2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第21練

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1、 第21練　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)[小題提速練] [明晰考情]　1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn).2.題目難度：中等偏難. 考點(diǎn)一 　圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧　(1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時(shí)，一定不要忽視定義中的隱含條件. (2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離，一般可以利用定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化. (3)求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”. 1.已知A(0，7)，B(0，－7)，C(12，2)，以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是(　　) A.y2－＝1 B.x2－＝

2、1 C.y2－＝1(y≤－1) D.x2－＝1(x≥1) 答案　C 解析　由兩點(diǎn)間距離公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因?yàn)锳，B都在橢圓上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1)，故選C. 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－

3、＝1 答案　B 解析　由e＝知a＝b，且c＝a. ∴雙曲線漸近線方程為y＝±x. 又kPF＝＝＝1，∴c＝4，則a2＝b2＝＝8. 故雙曲線方程為－＝1. 3.已知橢圓＋＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是________. 答案　 解析　由橢圓的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F1為直角， 所以＝|F1F

4、2||PF2|＝×2×1＝. 4.已知拋物線y＝x2，A，B是該拋物線上兩點(diǎn)，且|AB|＝24，則線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為________. 答案　8 解析　由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y， 焦點(diǎn)F(0，4)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AB|≤|AF|＋|BF|＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y(tǒng)1＋y2＋8， ∴y1＋y2≥16，則線段AB的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y＝≥8， ∴線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8. 考點(diǎn)二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 方法技巧　(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程(組

5、)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式. (2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等. 5.(2018·全國Ⅱ)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　A 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為bx±ay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴漸近線方程為ax±ay＝0，即y＝±x. 故選A. 6.(2018·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C

6、的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為(　　) A. B.2 C. D. 答案　C 解析　如圖，過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形. 因?yàn)閨F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a. 又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a， 所以|F2P|＝a＝b， 所以c＝＝a，所以e＝＝. 7.(2017·山東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，若|AF|

7、＋|BF|＝4|OF|，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案　y＝±x 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∴y1＋y2＝. 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4×， 即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 8.(2017·全國Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若∠MAN＝60°，則C的離心率為________. 答案　 解析　如圖，由題意知點(diǎn)A(a，0)，雙

8、曲線的一條漸近線l的方程為y＝x，即bx－ay＝0， ∴點(diǎn)A到l的距離d＝. 又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b， ∴△MAN為等邊三角形， ∴d＝|MA|＝b， 即＝b，∴a2＝3b2， ∴e＝＝ ＝. 考點(diǎn)三　圓錐曲線的綜合問題 方法技巧　(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標(biāo)函數(shù)法；條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進(jìn)行證明. 9.已知方程－＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A.(－∞，－1) B.(－2，＋∞) C.∪(－1，＋∞) D.∪ 答案　D 解

9、析　由－＝1轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， 假設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設(shè)焦點(diǎn)在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 10.(2016·全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　如圖，因?yàn)镸F1與x軸垂直，所以|MF1|＝. 又sin∠MF2F1＝， 所以＝， 即|MF2|＝3|MF1|.由雙曲線的定義得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝

10、，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 11.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案　 解析　顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，則x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋， ∴mn＝·，m＋n＝，∴＝. 12.(2018·齊齊哈爾模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且

11、△F1AB的面積為，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則＋的取值范圍為________. 答案　 解析　由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝， ∴＋＝＝＝， 又2－≤|PF1|≤2＋， ∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為. 1.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2，0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則·的取值范圍為(　　) A.[3－2，＋∞) B.[3＋2，＋∞) C. D. 答

12、案　B 解析　由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，則·＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因?yàn)閤≥，所以·的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，且短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案　＋＝1或＋＝1 解析　由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1；當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1，2)，B(－1，2)，動(dòng)點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲

13、線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動(dòng)點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案　(1，2) 解析　設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0，2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2，又e>1，故1

