高三數(shù)學一輪復習 第4章4.1平面向量的概念及線性運算課件 文 北師大版

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1、4.1平面向量的概念及線性運算平面向量的概念及線性運算考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考4.1平平面面向向量量的的概概念念及及線線性性運運算算雙基研習雙基研習面對高考面對高考雙基研習雙基研習面對高考面對高考1向量的有關概念向量的有關概念名稱名稱定義定義備注備注向量向量既有大小又有既有大小又有_的量；向量的量；向量的大小叫作向量的的大小叫作向量的_ (或?；蚰?零向量零向量長度為長度為0的向量；其方向是任意的的向量；其方向是任意的 記作記作0單位向量單位向量與向量與向量a_，且長度為單，且長度為單位位1的向量叫作的向量叫作a方向上的單位向方向上的單位向量量平行平行(

2、共線共線)向量向量方向方向_或或_的非零向量的非零向量0與任一向量與任一向量平行或共線平行或共線相等向量相等向量長度相等、方向相同的向量長度相等、方向相同的向量0的相反向量的相反向量為為0相反向量相反向量長度相等、方向長度相等、方向_的向量的向量方向方向長度長度同方向同方向相同相同相反相反相反相反2.向量的線性運算向量的線性運算向量向量運算運算定義定義法則法則(或幾何意義或幾何意義)運算律運算律加法加法求兩個向量的和求兩個向量的和的運算的運算_法則法則_法則法則(1)交換律：交換律：ab_. (2)(2)結合律：結合律：( (ab b) )c c_減法減法求求a與與b的相反向的相反向量量b的和

3、的運算的和的運算叫作叫作a與與b的差的差_法則法則三角形三角形平行四邊形平行四邊形baa(bc)三角形三角形向量向量運算運算定義定義法則法則(或幾何意義或幾何意義)運算律運算律數(shù)乘數(shù)乘求實數(shù)求實數(shù)與與向量向量a的積的積的運算的運算(1)|a|a|.(2)當當0時，時，a與與a的的方向方向_；當；當0時，時，a與與a的方向的方向_；當；當0時，時，a0( a)()a，()aaa；(ab)_.相同相同相反相反ab3向量共線的判定定理和性質定理向量共線的判定定理和性質定理(1)判定定理：判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實是一個非零向量，若存在一個實數(shù)數(shù)，使得，使得_，則向量，則向量b與非零向量

4、與非零向量a共共線線(2)性質定理：若向量性質定理：若向量 b與非零向量與非零向量a共線，則存共線，則存在一個實數(shù)在一個實數(shù)，使得，使得_.baba思考感悟思考感悟ab是是ab(R)的什么條件？的什么條件？提示：提示：ab是是ab(R)的必要條件的必要條件(1)當當ab(R)時，由數(shù)乘的幾何意義知時，由數(shù)乘的幾何意義知ab成立成立(2)當當a0，b0時，時，ab成立，而不存在成立，而不存在R使使ab成立成立答案：答案：B課前熱身課前熱身2(2009年高考湖南卷年高考湖南卷)對于非零向量對于非零向量a、b，“ab0”是是“ab”的的()A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件

5、C充分必要條件充分必要條件D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件答案：答案：A3如圖，向量如圖，向量ab等于等于()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e2答案：答案：C答案：答案：(1)(2)(3)5設設e1、e2是平面內一組基向量，且是平面內一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量，則向量e1e2可以表示為另可以表示為另一組基向量一組基向量a、b的線性組合，則的線性組合，則e1e2_a_b.考點探究考點探究挑戰(zhàn)高考挑戰(zhàn)高考 向量的有關概念向量的有關概念準確理解向量的基本概念是解這類題目的關準確理解向量的基本概念是解這類題目的關鍵共線向量即為平行向量，非零向量平行具

6、有鍵共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，才是相等的向量共線向量或相等向量均與向量才是相等的向量共線向量或相等向量均與向量起點無關起點無關A2B3C4 D5【思路點撥思路點撥】理解向量基本概念的內涵，按照理解向量基本概念的內涵，按照定義逐個判定，注意到特殊情況，否定某個命題定義逐個判定，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可只要舉出一個反例即可【解析解析】真命題；假命題，若真命題；假命題，若a與與b中有中有一個

7、為零向量時，其方向是不確定的；真命題；一個為零向量時，其方向是不確定的；真命題；假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方假命題，終點相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反；假命題，共線向量所在直線可向相同或相反；假命題，共線向量所在直線可以重合，也可以平行；假命題，向量可用有向以重合，也可以平行；假命題，向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段線段來表示，但并不是有向線段【答案答案】C【名師點評名師點評】本例中多個命題的真假判斷需逐本例中多個命題的真假判斷需逐一進行，而且要求準確無誤，特別注意特殊情況，一進行，而且要求準確無誤，特別注意特殊情況，如命題中忘記考慮零向量命題中向量平行如命題中忘

8、記考慮零向量命題中向量平行混同于解析幾何中的直線平行混同于解析幾何中的直線平行用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，基本功，除利用向量的加、減法、數(shù)乘向量外，還應充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向還應充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，利量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求

