高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 附加題部分 第3章 選修4－1 第70課 直線與圓的位置關(guān)系

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1、 第70課 直線與圓的位置關(guān)系 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 圓的切線的判定與性質(zhì)定理 √ 圓周角定理，弦切角定理 √ 相交弦定理，割線定理，切割線定理 √ 圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)定理 √ 1．圓周角與圓心角定理 (1)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于其所對(duì)弧的度數(shù)． (2)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于其所對(duì)弧的度數(shù)的一半． 推論1：同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角相等．同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角等于90°.反之，90°的圓周角所對(duì)的弧為半圓(或弦為直徑)． 2

2、．圓的切線的性質(zhì)及判定定理 (1)判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線． (2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑． 推論1：經(jīng)過圓心且與切線垂直的直線必經(jīng)過切點(diǎn)． 推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且與切線垂直的直線必經(jīng)過圓心． 3．切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線長相等． 4．弦切角定理 弦切角的度數(shù)等于其所夾弧的度數(shù)的一半． 5．與圓有關(guān)的比例線段 定理 名稱 基本圖形 條件 結(jié)論 應(yīng)用 相交 弦定 理 弦AB，CD相交于圓內(nèi)點(diǎn)P (1)PA·PB＝PC·PD； (2)△ACP∽△BDP (1)在PA，PB，PC，PD四線段中知

3、三求一； (2)求弦長及角 割線 定理 PAB，PCD是⊙O的割線 (1)PA·PB＝PD·PC； (2)△PAC∽△PDB (1)求線段PA，PB，PC，PD； (2)應(yīng)用相似求AC，BD 切割 線定 理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線 (1)PA2＝PB·PC； (2)△PAB∽△PCA (1)已知PA，PB，PC知二可求一； (2)求解AB，AC 切線 長定 理 PA，PB是⊙O的切線 (1)PA＝PB； (2)∠OPA＝∠OPB (1)證明線段相等，已知PA求PB； (2)求角 6.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 (1)

4、性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)． (2)判定定理：如果四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，則此四邊形內(nèi)接于圓． 1．(思考辨析)判斷下列說法的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)． (1)相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．(　　) (2)任意一個(gè)四邊形、三角形都有外接圓．(　　) (3)等腰梯形一定有外接圓．(　　) (4)弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)如圖70-1，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD，CE分別經(jīng)過點(diǎn)M，N，若CM＝2，MD＝4，CN＝3，則線段NE的長為________． 圖70-

5、1 　[由題意可設(shè)AM＝MN＝NB＝x，由圓的相交弦定理得 即 解得x＝2，NE＝.] 3．(教材改編)如圖70-2，P為⊙O外一點(diǎn)，過P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，過PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C，D兩點(diǎn)，若QC＝1，CD＝3，則PB＝________. 圖70-2 4　[由切割線定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4， 所以QA＝2，PB＝PA＝4.] 4．(2016·天津高考)如圖70-3，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，則線段CE的長為________． 圖70-3 　[如圖，設(shè)圓心為O，連結(jié)OD，則OB＝O

6、D. 因?yàn)锳B是圓的直徑，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝. 又BD＝ED，∠B為△BOD與△BDE的公共底角， 所以△BOD∽△BDE，所以＝， 所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝. 因?yàn)锳E·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.] 5．如圖70-4，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，證明：∠OCB＝∠D. 圖70-4 [證明]　因?yàn)锽，C是圓O上的兩點(diǎn)，所以O(shè)B＝OC， 故∠OCB＝∠B. 又因?yàn)镃，D是圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)． 故∠B，∠D為同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角． 所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D. 圓的切線性質(zhì)

7、與判定、弦切角定理 　如圖70-5，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E. 圖70-5 (1)若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172366】 [解]　(1)證明：如圖，連結(jié)AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE. 連結(jié)OE，則∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°， 所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切線． (2)設(shè)CE＝1，AE＝x. 由已知得AB＝2，BE＝. 由射影定理

8、可得AE2＝CE·BE， 即x2＝，即x4＋x2－12＝0. 解得x＝，所以∠ACB＝60°. [規(guī)律方法]　1.圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關(guān)系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小． 2．涉及圓的切線問題時(shí)要注意弦切角的轉(zhuǎn)化；關(guān)于圓周上的點(diǎn)，常作直徑(或半徑)或向弦的(弧)兩端作圓周角或弦切角． [變式訓(xùn)練1]　如圖70-6，AB切⊙O于點(diǎn)B，直線AO交⊙O于D，E兩點(diǎn)，BC⊥DE，垂足為C. (1)證明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直徑． 圖70-6 [解]　(1)證明：因?yàn)镈E為⊙O直徑， 則∠BE

