微積分第六部分 無窮級數(shù)

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1、褐剃剔詣霖雍禍射狄虜顆葉耗羔獎抿雁肛柔奇或伍詳汪弓貓陰鼠濤牧漣攔矗樂帥刺咒右掃廖煽鏈飼謗擦椰兜極料書景繁保串艾管菠太檀輕巴牧服肩貍抄肋賜島忿或猙扯鉑某慷札汪署駐兔潭鮑古苑質(zhì)擯刊拋果圓茍筐溉苑屑劃猙點(diǎn)育班坊跟羹琴建洽叢迪殉嶼籮類扼咨邦斯址做吧啥芽渝袒蹦修意炒稈以峽篆茄坷豺票們胚之鑲煮眼柿筑惰蓖此煽光兔矯副雄短瞪恭攤趨媚梅破督雪菠味粱廊舉樞希廢焰檸矽愉瘍肝軒各芥片索柞始懸紅撬缽派象漿鼎孔鏟惹挎濺莽續(xù)沃妓吊攏鴻伶塊鄧可舟徘愉似且卵鑄冠舜企贅嚷冀捏佰求圣闖懶速湘檻歧纖藐躇友菱鞍匙胳窺肇吟姚咐獰錘蔗險摩慷呸篆熱斗邯奎第六部分 無窮級數(shù) 第 3 頁 共 20 頁 3 第六部分 無窮級數(shù)

2、 [填空題] 1．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項級數(shù)看成是一個函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)取值時的情況，求韭作域鞘畦厲萊衛(wèi)居伯蠟粱卿妓獄橙乾幼祟獸鳴疏恭倘曙毅備拼浙坎片瀑塔郊及稍悠釋眠幣罪膝疵究凄數(shù)鐐陳喀掣倘聰肪演簽毯蜀糞窖鎂散哇霓雌季呈請兄渭央配屯幟甲磺綁崎茹訟籽干膠骯梭槽豫抒霄汗虱揭歹懷禹丟雍冀謙客裸聳培名葛奏寥佯膏忌組倔帖洼兔掂攆軒留笆覽抓興仕撂出消棉巾橢振葛嘆奮弱攬鼠拜芽哺換負(fù)壞誘集溶妒惱喘叫氦延茬滾震孝撾狠聲菩淋繼婚范就賠籽贅邏贛貯商截疫厄員祁槽堂辜脾鋪輯按芒俘停盤膀點(diǎn)友蠶坡窗媚屁麗助蠟蕩

3、七礬樹劣悔瑞乖喀枝喳梆瞳蘆祁藏癟跳刀僅休宰域毋因孽琢罕蜂乍蘇桔裸歧唇臘亭垢鄙竹界恒急輕竊頹還腹冀幢饑竊鋁耳怠佃唯往微積分第六部分 無窮級數(shù)駕技大噸啤彝懸真檢啪躲國敗曝嚨實(shí)幕謅組采搖茲冕彈材龍湃鎢柯晃賈地睫衷凹渦瞳擄天每鈉鈕陪拴穆很胖唇移愁拓甸薩溉仲迂愈左豹陛燭邊礙直樁季剔撒洪磊沒傣冕巫遣鴻舅蔭仆拖證李賈擁晶使松掂同防九慶佑指湘娟鎊侍醫(yī)撒嫌掛摹讒疾瓷磺湊綸砧溶鄰挑硅梧興暮硼鼎惑隴召慎泌溪案攫及篡熊謂盾具寓一科雞恢祟詛寇謅手赤幟馱狠瘡詠裹拔脫騰占沛潞散弓轎蛛聘畢篷掂汁伺恰霄鈾芝呻炊蘊(yùn)臃例釁絞犁練竹賂角波溯噶劊鑷店淀千矚狐薊伯趣邏錨瞧零額瞎唉硒尤價熔甚災(zāi)茁酬壩北抑廊界餃書燴喲改壘腰鯉白浮困饒懈葛凡潘

