新編人教A版理科數(shù)學(xué)高效訓(xùn)練：38 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 [A組　基礎(chǔ)演練·能力提升] 一、選擇題 1．有一長(zhǎng)為10 m的斜坡，傾斜角為75°，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)(　　) A．5 m　　　　　　　　　　 B．10 m C．10 m D．10 m 解析：如圖，A點(diǎn)為坡頂，B點(diǎn)為原坡底．設(shè)將坡底延長(zhǎng)到B′點(diǎn)時(shí)，傾斜角為30°，在△ABB′中，∠B′＝30°，∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m，由正弦定理得BB′＝＝＝10，故坡底延長(zhǎng)10 m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0°.[來(lái)源:Z。xx。k.Com] 答案：C 2．一船自西向東勻

2、速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為(　　)[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K] A.海里/小時(shí) B．34海里/小時(shí) C.海里/小時(shí) D．34海里/小時(shí) 解析：如圖所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，故∠MPN＝120°，由正弦定理可得＝，所以MN＝34 ，所以該船的航行速度為海里/小時(shí)． 答案：C 3．甲船在島A的正南B處，以每小時(shí)4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時(shí)乙船自島A出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，

3、它們所航行的時(shí)間為(　　) A.分鐘 B.小時(shí) C．21.5分鐘 D．2.15小時(shí) 解析：如圖，設(shè)t小時(shí)后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos 120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos 120°＝28t2－20t＋100.當(dāng)t＝時(shí)，DC2最小，DC最小，此時(shí)它們所航行的時(shí)間為×60＝分鐘． 答案：A 4.(2014年泰安模擬)如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝

4、105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)間的距離為(　　) [來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)] A．50 m B．50 m C．25 m D. m 解析：由AC＝50(m)，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠CBA＝30°，在△ABC中，由正弦定理可得＝，即＝， 所以AB＝50(m)，故選A. 答案：A 5．地上畫了一個(gè)角∠BDA＝60°，某人從角的頂點(diǎn)D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)∠BDA的另一邊BD上的一點(diǎn)，我們將該點(diǎn)記為點(diǎn)N，則N與D之間的距離為(　　) A．14米　　　B．15米　　　C．16米　　　D．17米 解析：如圖，

5、設(shè)DN＝x m， 則142＝102＋x2－2×10×xcos 60°， ∴x2－10x－96＝0. ∴(x－16)(x＋6)＝0. ∴x＝16或x＝－6(舍)． ∴N與D之間的距離為16米． 答案：C 6．(2014年呼和浩特第二次統(tǒng)考)已知等腰三角形的面積為，頂角的正弦值是底角的正弦值的倍，則該三角形的一腰長(zhǎng)為(　　) A. B. C．2 D. 解析：設(shè)等腰三角形底角為α，根據(jù)題意得sin(180°－2α)＝sin α，化簡(jiǎn)得sin 2α＝2sin αcos α＝sin α，α∈(0,180°)，所以解得cos α＝，故α＝30°，即三角形頂角為120°，設(shè)腰長(zhǎng)為

6、x，則x2·sin 120°＝x2＝，解得x＝. 答案：A 二、填空題 7.如圖，在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°回到出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________.[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K] 解析：由題圖知，AB＝x，∠ABC＝180°－105°＝75°，∠BCA＝180°－135°＝45°.∵BC＝10，∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝，∴x＝＝. 答案： 8．一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔M在北偏東60°方向

7、，行駛4 h后，船到B處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15°方向，這時(shí)船與燈塔的距離為________km. 解析：如圖所示，依題意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°， ∠AMB＝45°， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 答案：30 9．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是________ m. 解析：設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在△ABC中， A＝60°，AC

