高中數(shù)學人教A版選修44學案：第2講4 漸開線與擺線 Word版含解析

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1、 四　漸開線與擺線 1．借助教具或計算機軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡(漸開線)，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數(shù)方程．(重點) 2．通過閱讀材料，了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過程；了解擺線在實際應用中的實例．(難點) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　漸開線及其參數(shù)方程 閱讀教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列問題． 1．把線繞在圓周上，假設(shè)線的粗細可以忽略，拉著線頭逐漸展開，保持線與圓相切，線頭的軌跡就叫做圓的漸開線，相應的定圓叫

2、做漸開線的基圓． 2．設(shè)基圓的半徑為r，圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))． 教材整理2　擺線及其參數(shù)方程 閱讀教材P41～P42，完成下列問題． 1．當一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時，圓周上的一個定點運動的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線． 2．設(shè)圓的半徑為r，圓滾動的角為φ，那么擺線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù))． (φ為參數(shù))表示的是(　　) A．半徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程 B．半徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程 C．直徑為5的圓的漸開線的參數(shù)方程 D．直徑為5的圓的擺線的參數(shù)方程 【解析】　根據(jù)圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程可知B正確． 【答案】　B [質(zhì)疑·

3、手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　

4、 解惑：　 圓的漸開線的參數(shù)方程 　已知圓的直徑為2，其漸開線的參數(shù)方程對應的曲線上兩點A，B對應的參數(shù)分別是和，求A，B兩點的距離. 【思路探究】　先寫出圓的漸開線的參數(shù)方程，再把A，B對應的參數(shù)代入?yún)?shù)方程可得對應的A，B兩點的坐標，然后使用兩點之間的距離公式可得A，B之間的距離． 【自主解答】　根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應的漸開線參數(shù)方程是(

5、φ為參數(shù))， 分別把φ＝和φ＝代入， 可得A，B兩點的坐標分別為 A，B. 那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A、B兩點的距離為|AB|＝ ＝. 即A、B兩點之間的距離為 . 根據(jù)漸開線的定義和求解參數(shù)方程的過程可知其中的字母r是指基圓的半徑，參數(shù)φ是指繩子外端運動時繩子上的定點M相對于圓心的張角． [再練一題] 1．當φ＝，時，求出漸開線上的對應點A，B，并求出A，B的距離． 【解】　將φ＝代入?yún)?shù)方程，得 把φ＝代入方程，得 ∴A，點B. 因此|AB|＝＝2， 故點A，B間的距離為2. 圓的擺線的參數(shù)方程 　已知一個圓的擺線過一定點(2,0)，請

6、寫出該圓的半徑最大時該擺線的參數(shù)方程以及對應的圓的漸開線的參數(shù)方程． 【思路探究】　根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù))，只需把點(2,0)代入?yún)?shù)方程求出r的表達式，根據(jù)表達式求出r的最大值，再確定對應的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可． 【自主解答】　令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r>0，即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因為x＝2， 所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得r＝(k∈Z)． 又由實際可知r>0，所以r＝(k∈N＋)．易知，當k＝1時，r取最大值為. 代入即可得圓的擺線的參

7、數(shù)方程為 (φ為參數(shù)) 圓的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． 根據(jù)擺線的定義和求解參數(shù)方程的過程可知其中的參數(shù)φ是指圓上定點相對于定直線與圓的切點所張開的角度． [再練一題] 2．已知一個圓的擺線方程是，(φ為參數(shù))，求該圓的面積和對應的圓的漸開線的參數(shù)方程． 【解】　首先根據(jù)擺線的參數(shù)方程可知 圓的半徑為4，所以面積為16π， 該圓對應的漸開線的參數(shù)方程是： (φ為參數(shù))． [構(gòu)建·體系] — 1．關(guān)于漸開線和擺線的敘述，正確的是(　　) A．只有圓才有漸開線 B．漸開線和擺線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才得到了不同的圖形 C．正方

8、形也可以有漸開線 D．對于同一個圓，如果建立的平面直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同 【解析】　不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線；漸開線和擺線的實質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同；對于同一個圓不論在什么地方建立平面直角坐標系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同．故選C. 【答案】　C 2．圓的漸開線(φ為參數(shù))上與φ＝對應點的直角坐標為(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 3．圓(θ為參數(shù))的平擺線上一點的縱坐標為0，那么其橫坐標可能是(　　) A．π B．3π C．6π D．10π

9、 【解析】　根據(jù)條件可知圓的平擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z)． 【答案】　C 4．半徑為4的圓的漸開線的參數(shù)方程是________． 【解析】　由圓的漸開線的參數(shù)方程 得(φ為參數(shù))． 【答案】　(φ為參數(shù)) 5．給出直徑為6的圓，分別寫出對應的漸開線的參數(shù)方程和擺線的參數(shù)方程． 【解】　以圓的圓心為原點，一條半徑所在的直線為x軸，建立直角坐標系．又圓的直徑為6，所以半徑為3，所以圓的漸開線的參數(shù)方程是 (φ為參數(shù))． 以圓周上的某一定點為原點，以給定定直線所在的直線為x軸