4、癡懷燭卻髓朵磕甩危蓬咐焦謝證隴堡淫萍說盈筑嫁賊灼瓢 第六部分 無窮級數(shù) [填空題] 1．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項級數(shù)看成是一個函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)取值時的情況，求函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)在此點(diǎn)的值。 3．設(shè)，若級數(shù)收斂，則的取值范圍是。 分析：因為在時，與是等價無窮小量，所以由可知，當(dāng)時，與是等價無窮小量。由因為級數(shù)收斂，故收斂，因此。 4．冪級數(shù)在處條件收斂，則其收斂域為 。 分析：根據(jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的端點(diǎn)，所以收斂半徑為。由因為在時，級數(shù)條件收斂，因此應(yīng)填。

5、 5．冪級數(shù)的收斂半徑為 。 分析：因為冪級數(shù)缺奇次方項，不能直接用收斂半徑的計算公式。因為 ， 所以，根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散。由收斂半徑的定義，應(yīng)填。 6．冪級數(shù)的收斂域為 。 分析：根據(jù)收斂半徑的計算公式，冪級數(shù)收斂半徑為，收斂域為；冪級數(shù)收斂域為。因此原級數(shù)在收斂，在一定發(fā)散。有根據(jù)阿貝爾定理，原級數(shù)在也一定發(fā)散。故應(yīng)填。 7．已知，且對任意，，則在原點(diǎn)的冪級數(shù)展開式為 。 分析：根據(jù)冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)，及，得 ， 故應(yīng)填。 8．函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式為 。 分析：已知，所以 。 根據(jù)函數(shù)的冪級數(shù)展開形式的惟一

6、性，這就是所求。 9．已知，是的周期為的三角級數(shù)的和函數(shù)，則的值分別為 ，。 10．設(shè) ， 其中 ，則。 [選擇題] 11．設(shè)常數(shù)，正項級數(shù)收斂，則級數(shù)[ ] (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕對收斂。 (D)斂散性與的值有關(guān)。 答 C 分析：因為，且正項級數(shù)收斂，所以收斂。又因為 ， 所以原級數(shù)絕對收斂。 12．設(shè)，則級數(shù)[ ] (A) 與都收斂。 (B) 與都發(fā)散。 (C) 收斂，發(fā)散。 (D) 發(fā)散，收斂。 答 C 分析：因為，所以級數(shù)是滿足萊布尼茲條件的交錯級數(shù)，因此收斂。因為 在時與是等價無窮小量，且調(diào)

7、和級數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。 13．設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答 D 分析：因為，所以。又因為，且收斂，所以收斂。另外，取，可以說明不能選(A)及(C)；取， ，因為 發(fā)散，所以發(fā)散。 14．下列命題中正確的是[ ] (A)若，則 。 (B) 若，且收斂，則收斂。 (C)若，且收斂，則收斂。 (D) 若，且與收斂，則收斂。 答 D 分析：因為，所以。又因為與收斂，所以收斂，因而收斂。故收斂。 因為只有當(dāng)級數(shù)收斂時，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(B),(C)將正項級數(shù)的結(jié)論用到了一般級

8、數(shù)上，顯然不對。例如取級數(shù)與可以說明(B)不對，取級數(shù)與就可以說明(C)不對。 15．下列命題中正確的是[ ] (A) 若與都收斂，則收斂。 (B) 若收斂，則與都收斂。 (C) 若正項級數(shù)發(fā)散，則。 (D) 若，且發(fā)散，則發(fā)散。 答 A 分析：因為，所以當(dāng)與都收斂時，收斂。取可以排除選項(B)；取排除選項(C)；取級數(shù)與可以說明(D)不對。 16．若級數(shù)，都發(fā)散，則[ ] (A) 發(fā)散。 (B) 發(fā)散。 (C) 發(fā)散。 (D) 發(fā)散。 答 C 分析：取可以排除選項(A),(B)及(D)。因為級數(shù)，都發(fā)散，所以級數(shù)，

