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1、
函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用備考策略
主標題：函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用備考策略
副標題：通過考點分析高考命題方向，把握高考規(guī)律，為學生備考復習打通快速通道。
關鍵詞：y＝Asin(ωx＋φ)，圖象與性質，備考策略
難度：2
重要程度：4
內容考點一 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象畫法與變換
【例1】 (1)已知f(x)＝sin(ω＞0)的圖象與y＝－1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π，要得到y(tǒng)＝f(x)的圖象，只需把y＝cos 2x的圖象
( )．
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位
C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
2、(2)已知函數y＝2sin.
①求它的振幅、周期、初相；
②用“五點法”作出它在一個周期內的圖象；
③說明y＝2sin的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換而得到．
(1)解析 依題意T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，∴只需y＝cos 2x＝sin(2x＋)＝sin2(x＋) f(x)＝sin(2x＋)．
答案 B
(2)解 ①y＝2sin的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
②令X＝2x＋，則y＝2sin＝2sin X.
列表，并描點畫出圖象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sin X
0
1
0
3、
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
③法一 把y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin的圖象；再把y＝sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin的圖象；最后把y＝sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin的圖象．
法二 將y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標x縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)＝sin 2x的圖象；再將y＝sin 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)＝sin 2＝sin的圖象；再將y＝sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到y(tǒng)＝2sin的
4、圖象．
【備考策略】 函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種作法是五點作圖法和圖象變換法．
(1)五點法：用“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π來求出相應的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．
(2)三角函數圖象進行平移變換時注意提取x的系數，進行周期變換時，需要將x的系數變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．
考點二 由圖象求函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部
5、分圖象
如圖所示，則函數f(x)的解析式為________．
解析 由圖可知A＝，
法一 ＝－＝，所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又對應五點法作圖中的第三個點，因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝sin.
法二 以為第二個“零點”，為最小值點，
列方程組解得
故f(x)＝sin.
答案 f(x)＝sin
【備考策略】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：
(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫
6、坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.
考點三 函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質應用
【例3】 已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值為2，最小正周期為π，直線x＝是其圖象的一條對稱軸．
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)求函數g(x)＝f－f的單調遞增區(qū)間．
解 (1)由題意，得A＝2，ω＝＝2，
當x＝時，2sin＝±2，
即sin＝
7、±1，所以＋φ＝kπ＋，
解得φ＝kπ＋，又0＜φ＜，所以φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin－2sin
＝2sin 2x－2sin
＝2sin 2x－2
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函數g(x)的單調遞增區(qū)間是，k∈Z.
【備考策略】 函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質
(1)奇偶性：φ＝kπ時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為奇函數；φ＝kπ＋(k∈Z)時，函數y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數．
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為T＝.
(3)單調性：根據y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的單調性來研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調增區(qū)間；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得單調減區(qū)間．
(4)對稱性：利用y＝sin x的對稱中心為(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω.
利用y＝sin x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其對稱軸．
高考數學專題復習教案： 函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用備考策略