9、D＋∠EDB＝90°. 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 從而∠CBD＝∠BED. 又AB切⊙O于點(diǎn)B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA. (2)由(1)知BD平分∠CBA，則＝＝3. 又BC＝，從而AB＝3， 所以AC＝＝4，所以AD＝3. 由切割線定理得AB2＝AD·AE， 即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直徑為3. 圓內(nèi)接四邊形及圓周角定理 　(2016·全國卷Ⅱ)如圖70-7，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上(不與端點(diǎn)重合)，且DE＝DG，過D點(diǎn)作DF⊥CE，垂足為F. (1)證明：B，C，G，F(xiàn)四

10、點(diǎn)共圓； (2)若AB＝1，E為DA的中點(diǎn)，求四邊形BCGF的面積． 圖70-7 [解]　(1)證明：因?yàn)镈F⊥EC， 所以△DEF∽△CDF， 則有∠GDF＝∠DEF＝∠FCB， ＝＝， 所以△DGF∽△CBF， 由此可得∠DGF＝∠CBF. 因此∠CGF＋∠CBF＝180°，所以B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． (2)由B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，CG⊥CB知FG⊥FB. 連結(jié)GB.由G為Rt△DFC斜邊CD的中點(diǎn)，知GF＝GC，故Rt△BCG≌Rt△BFG，因此，四邊形BCGF的面積S是△GCB面積S△GCB的2倍， 即S＝2S△GCB＝2×××1＝. [規(guī)律方法]

11、　1.判斷四點(diǎn)共圓的步驟 (1)觀察幾何圖形，找到一對(duì)對(duì)角或一外角與其內(nèi)對(duì)角； (2)判斷四邊形的一對(duì)對(duì)角的和是否為180°或判斷四邊形一外角與其內(nèi)對(duì)角是否相等； (3)下結(jié)論． 2．解決有關(guān)三角形與圓的試題，關(guān)鍵是正確處理角與邊之間的關(guān)系，通過相應(yīng)的條件與定理建立有關(guān)角之間或邊之間的關(guān)系式，進(jìn)而達(dá)到求解的目的． [變式訓(xùn)練2]　(2017·蘇州市期中)如圖70-8，AB是圓O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點(diǎn)E，過E作BA的延長線的垂線，垂足為F.求證：AB2＝BE·BD－AE·AC. 圖70-8 [證明]　連結(jié)AD，BC， ∵AB為圓的直徑， ∴∠ADB＝90

12、°， 又EF⊥AB，∠AFE＝90°， 則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓， ∴BD·BE＝BA·BF， 又△ABC∽△AEF， ∴＝，即AB·AF＝AE·AC. ∴BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB·(BF－AF)＝AB2. 即AB2＝BE·BD－AE·AC. 與圓有關(guān)的比例線段 　如圖70-9，正方形ABCD的邊長為2，以A為圓心，DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓O交于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長交CD于點(diǎn)E. (1)求證：E為CD的中點(diǎn)； (2)求EF·FB的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172367】 圖70-9 [解]　(1)證明：由題可知是以A為圓心，D

13、A為半徑作的圓弧，而四邊形ABCD為正方形， ∴ED為圓A的切線， 依據(jù)切割線定理得ED2＝EF·EB， 又圓O以BC為直徑，∴EC是圓O的切線， 同樣依據(jù)切割線定理得EC2＝EF·EB， 故EC＝ED， ∴E為CD的中點(diǎn)． (2)連結(jié)CF， ∵BC為圓O的直徑， ∴CF⊥BF， 由S△BCE＝BC×CE＝BE×CF， 得CF＝＝. 在Rt△BCE中，由射影定理得 EF·FB＝CF2＝. [規(guī)律方法]　解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路： 1．直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論． 2．當(dāng)比例式(等積式)中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似

14、，一般思路為“相似三角形→比例式→等積式”．在證明中有時(shí)還要借助中間比來代換，解題時(shí)應(yīng)靈活把握． [變式訓(xùn)練3]　如圖70-10，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC＝2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E. 證明：(1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 圖70-10 [證明]　(1)連結(jié)AB，AC，由題設(shè)知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因?yàn)椤螾DA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAE， 從而＝.因此BE＝EC. (2)由切割線定理得PA2＝PB

15、·PC. 因?yàn)镻A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. [思想與方法] 1．切點(diǎn)與圓心的連線與圓的切線垂直；過切點(diǎn)且與圓的切線垂直的直線過圓心． 2．證明四點(diǎn)共圓的主要方法 (1)圓內(nèi)接四邊形的判定定理． (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理的推論． 3．弦切角定理與圓周角定理是證明角相等的重要依據(jù)，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)需要添加輔助線構(gòu)造所需要的角． [易錯(cuò)與防范] 1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)易得到相等的角，進(jìn)而為得到三角形相似創(chuàng)造了條件． 2．與圓有關(guān)的比例線段緊緊抓住兩點(diǎn)：(1)切割線定理、相交弦定理；(2)