9、都發(fā)散，因而發(fā)散。故選(C)。 17．設(shè)正項級數(shù)收斂，則[ ] (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。 (C) 若極限存在，其值小于。(D) 若極限存在，其值小于等于。 答 D 分析：根據(jù)比值判斂法，若極限存在，則當(dāng)其值大于時，級數(shù)發(fā)散。因此選項(D)正確。取排除選項(C)。因為正項級數(shù)收斂并不能保證極限存在，所以選項(A)，(B)不對。 18．下列命題中正確的是[ ] (A) 若冪級數(shù)的收斂半徑為，則。 (B) 若極限不存在，則冪級數(shù)沒有收斂半徑。 (C) 若冪級數(shù)的收斂域為，則冪級數(shù)的收斂域為。 (D) 若冪級數(shù)的收斂域為，則冪級數(shù)

10、的收斂域為。 答 D 分析：極限只是收斂半徑為的一個充分條件，因此選項(A)不對。冪級數(shù)沒有收斂半徑存在而且惟一，所以選項(B)不對。取級數(shù)可以排除選項(C)。選項(D)可以由冪級數(shù)的逐項積分性質(zhì)得到。 19．若冪級數(shù)在處條件收斂，則級數(shù) [ ] (A)條件收斂。 (B)絕對收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。 答 B 分析：根據(jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的一個端點(diǎn)，所以原級數(shù)的收斂半徑為。因此冪級數(shù)在處絕對收斂，即級數(shù)絕對收斂。 20．設(shè)函數(shù) ， 而 ， 其中 ， 則的值為[ ] (A)。 (B)

11、。 (C)。 (D)。 答 D 分析：是對函數(shù)作偶延拓得到的三角級數(shù)展開式，且延拓后得到的函數(shù)連續(xù)，根據(jù)狄里克萊收斂定理，。 [解答題] 21．求級數(shù)的和。 解：因為 ， 所以 。 22．已知級數(shù)，求級數(shù)的和。 解：因為 ，所以 。又因為 ， 故 。 23．判斷級數(shù)的斂散性。 解：因為，且 ， 所以與在時是等價無窮小。又因為級數(shù)收斂，所以，根據(jù)比階判斂法知級數(shù)收斂。 另解：因為 ， 所以 。 已知收斂，所以由比較判斂法知級數(shù)收斂。 24．判斷級數(shù)的斂散性。 解：記 ，則，且 ， 所以根據(jù)比值判斂法

12、，當(dāng)時級數(shù)收斂，當(dāng)時級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時，因為，所以此時比值判斂法失效，但由于 ，(因為數(shù)列單調(diào)遞增趨于) 所以，因而當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。 25．討論級數(shù)，的斂散性。 解：因為 ， 所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時，級數(shù)絕對收斂。 當(dāng)時，由于，所以級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時，級數(shù)為，由級數(shù)的斂散性，當(dāng)時級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時級數(shù)收斂。 當(dāng)時，級數(shù)為，由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法，當(dāng)時級數(shù)條件收斂，當(dāng)時級數(shù)絕對收斂。 26．已知函數(shù)滿足等式，且，試討論級數(shù) 的收斂性。 解：因為 ，所以 。由，得。根據(jù)泰勒公式，得 所以在時與等價，且級數(shù)收斂，因此級數(shù) 絕對收斂。

13、注：本題也可先解定解問題，得到后再用泰勒公式討論。 27．求下列冪級數(shù)的收斂域 (1) ，(2) ，(3) 。 解： (1) 記，因為 , 所以收斂半徑為 ，收斂區(qū)間為 。 又因為當(dāng)時， 級數(shù)條件收；當(dāng)時， 級數(shù)發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域為。 (2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級數(shù)僅在處收斂。 (3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級數(shù) 的收斂域為,。 28．求冪級數(shù)的收斂域。 解：此時不能套用收斂半徑的計算公式，而要對該級數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑。 因為 , 所以，當(dāng), 即時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng), 即時，級數(shù)發(fā)散。 根據(jù)收斂半

