高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第3節(jié) 平行關(guān)系 Word版含解析

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1、 第三節(jié)　平行關(guān)系 [最新考綱]　1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題． 1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”) ?l∥α 性質(zhì)定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) ?a∥b 2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

2、 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) ?α∥β 性質(zhì)定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 ?a∥b 平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論 (1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β. (2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b. (3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行

3、于這個平面內(nèi)的任一條直線．(　　) (2)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(　　) (3)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(　　) (4)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 二、教材改編 1．已知直線a與直線b平行，直線a與平面α平行，則直線b與平面α的關(guān)系為(　　) A．平行　 B．相交 C．直線b在平面α內(nèi) D．平行或直線b在平面α內(nèi) D　[依題意，直線a必與平面α內(nèi)的某直線平行，又a∥b，因此直線b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線b在平面α內(nèi)

4、．] 2．下列命題中正確的是(　　) A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面 B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行 C．平行于同一條直線的兩個平面平行 D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，bα，則b∥α D　[A錯誤，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)；B錯誤，a與α內(nèi)的直線平行或異面；C錯誤，兩個平面可能相交．] 3．平面α∥平面β的一個充分條件是(　　) A．存在一條直線a，a∥α，a∥β B．存在一條直線a，aα，a∥β C．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α D．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ

5、，a∥β，b∥α D　[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，則a∥α，a∥β，故排除A；若α∩β＝l，aα，a∥l，則a∥β，故排除B；若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C；故選D.] 4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________． 平行　[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線， ∴EF∥BD1， 又EF平面ACE， BD1平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.] 考點(diǎn)1　與線、面平行相關(guān)命題的判定 　判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線

6、、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無論是單項(xiàng)選擇還是含有選擇項(xiàng)的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng)． 　1.(2019·全國卷Ⅱ)設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　) A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行 C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面 B　[由面面平行的判定定理知：α內(nèi)兩條相交直線都與β平行是α∥β的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若α∥β，則α內(nèi)任意一條直線都與β平行，所以α內(nèi)兩條相交直線都與β平行是α∥β的必要條件，故選B.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中

7、，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) A　[A項(xiàng)，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交． B項(xiàng)，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. C項(xiàng)，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D項(xiàng)，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥

8、NQ， ∴AB∥NQ. 又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.] 　解答此類問題時，特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，可通過舉反例、否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確． 考點(diǎn)2　直線與平面平行的判定與性質(zhì) 　直線與平面平行的判定 　證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))． (2)利用線面平行的判定定理(aα，bα，a∥b?a∥α)． (3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)． (4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aβ，a∥α?a∥β)． 　[一題多解]如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形AB

9、CD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)． 求證：GF∥平面ADE. [證明]　法一：(線線平行，則線面平行)如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD， 又G是BE的中點(diǎn)， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 又F是CD的中點(diǎn)， 所以DF＝CD. 由四邊形ABCD是矩形得 AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 從而四邊形HGFD是平行四邊形， 所以GF∥DH. 又DH平面ADE，GF平面ADE， 所以GF∥平面ADE. 法二：(面面平行，則線面平行) 如圖，取AB的中點(diǎn)M，連接MG，MF.

10、 又G是BE的中點(diǎn)，可知GM∥AE. 又AE平面ADE，GM平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中， 由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MF∥AD. 又AD平面ADE，MF平面ADE. 所以MF∥平面ADE. 又因?yàn)镚M∩MF＝M，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF∥平面ADE. 因?yàn)镚F平面GMF， 所以GF∥平面ADE. 　 證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，解題的思路是利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行，注意內(nèi)外平行三條件，缺

11、一不可． 　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個動點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)． (1)證明：OE∥平面PAB； (2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF； (3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC. [證明]　(1)由已知四邊形ABCD為菱形， 又O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)， 又E為PD的中點(diǎn)， 所以O(shè)E∥PB. 又OE平面PAB，PB平面PAB， 所以O(shè)E∥平面PAB. (2)過E作EG∥FD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O. 因?yàn)镋G∥FD，EG平面BDF，F(xiàn)D