16、利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和三角形相似． 課時(shí)分層訓(xùn)練(十四) A組　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．如圖70-11，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圓⊙O的弦AE交BC于點(diǎn)D. 圖70-11 求證：△ABD∽△AEB. [證明]　因?yàn)锳B＝AC. 所以∠ABD＝∠C. 又⊙O是三角形ABC的外接圓， 所以∠E＝∠C，從而∠ABD＝∠E. 又∠BAE＝∠BAD. 故△ABD∽△AEB. 2．(2017·泰州模擬)如圖70-12，AB和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC＝2OC. 圖70-12 求證：AC＝2AD. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：621

17、72368】 [證明]　連結(jié)OD.因?yàn)锳B和BC分別與圓O相切于點(diǎn)D，C， 所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因?yàn)椤螦＝∠A， 所以Rt△ADO∽R(shí)t△ACB， 所以＝. 又BC＝2OC＝2OD， 故AC＝2AD. 3．如圖70-13，圓O的弦AB，CD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作圓O的切線與DC的延長線交于點(diǎn)P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的長． 圖70-13 [解]　由切割線定理，得PA2＝PC·PD. 因此PD＝＝＝12. 又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9. 由于CE∶ED＝2∶1， 因此CE＝6，ED＝3. 由相交弦定理

18、，AE·EB＝CE·ED， 所以BE＝＝＝2. 4．如圖70-14，在⊙O中，相交于點(diǎn)E的兩弦AB，CD的中點(diǎn)分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點(diǎn)F.證明： 圖70-14 (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172369】 [證明]　(1)如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是弦AB，CD的中點(diǎn)， 所以O(shè)M⊥AB，ON⊥CD， 則∠OME＝90°，∠ENO＝90°， 因此∠OME＋∠ONE＝180°. 又四邊形的內(nèi)角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180°. (2)由(1)知，點(diǎn)O，M，E，N四點(diǎn)共圓． 由割線定理

19、，得FE·FN＝FM·FO. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．如圖70-15，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC＝PD. 圖70-15 (1)求證：l是⊙O的切線； (2)若⊙O的半徑OA＝5，AC＝4，求CD的長． [解]　(1)證明：連結(jié)OP，∵AC⊥l，BD⊥l， ∴AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD， ∴OP∥BD，從而OP⊥l. ∵點(diǎn)P在⊙O上， ∴l(xiāng)是⊙O的切線． (2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)， ∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6. 過點(diǎn)A作AE⊥B

20、D，垂足為E，則 BE＝BD－AC＝6－4＝2. ∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4， ∴CD＝4. 2．(2016·全國卷Ⅰ)如圖70-16，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓． 圖70-16 (1)證明：直線AB與⊙O相切； (2)點(diǎn)C，D在⊙O上，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，證明：AB∥CD. [證明]　(1)設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)OE. 因?yàn)镺A＝OB，∠AOB＝120°， 所以O(shè)E⊥AB，∠AOE＝60°. 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直線AB的距離等于⊙O的半徑，所以直線AB與⊙O相切． (2)因?yàn)镺A＝2OD，

21、所以O(shè)不是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心． 設(shè)O′是A，B，C，D四點(diǎn)所在圓的圓心，作直線OO′. 由已知得O在線段AB的垂直平分線上， 又O′在線段AB的垂直平分線上，所以O(shè)O′⊥AB. 同理可證，OO′⊥CD，所以AB∥CD. 3．如圖70-17，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊BC與AD的延長線交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BA的延長線上． 圖70-17 (1)若EF∥CD，證明：EF2＝FA·FB； (2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求的值． [解]　(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于圓，所以∠B＝∠CDE. 又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA， 因此，∠B＝∠FEA. 而

22、∠F為公共角， 所以△FAE∽△FEB， 于是，＝，即EF2＝FA·FB. (2)由割線定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC， 所以＝，即＝. 因?yàn)椤螧＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB， 于是，＝＝＝·＝. 4．(2016·全國卷Ⅲ)如圖70-18，⊙O中的中點(diǎn)為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點(diǎn)． 圖70-18 (1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大??； (2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點(diǎn)G，證明OG⊥CD. [解]　(1)如圖，連結(jié)PB，BC， 則∠BFD＝∠PBA＋∠BPD， ∠PCD＝∠PCB＋∠BCD. 因?yàn)椋剑? 所以∠PBA＝∠PCB. 又∠BPD＝∠BCD， 所以∠BFD＝∠PCD. 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD， 所以3∠PCD＝180°， 因此∠PCD＝60°. (2)證明：因?yàn)椤螾CD＝∠BFD， 所以∠EFD＋∠PCD＝180°， 由此知C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上， 故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)的圓的圓心， 所以G在CD的垂直平分線上． 又O也在CD的垂直平分線上，因此OG⊥CD.