一定是(　　) A．等腰三角形　 B．直角三角形 C．等邊三角形　 D．等腰直角三角形 [答案]　B [解析]　由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝＝， ∴∠C＝60°，又2S△ABC＝a2

7、＋b2－ab， ∴2×ab·sin60°＝a2＋b2－ab， 得2a2＋2b2－5ab＝0， 即a＝2b或b＝2a. 當a＝2b時，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2； 當b＝2a時，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2. 故△ABC為直角三角形． 11．在△ABC中，若||＝2，||＝5，·＝－5，則S△ABC＝(　　) A．　 B． C．　 D．5 [答案]　A [解析]　·＝||·||cosA＝10cosA＝－5， ∴cosA＝－，∴sinA＝， ∴S△ABC＝||·||·sinA＝. 12．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A

8、2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則(　　) A．△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 [答案]　D [解析]　由條件知，△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1是銳角三角形，假設△A2B2C2是銳角三角形，由 ，得， 那么，A2＋B2＋C2＝，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，故假設不成立， 即△A2B2C2是鈍角三角形，故選D． 二、填空題(本大題共4個小題，每個小題4分，共16分

9、．將正確答案填在題中橫線上) 13．三角形一邊長為14，它對的角為60°，另兩邊之比為8∶5，則此三角形面積為________． [答案]　40 [解析]　設另兩邊長為8x和5x，則cos60°＝得x＝2，另兩邊長為16和10，此三角形面積為S＝×16×10·sin60°＝40. 14．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，則AB＝________. [答案]　 [解析]　∵tanA＝，∴sinA＝，由正弦定理，得AB＝＝. 15.如圖，已知梯形ABCD中，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，則梯形的高為__________． [答案]　 [解析]　解法一：

10、∵∠BAD＝60°， ∴∠ADC＝180°－∠BAD＝120°. ∵CD＝2，AC＝， ∴＝，∴sin∠CAD＝. ∴sin∠ACD＝sin(60°－∠CAD)＝. ∴AD＝＝＝3. ∴h＝AD·sin60°＝. 解法二：在△ACD中， AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos120°， ∴AD2＋2AD－15＝0. ∴AD＝3　(AD＝－5舍去)． ∴h＝ADsin60°＝. 16．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45°，則AD的長度等于________． [答案]　 [解析]　如圖，作AE⊥BC，垂足為E，∵AB＝AC＝2，B

11、C＝2， ∴E為BC的中點，且EC＝. 在Rt△AEC中，AE＝1，∠ADE＝45°， 在Rt△ADE中，＝，∴AD＝. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若cosA＝，cosC＝. (1)求角B的大小； (2)若c＝4，求△ABC的面積． [解析]　(1)∵cosA＝，cosC＝， ∴sinA＝，sinC＝， ∴cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC＝×－×＝－， ∴cosB＝－cos(A＋C)＝.又∵0

12、由正弦定理，得＝， ∴a＝＝＝3. ∴S△ABC＝acsinB＝×3×4×sin＝×3×4×＝6. 18．(本題滿分12分)在△ABC中，已知a＝，A＝60°，b－c＝－1，求b、c和B、C． [解析]　由余弦定理，得6＝b2＋c2－2bccos60°， ∴b2＋c2－bc＝6　 ① 由b－c＝－1平方得：b2＋c2－2bc＝4－2　 ② ①、②兩式相減得bc＝2＋2. 由，解得 ， 由正弦定理，得sinB＝＝ ＝. ∵<＋1，∴B＝75°或105°. ∵a2＋c2>b2，∴B為銳角， ∴B＝75°，從而可知C＝45°. [點評]　求角B時，若先求得sinC＝＝，

13、∵a>c，∴C＝45°，從而得B＝75°. 若用余弦定理cosB＝＝，∴B＝75°. 19．(本題滿分12分)如圖，某海輪以30 n mile/h的速度航行，在點A測得海面上油井P在南偏東60°，向北航行40 min后到達點B，測得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°的航向再航行80 min到達C點，求P、C間的距離． [解析]　AB＝30×＝20，BC＝30×＝40. 在△ABP中，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，∠APB＝30°， ∴BP＝·sin∠BAP＝sin120°＝20. 在Rt△BCP中， PC＝＝＝20. ∴P、C間的距離為20 n mile.

14、 20．(本題滿分12分)在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC． (1)求A的大?。? (2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀． [解析]　(1)由已知，根據(jù)正弦定理，得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c， 即a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA， 故cosA＝－，A＝120°. (2)由a2＝b2＋c2＋bc，得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC． ∴＝1－sinBsinC，∴sinBsinC＝. 又sinB＋sinC＝1，故s

15、inB＝sinC＝. 因為0°

16、0)，解得b＝或2， ∴，或. 22．(本題滿分14分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3cos(B－C)－1＝6cosBcosC． (1)求cosA的值； (2)若a＝3，△ABC的面積為2，求b、c. [解析]　(1)由3cos(B－C)－1＝6cosBcosC， 得3(cosBcosC－sinBsinC)＝－1， 即cos(B＋C)＝－，∴cosA＝－cos(B＋C)＝. (2)∵0