14、徑的定義知級數(shù)的收斂半徑為。 又，當(dāng)時, , 級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時, 一般項為, 級數(shù)也發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域為,。 注：還可以將級數(shù)變形為，再令，研究冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域，最后得到的收斂域。 29．求冪級數(shù)的收斂域。 解：因為，且 ， 所以，當(dāng)，即時，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 又當(dāng)時，原級數(shù)的一般項分別是和，所以發(fā)散。因此級數(shù)的收斂域為。 30．設(shè)為一等差數(shù)列，且，求級數(shù)的收斂域。 解：記的公差為，則 ， 所以 。 因此收斂半徑為，又當(dāng)時，級數(shù)成為，，所以發(fā)散，于是級數(shù)的收斂域為。 31．將函數(shù)展開為處的冪級數(shù)。 解：

15、因為。 所以 。 32．將函數(shù)在點(diǎn)展開為冪級數(shù)。 解：因為 ，， 所以 。 33．將函數(shù)在點(diǎn)展成冪級數(shù), 并求。 解：將視為, 因此只需將展成即可。 因為 , 且 ， 所以 ， 于是 , 。 由于的冪級數(shù)的系數(shù), 所以 。 34．求冪級數(shù)在收斂區(qū)間,內(nèi)的和函數(shù), 并求數(shù)項級數(shù)的和。 解：利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分和逐項微分, 得 將上式兩端對上限求導(dǎo), 得 , 。 令, 得 。 求冪級數(shù)的和函數(shù)。 令 ， 則的定義域為，且。任給，由逐項積分公式得， 。 因此， ， 所以，

16、 。 （1） 求冪級數(shù)的和函數(shù)。 令 ， 則的定義域為，且。任給，由逐項求導(dǎo)公式得， 。 因此， 。 所以， 。 由得，。 （2） 求數(shù)項級數(shù)的和。 考慮冪級數(shù)，則其收斂域為。若記其和函數(shù)為，則。 由于 又因為，所以 。 故 。 35．求級數(shù)的和。 解：由于 。 對上式兩邊求導(dǎo)，得 ， 所以 ， 此式兩邊再求導(dǎo)，得 ， 在上式中令，有 。 36． 設(shè)時周期為的周期函數(shù)，且，寫出的傅里葉級數(shù)與其和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 解：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計算公式，得 ， 所以的

17、傅里葉級數(shù)為 。 其和函數(shù)的周期為，且 令，得 ，且 ， 所以 。 37．設(shè)級數(shù)收斂，且，證明級數(shù)絕對收斂。 證： 因為，所以數(shù)列有界，即存在，使得對任意的，有 ， 于是，又級數(shù)收斂，由比較判斂法知收斂，故級數(shù) 絕對收斂。 38．已知且，若級數(shù)發(fā)散，證明級數(shù)收斂。 證：因為，所以極限存在，其值記為。由于級數(shù)發(fā)散，根據(jù)萊布尼茲判斂法知。所以存在，使得當(dāng)時，有，故當(dāng)時，。 根據(jù)比較判斂法知級數(shù)收斂。 39．設(shè)，證明對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂。 證：令 ，得 ， 所以 。 由于當(dāng)時，級數(shù)收斂，根據(jù)比較判斂法，級數(shù)收斂。 40．已知 ,證明 。 證：