10、，建立直角坐標系，∴擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　

11、 學業(yè)分層測評(九) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(θ為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的周長是(　　) A．π　　　　B．2π　　　　C．3π　　　　D．4π 【解析】　圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，所以基圓的周長為2π，故選B. 【答案】　B 2．給出下列說法：①圓的漸開線的參數(shù)方程不能轉(zhuǎn)化為普通方程；②圓的漸開線的參數(shù)方程也可以轉(zhuǎn)化為普通方程，但是轉(zhuǎn)化后的普通方程比較麻煩，且不容易看出坐標之間的關(guān)系，所以常使用參數(shù)方程研究圓的漸開線問題；③在求圓的

12、擺線和漸開線方程時，如果建立的坐標系原點和坐標軸選取不同，可能會得到不同的參數(shù)方程；④圓的漸開線和x軸一定有交點而且是惟一的交點． 其中正確的說法有(　　) A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④ 【解析】?、馘e，②正確，對于一個圓，只要半徑確定，漸開線和擺線的形狀就是確定的，但是隨著選擇坐標系的不同，其在坐標系中的位置也會不同，相應的參數(shù)方程也會有所區(qū)別，故③正確，至于漸開線和坐標軸的交點要看選取的坐標系的位置．故④錯誤，故選C. 【答案】　C 3．當φ＝2π時，圓的漸開線上的點是(　　) A．(6,0) B．(6,6π) C．(6，－12π) D．(－π，12π) 【

13、解析】　當φ＝2π時，代入圓的漸開線方程． ∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π. 【答案】　C 4．已知一個圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，那么圓的擺線方程中與參數(shù)φ＝對應的點A與點B之間的距離為(　　) A.－1 B. C. D. 【解析】　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))，把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A， ∴|AB|＝＝. 【答案】　C 5．已知一個圓的擺線過點(1,0)，則擺線的參數(shù)方程為(　　) A. B. C. D. 【解析】　圓的擺線的參數(shù)方

14、程為 令r(1－cos φ)＝0， 得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin φ) 得：x＝r(2kπ－sin 2kπ)，又過(1,0)． ∴r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝. 又r＞0，∴k∈N＋. 【答案】　A 二、填空題 6．已知圓的方程為x2＋y2＝4，點P為其漸開線上一點，對應的參數(shù)φ＝，則點P的坐標為________． 【解析】　由題意，圓的半徑r＝2，其漸開線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 當φ＝時，x＝π，y＝2，故點P的坐標為P(π，2)． 【答案】　(π，2) 7．已知平擺線的方程為(α為參數(shù))，則該平擺線的拱高是________，周期是_____

15、___． 【解析】　由已知方程可化為 知基圓半徑為r＝1， ∴拱高為2r＝2，周期為2π. 【答案】　2　2π 8．漸開線(φ為參數(shù))的基圓的圓心在原點，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到的曲線的焦點坐標為________． 【解析】　根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑r＝6，其方程為x2＋y2＝36，把基圓的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變)，得到的曲線的方程為2＋y2＝36，整理可得＋＝1，這是一個焦點在x軸上的橢圓．c＝＝＝6，故焦點坐標為(6，0)和(－6，0)． 【答案】　(6，0)和(－6，0) 三、解答題 9．已知圓C的參數(shù)方程是(α為參數(shù))

16、和直線l對應的普通方程是x－y－6＝0. (1)如果把圓心平移到原點O，請問平移后圓和直線有什么位置關(guān)系？ (2)寫出平移后圓的漸開線方程． 【解】　(1)圓C平移后圓心為O(0,0)，它到直線x－y－6＝0的距離為d＝＝6，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的． (2)由于圓的半徑是6，所以可得漸開線方程是(φ為參數(shù))． 10．有一標準的漸開線齒輪，齒輪的齒廓線的基圓直徑為22 mm，求齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程． 【解】　因為基圓的直徑為22 mm，所以基圓的半徑為11 mm，因此齒廓線所在的漸開線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))． [能力提升] 1．如圖2-4-1，四邊形

17、ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中、、、…的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH的長是(　　) 圖2-4-1 A．3π B．4π C．5π D．6π 【解析】　根據(jù)漸開線的定義可知，是半徑為1的圓周長，長度為，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得是半徑為2的圓周長，長度為π；是半徑為3的圓周長，長度為；是半徑為4的圓周長，長度為2π，所以曲線AEFGH的長是5π. 【答案】　C 2．我們知道關(guān)于直線y＝x對稱的兩個函數(shù)互為反函數(shù)，則圓的擺線(φ為參數(shù))關(guān)于直線y＝x對稱的曲線的參數(shù)方程為________． 【解析】　關(guān)于直線y＝x對稱的

18、函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了x與y的互換，所以要寫出擺線方程關(guān)于y＝x對稱的曲線方程，只需把其中的x，y互換． 【答案】　(φ為參數(shù)) 3．已知圓的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的直徑是________，當參數(shù)φ＝時對應的曲線上的點的坐標為________． 【解析】　圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為1，故直徑為2.求當φ＝時對應的坐標只需把φ＝代入曲線的參數(shù)方程，得x＝＋，y＝－，由此可得對應的坐標為. 【答案】　2　 4．如圖2-4-2，若點Q在半徑AP上(或在半徑AP的延長線上)，當車輪滾動時，點Q的軌跡稱為變幅平擺線，取|AQ|＝或|AQ|＝，請推出Q的軌跡的參數(shù)方程． 圖2-4-2 【解】　設(shè)Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)， 則當|AQ|＝時， 有代入 ∴點Q的軌跡的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． 當AQ＝時，有 代入 ∴點Q的軌跡方程為(θ為參數(shù))． 最新精品資料