12、平面BDF， 所以EG∥平面BDF， 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)， 又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以G為PF的中點(diǎn)， 因?yàn)锳F＝1，PA＝3，所以F為AG的中點(diǎn)， 所以O(shè)F∥CG. 因?yàn)镃G平面BDF，OF平面BDF， 所以CG∥平面BDF. 又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE， 所以平面CGE∥平面BDF， 又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF. (3)連接AM，并延長，交BC于點(diǎn)Q，連接PQ， 因?yàn)镸為△ABC的重心，所以Q為BC中點(diǎn)，且＝.又AF＝2，所以＝.所以＝，所以MF∥PQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC， 所以FM∥平面PBC.

13、 　直線與平面平行的性質(zhì) 　應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是如何確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線． 　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH. 求證：AP∥GH. [證明]　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點(diǎn)， 又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥MO. 又MO平面BMD，AP平面BMD， ∴AP∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且AP平面PAHG，∴AP∥GH. 　要證線線平行，可

14、把它們轉(zhuǎn)化為線面平行．即在應(yīng)用性質(zhì)定理時，一般遵循從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化，即從“線面平行”到“線線平行”； 而解決線面平行的判定時其順序恰好相反． [教師備選例題] 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，點(diǎn)M在棱PB上，PD∥平面MAC，求證：M為PB的中點(diǎn)． [證明]　連接BD，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為E，連接ME. 因?yàn)镻D∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)， 所以M為PB的中點(diǎn)． 　如圖，四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD, E，F(xiàn)，H分別是線段AD，PC，C

15、D的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．求證： (1)AP∥平面BEF； (2)GH∥平面PAD. [證明]　(1)連接EC， ∵AD∥BC，BC＝AD，E是AD的中點(diǎn)， ∴BC綊 AE， ∴四邊形ABCE是平行四邊形， ∴O為AC的中點(diǎn)． 又∵F是PC的中點(diǎn)，∴FO∥AP. ∵FO平面BEF，AP平面BEF， ∴AP∥平面BEF. (2)連接FH，OH， ∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)， ∴FH∥PD. ∵PD平面PAD，F(xiàn)H平面PAD， ∴FH∥平面PAD. 又∵O是AC的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，∴OH∥AD. 又∵AD平面PAD，OH平

16、面PAD， ∴OH∥平面PAD. 又∵FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD. 考點(diǎn)3　平面與平面平行的判定與性質(zhì) 　證明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的定義． (2)利用面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行． (3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”． (4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行”． (5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化． 　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B

17、1，A1C1的中點(diǎn)，求證： (1)B，C，H，G四點(diǎn)共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. [證明]　(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)， ∴GH是△A1B1C1的中位線，GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC， ∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四點(diǎn)共面． (2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)， ∴EF∥BC. ∵EF平面BCHG，BC平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB， ∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB. ∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴

18、平面EFA1∥平面BCHG. [母題探究] 1．在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA. [證明]　如圖所示，連接HD，A1B， ∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)， ∴HD∥A1B. 又HD平面A1B1BA， A1B平面A1B1BA， ∴HD∥平面A1B1BA. 2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D. [證明]　如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M， ∵四邊形A1ACC1是平行四邊形， ∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD， ∵D為BC的中點(diǎn)， ∴A1B∥DM. ∵A1B平面A1BD1

19、， DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1， 又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD， ∴四邊形BDC1D1為平行四邊形， ∴DC1∥BD1. 又DC1平面A1BD1， BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1. 又∵DC1∩DM＝D，　 DC1，DM平面AC1D， ∴平面A1BD1∥平面AC1D. 　本例的證明應(yīng)用了三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化 其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化． 　如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BD

20、E∥平面MNG. [證明]　(1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O， 連接AE，則AE必過點(diǎn)O，連接MO， 則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO. 因?yàn)锽E平面DMF， MO平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)， 所以DE∥GN. 因?yàn)镈E平面MNG，GN平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)， 所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN. 因?yàn)锽D平面MNG，MN平面MNG， 所以BD∥平面MNG. 因?yàn)镈E∩BD＝D，BD，DE平面BDE， 所以平面BDE∥平面MNG.