8、＝h，AB＝100，BC＝h， 根據(jù)余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°， 即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50， 故水柱的高度是50 m. 答案：50 三、解答題 10．如圖，在某平原地區(qū)一條河的彼岸有一建筑物，現(xiàn)在需要測(cè)量其高度AB.由于雨季河寬水急不能涉水，只能在此岸測(cè)量．現(xiàn)有的測(cè)量器材只有測(cè)角儀和皮尺．現(xiàn)在選定了一條水平基線HG，使得H，G，B三點(diǎn)在同一條直線上． 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方法測(cè)出建筑物的高度，并說(shuō)明理由．(測(cè)角儀的高為h) 解析：如圖，測(cè)出∠ACE的度數(shù)，測(cè)出∠ADE的度數(shù)，測(cè)量出HG

9、的長(zhǎng)度，即可計(jì)算出建筑物的高度AB.理由如下： 設(shè)∠ACE＝α，∠ADE＝β，HG＝s. 在△ADC中，由正弦定理得 ＝， 所以AC＝. 在直角三角形AEC中， AE＝ACsin α＝. 所以，建筑物的高AB＝EB＋AE＝h＋. 11.如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C處的乙船．[來(lái)源:學(xué)*科*網(wǎng)] (1)求處于C處的乙船和遇險(xiǎn)漁船間的距離； (2)設(shè)乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向向成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos

10、x(x∈R)的值域． 解析：(1)連接BC，由余弦定理得 BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700. ∴BC＝10，即所求距離為10海里． (2)∵＝， ∴sin θ＝. ∵θ是銳角，∴cos θ＝. f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x＝sin x＋cos x ＝sin， ∴f(x)的值域?yàn)? 12．(能力提升)A，B，C是一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，AB＝BC＝1 km，從這三點(diǎn)分別遙望一座電視塔P，A處看塔，塔在東北方向，B處看塔，塔在正東方向，C處看塔，塔在南偏東60°方向．求塔到直線AC的距離． 解析：如圖，過(guò)A點(diǎn)作東西方向的一條直

11、線l，過(guò)C，B，P分別作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分別為M，N，Q. 設(shè)BN＝x，則PQ＝x，PA＝x. ∵AB＝BC， ∴CM＝2BN＝2x.由正弦定理得 ＝， ＝. 又BC＝BA，且∠CBP＋∠ABP＝180°， ∴＝＝＝. ∴PC＝×x＝2x.在△PAC中， 根據(jù)余弦定理知AC2＝PA2＋PC2－2PA·PC·cos 75°， 即4＝2x2＋4x2－4x2·， 解得x2＝. 過(guò)P作PD⊥AC，垂足為D，則線段PD的長(zhǎng)即為塔到直線AC的距離． 在△PAC中， 由AC·PD＝PA·PCsin 75°， 得PD＝， ∴塔到直線AC的距離為 km.

12、[B組　因材施教·備選練習(xí)]　 (2014年青島調(diào)研)某單位設(shè)計(jì)一個(gè)展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根長(zhǎng)為5米的材料彎折而成，邊BA，AD用一根長(zhǎng)為9米的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB＝BC. (1)設(shè)AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值． 解析：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A. 同理，在△CBD中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos C. ∵∠A和∠C互補(bǔ)

13、，∴cos C＝－cos A， ∴AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝CB2＋CD2＋2CB·CD·cos A. 即x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)·cos A， 解得cos A＝，又∵5－x>0,9－x>0，且cos A<1， ∴x∈(2,5)，即f(x)＝，其中x∈(2,5)． (2)四邊形ABCD的面積為S＝S△ABD＋S△CBD ＝(AB·AD＋CB·CD)sin A＝[x(9－x)＋x(5－x)]·＝x(7－x) ＝ ＝. 記g(x)＝(x2－4)(x2－14x＋49)，x∈(2,5)． ∴g′(x)＝2x(x2－14x＋49)＋(x2－4)(2x－14) ＝2(x－7)·(2x2－7x－4)＝2(x－7)(2x＋1)(x－4)， 令g′(x)＝0，得x＝4或x＝7(舍)或x＝－0.5(舍)． ∴函數(shù)g(x)在區(qū)間(2,4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4,5)內(nèi)單調(diào)遞減． ∴g(x)的最大值為g(4)＝12×9＝108，∴四邊形ABCD的面積S的最大值為＝6， ∴所求四邊形ABCD面積的最大值為6平方米．