9、解直接關系的向量來求解向量的線性運算向量的線性運算(2)(2009年高考湖南卷年高考湖南卷)如圖所示，如圖所示，D、E、F分別分別是是ABC的邊的邊AB，BC，CA的中點，則的中點，則()【思路點撥思路點撥】利用向量的線性運算，三角形的利用向量的線性運算，三角形的性質及向量的幾何意義可得結論性質及向量的幾何意義可得結論【答案答案】(1)B(2)A(3)C【名師點評名師點評】解決此類問題關鍵要熟練掌握運解決此類問題關鍵要熟練掌握運算法則，并善于用基本向量表示其余所涉及到的算法則，并善于用基本向量表示其余所涉及到的向量，表示的方法是依據(jù)三角形法則或平行四邊向量，表示的方法是依據(jù)三角形法則或平行四邊

10、形法則，構造含有表示所求向量的有向線段的三形法則，構造含有表示所求向量的有向線段的三角形或平行四邊形角形或平行四邊形變式訓練變式訓練1 (1)(2009年高考北京卷年高考北京卷)已知向量已知向量a、b不不共線，共線，ckab(kR)，dab.如果如果cd，那么那么()Ak1且且c與與d同向同向Bk1且且c與與d反向反向Ck1且且c與與d同向同向Dk1且且c與與d反向反向共線向量定理的應用共線向量定理的應用【答案答案】(1)D(2)D【規(guī)律小結規(guī)律小結】(1)向量共線的充要條件中要注向量共線的充要條件中要注意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示意當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共

11、線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想和方程思想(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當?shù)珣⒁庀蛄抗簿€與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線方法技巧方法技巧1將向量用其他向量將向量用其他向量(特別是基向量特別是基向量)線性表示，線性表示，是十分重要的技能，也是向量坐標形式的基是十分重要的技能，也是向量坐標形式的基礎礎(如例如例2(1)2首尾相連的若干向量之和等于以最初的起點首尾相連的若干向量之

12、和等于以最初的起點為起點，最后的終點為終點的向量；若這兩點重為起點，最后的終點為終點的向量；若這兩點重合，則和為零向量合，則和為零向量(如例如例1)3通過向量的共線可以證明三點共線及多點共通過向量的共線可以證明三點共線及多點共線，但要注意到向量的平行與直線的平行的區(qū)線，但要注意到向量的平行與直線的平行的區(qū)別別(如例如例3)方法感悟方法感悟1關于兩個向量的和應注意的幾個問題關于兩個向量的和應注意的幾個問題(1)兩個向量的和仍是一個向量；兩個向量的和仍是一個向量；(2)使用三角形法則時要注意使用三角形法則時要注意“首尾相連首尾相連”；(3)當兩個向量共線時，三角形法則適用，而平當兩個向量共線時，三

13、角形法則適用，而平行四邊形法則不適用行四邊形法則不適用失誤防范失誤防范2向量減法運算應注意的兩個問題向量減法運算應注意的兩個問題(1)向量的減法實質是加法的逆運算；差仍為一向量的減法實質是加法的逆運算；差仍為一個向量個向量(2)用三角形法則作向量減法時，記住用三角形法則作向量減法時，記住“連接兩個連接兩個向量的終點，箭頭指向被減向量向量的終點，箭頭指向被減向量”3向量的數(shù)乘運算向量的數(shù)乘運算(1)向量數(shù)乘的特殊情況：當向量數(shù)乘的特殊情況：當0時，時，a0；當；當a0時，也有時，也有a0.(2)實數(shù)和向量可以求積，但不能求和、求差實數(shù)和向量可以求積，但不能求和、求差(3)熟練掌握向量線性運算的運

14、算規(guī)律是正確化熟練掌握向量線性運算的運算規(guī)律是正確化簡向量算式的關鍵，要正確區(qū)分向量數(shù)量積與向簡向量算式的關鍵，要正確區(qū)分向量數(shù)量積與向量數(shù)乘的運算律量數(shù)乘的運算律考向瞭望考向瞭望把脈高考把脈高考向量的線性運算，共線問題是高考的熱點，尤其向量的線性運算，共線問題是高考的熱點，尤其向量的線性運算出現(xiàn)頻率較高，多以選擇題、填向量的線性運算出現(xiàn)頻率較高，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目，主要考查向空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目，主要考查向量的線性運算及對向量有關概念的理解，常與向量的線性運算及對向量有關概念的理解，常與向量共線和向量基本定理交匯命題量共線和向量基本定理交匯命題預測預測20

15、12年高考仍將以向量的線性運算、向量的年高考仍將以向量的線性運算、向量的基本概念為主要考點，重點考查向量加、減的三基本概念為主要考點，重點考查向量加、減的三角形法則及平行四邊形法則角形法則及平行四邊形法則命題探源命題探源(2)本題主要考查了向量的線性運算和平面向量本題主要考查了向量的線性運算和平面向量的基本定理向量加法的運算及其幾何意義、向的基本定理向量加法的運算及其幾何意義、向量數(shù)乘的運算及其幾何意義是本題運算的主要依量數(shù)乘的運算及其幾何意義是本題運算的主要依據(jù)作為平面向量重點內容的向量的線性運算和據(jù)作為平面向量重點內容的向量的線性運算和平面向量的基本定理是往年高考考查的重點，值平面向量的基本定理是往年高考考查的重點，值得關注得關注名師預測名師預測答案：答案：4答案：答案：6