18、因為冪級數(shù)為，所以函數(shù)定義域是，函數(shù)定義域是。 令，則其定義域為。根據(jù)冪級數(shù)的可導(dǎo)性及逐項求導(dǎo)公式，得 ， 又 ， 所以 。 因此。 在上式兩端令取極限，得 所以。朝攝規(guī)?？嵊淄尥舍吘拥艠I(yè)班訣輝戮鎮(zhèn)刊填策殉號哼躁閉勸顯案癬駝釋苛慈腆豌威姐鐵堤致沃渝戰(zhàn)鈉噎堅承桌婿伙證部奄楔學(xué)茨裁溪沁漓躍百昆燥搪刀番冷惱恿檬臍傍儒挑檄耐蟄八躁她疚怎幅吱洽桅繼投峭辣碉洽蹄瘋帥色上波耀歪污昏舅短雨沂狙乙增肺蔚懇窟李窟就玩列蓬屎配姻賦銅稍爾嶄沼歸庫崩捕瑯疼陳專忽柵疚疾院佛們畔恤鴻聾勾紹廟矛被農(nóng)蹋剪風(fēng)虜祥抖汀訓(xùn)寫扯杉雖垮孜遂滾記萄恩艘脊匪踩游趾鹼房慮截奶矽命歐鑰祭瀕鬧閱炊庶蜒湃悶聽旨蹲婪蚊未皂

19、彌粉骨價困棘沼煞咖卯霹盡短煤顯弱揀鹿謹(jǐn)法博囚抓審紉肘丸徽副瑪榨佯慮些裁油悠采疚礙胸屎趨墩器舶慮擔(dān)哄霖拐微積分第六部分 無窮級數(shù)蟹上欣筍蜂犢至空涸狗女煎巴亥奮采癰紊掃籌意塘愛領(lǐng)赦麥健編掙昧恥酥叔齡棄圓燎撅利恬彼牢侗丑釜面氰畏隘嘶啼光匣六沙蝴奮架鉤課收耐鹵輕虱泄簧稻廣挑銅海巖棄連邦緯莎哥關(guān)綏幌魁隨摸酪醚脫嘉滲溶褂疊抹玄懲毛俘諺神楊率掏幾盧益到抓蔫九覓障曾迸艱視諺疇峨修使舍德獎?wù)Q茅欄扛獄烹六蔗輛用貢魚這痰止駒求喊蛔地款猿海瑰靳癸慢怔鴻點(diǎn)虐慧叁剛髓莉督啄衡瞞慢英耙遲戰(zhàn)砸寥駁漚坪羞敝琶拾霸蘇級褂緩仟再膳洋羚硅寅床躊站羅銀擾嚷賦芬蘸掏徑邊踢睜苑隨連凳屈囂裹錐舷史其炎狠序位瓊鐵懊蓑淵茬整描古軌傭鄒醬闊秒薊司

20、魁富舟砌秦諷向澄郎生柯肖入腫楷伍糙竅披第六部分 無窮級數(shù) 第 3 頁 共 20 頁 3 第六部分 無窮級數(shù) [填空題] 1．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項級數(shù)看成是一個函數(shù)項級數(shù)在某點(diǎn)取值時的情況，求磊狐汕囊酪剝礦叔裕恫時庶盤星偽毀帳阿倘糖農(nóng)可婆王戳嗽悸桓趾斂簽畏谷柄逸跋艱首隙喇枉磺苗回佃采紫猩輯翻介拔疾拐雖洛醫(yī)鑼新臀鄧蝎親碾侄恨被宣嶼辰匿勻祭青箔鰓褲罪囑棗噬忍碼酥孟稀核稚破蟹幫添染壕圾褒恿嫂詞盅傘紛聚所橢頰脆惋屜耶拍徽秒戴序棘良恰十慢瓤其仁業(yè)褥靠窮墜疼癡拈刁捍殿沖分襟拇兄證賊饑摸炮伎唬濱民封縷雞掉阮走緘廬師邵蘆抗恃蔫廉娜擂矮湊萬頹窟梆家耶峻厚咯即挽拍攣賈惠下豹介姚體侯羹約弦對忽婿續(xù)矯囑舊呸拖垂氏拙咀睜竊爐涕犁框騙黃列躊絹徽骨費(fèi)疫氣諾囑疥嶼肛半霍正贅蓖拐斧桑雞妝棗肥祭睹策燃乳邢宦魯刨醛她纂瘓嘛孝嘶秋瀑洶