14、本身的限制條件. 1.已知橢圓＋＝1(a＞)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，且離心率e＝，若點(diǎn)P在橢圓上，|PF1|＝4，則|PF2|的值為(　　) A.2 B.6 C.8 D.14 答案　A 解析　橢圓＋＝1(a＞)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上， b＝，c＝， 則離心率e＝＝，即＝， 解得a2＝9，a＝3， ∴橢圓的長軸長為2a＝6， 由橢圓的定義可知，|PF1|＋|PF2|＝4＋|PF2|＝6， ∴|PF2|＝2. 2.設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　D 解析　因?yàn)?/p>

15、拋物線方程是y2＝4x，所以F(1，0). 又因?yàn)镻F⊥x軸，所以P(1，2)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2. 3.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，|PQ|＝10，則拋物線的方程是(　　) A.y2＝4x B.y2＝2x C.y2＝8x D.y2＝6x 答案　C 解析　設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由拋物線的定義可知， |PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋＋x2＋ ＝(x1＋x2)＋p， ∵線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3， 又|PQ|＝1

16、0， ∴10＝6＋p，可得p＝4， ∴拋物線的方程為y2＝8x. 4.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，若＝2，且||＝4，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　設(shè)A(x，y)，B為虛軸的上頂點(diǎn)，∵右焦點(diǎn)為F(c，0)，點(diǎn)B(0，b)，線段BF與雙曲線C的右支交于點(diǎn)A，且＝2， ∴x＝，y＝， 代入雙曲線方程，得－＝1， 且c2＝a2＋b2， ∴b＝. ∵||＝4，∴c2＋b2＝16， ∴a＝2，b＝， ∴雙曲線C的方程為－＝1.

17、 5.已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(x－a)2＋y2＝8與l交于A，B兩點(diǎn)，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線Γ的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓(x－a)2＋y2＝8的圓心為(a，0)，半徑r＝2，由于∠ACB＝，由勾股定理得|AB|＝＝4，故|OA|＝|AB|＝1.在△OAC，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得a2＝13.由圓心到直線y＝x的距離為2，得＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，解得c＝，故離心率為＝＝. 6.(2018·天津)已知雙曲

18、線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　C 解析　如圖，不妨設(shè)A在B的上方， 則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2， ∴a＝. ∴雙曲線的方程為－＝1. 故選C. 7.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸.

19、過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　設(shè)M(－c，m)(m≠0)，則E，OE的中點(diǎn)為D，則D，又B，D，M三點(diǎn)共線， 所以＝，a＝3c，所以e＝. 8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，則該雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)， |PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2

20、a， 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 又r1·r2＝ab，所以·＝ab，解得＝(負(fù)值舍去)， 故e＝＝＝＝，故選B. 9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6，4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為________. 答案　15 解析　因?yàn)闄E圓＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦點(diǎn)為F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0).根據(jù)橢圓的定義，得 |PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a－|PF2|)＝10＋(|PM|－|PF2|). 因?yàn)閨PM|－|PF2|≤|MF2|， 當(dāng)且僅當(dāng)P在MF2的延長線上時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí)|PM|＋|P

21、F1|的最大值為10＋5＝15. 10.(2017·全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. 答案　6 解析　如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P， ∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.

22、11.已知拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)M(1，t)(t>0)到焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－＝1(a>0)的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實(shí)數(shù)a的值為________. 答案　3 解析　由題意知1＋＝5，∴p＝8. ∴M(1，4)， 由于雙曲線的左頂點(diǎn)A(－a，0)， 且直線AM平行于雙曲線的一條漸近線， ∴＝，則a＝3. 12.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若M是線段PF1上一點(diǎn)，且滿足＝2，·＝0，則橢圓C的離心率的取值范圍為________. 答案　 解析　設(shè)P(x，y)(y≠0)，取MF1的中點(diǎn)N， 由＝2知，＝， 解得點(diǎn)N， 又·＝0， 所以⊥， 連接ON，由三角形的中位線可知⊥， 即(x，y)·＝0， 整理得(x－c)2＋y2＝c2(y≠0)， 所以點(diǎn)P的軌跡為以(c，0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(diǎn)(0，0)，(2c，0))，要使得圓與橢圓有公共點(diǎn)，則a－c＜c，所以e＝＞，又0