2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度5.6 圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練 文

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1、 命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題 1.已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，離心率，直線的方程為 ． （1）求橢圓的方程； （2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)的任一直線（不經(jīng)過點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)，，設(shè)直線與相交于點(diǎn)，記的斜率分別為，問：是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）；（2）為定值. 試題解析： （1）由點(diǎn)在橢圓上得， ① ② 由 ①②得，故橢圓的方程為. （2）由題意可設(shè)的斜率為，則直線的方程為 ③ 代入橢圓方程并整理得 設(shè)，則有 ④ 在方程③中，令得，，從而 .又因?yàn)楣簿€，則有， 即有 所以 = ⑤ 將④代入⑤得

2、，又， 所以 為定值. 點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用． 2.已知橢圓：（），以橢圓的短軸為直徑的圓經(jīng)過橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，，是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)． （1）求圓的方程和橢圓的離心率； （2）設(shè)，分別是橢圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)（，位于軸兩側(cè)），且直線與軸平行，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，試判斷與所在的直線是否互相

3、垂直，若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，也請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）;（2）與所在的直線互相垂直． 試題解析：（1）由橢圓定義可得，又且，解得，， 則圓的方程為，橢圓的離心率． （2）如圖所示，設(shè)（），，則 即 又由：，得． 由：，得． 所以 ，， 所以， 所以，即與所在的直線互相垂直． 點(diǎn)睛：本題考查橢圓方程和圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和基本量的關(guān)系，考查定值問題的解法，注意運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點(diǎn)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題. 3.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 內(nèi)

4、切圓面積的最大值為. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)分別交直線于兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）；（2）和． 【解析】試題分析：（1）首先設(shè)，然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時(shí)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得定點(diǎn)坐標(biāo)． （2）設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立可得 ，則， ， 直線的方程為，直線的方程為， 則， ， 假設(shè)為直徑的圓是否恒過定

5、點(diǎn)， 則， ， ， 即， 即， ， 即，若為直徑的圓是否恒過定點(diǎn)，即不論為何值時(shí)， 恒成立，因此， ， 或，即恒過定點(diǎn)和． 考點(diǎn)：1、橢圓的幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、向量數(shù)量積的運(yùn)算． 【方法點(diǎn)睛】求解圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問題的方法有兩種：一是研究一般情況，通過邏輯推理與計(jì)算得到定點(diǎn)或定值，這種方法難度大，運(yùn)算量大，且思路不好尋找；另外一種方法就是先利用特殊情況確定定點(diǎn)或定值，然后驗(yàn)證，這樣在整理式子或求值時(shí)就有了明確的方向． 4.已知橢圓的離心率為，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4，圓過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線的斜率分別為

6、. （1）求橢圓的方程； （2）當(dāng)變化時(shí)，①求的值；②試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）；（2）見解析. 【解析】試題分析：（1）由題設(shè)知， ， ，又，解得，由此可得求橢圓的方程；（2）①，則有，化簡(jiǎn)得，對(duì)于直線，同理有，于是是方程的兩實(shí)根，故，即可證明結(jié)果；②考慮到時(shí)， 是橢圓的下頂點(diǎn)， 趨近于橢圓的上頂點(diǎn)，故若過定點(diǎn)，則猜想定點(diǎn)在軸上. 由，得，于是有，直線的斜率為，直線的方程為，令，得，即可證明直線過定點(diǎn). 試題解析：（1）由題設(shè)知， ， ，又， 解得. 故所求橢圓的方程是. 由，得，于是有. 直線的斜率為， 直線的方程為

7、， 令，得， 故直線過定點(diǎn). 5. 已知⊙： 與⊙： ，以， 分別為左右焦點(diǎn)的橢圓： 經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）、是橢圓上的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，試問的面積是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由。 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面積為定值3. 【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)兩圓的交點(diǎn)為，依題意有解得，進(jìn)而得； （Ⅱ）討論斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況，設(shè)直線的方程為， ， ，直線與橢圓聯(lián)立得， ，由，得，表示面積即可得定值. 試題解析： （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè) 又 設(shè)直線的方程為， ， ， 由，得， 由，得 （*

8、） 且， ， ∴ ∵，∴， 整理得， 代入（*）得， ∵ 原點(diǎn)到直線的距離 ∴（定值）。 綜上所述， 的面積為定值3. 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 6.已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)， 為線段的中點(diǎn). （1）求橢圓的方程； （2）若過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓的交于兩點(diǎn)，已

9、知直線與相交于點(diǎn)，試判斷點(diǎn)是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析 試題解析: （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由題意可知： ，即 ① 又因?yàn)闄E圓的離心率，即 ② 聯(lián)立方程①②可得： ，則 所以橢圓的方程為． （Ⅱ）方法一：根據(jù)橢圓的對(duì)稱性猜測(cè)點(diǎn)是與軸平行的直線上． 假設(shè)當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)點(diǎn) ， 則聯(lián)立直線和直線可得點(diǎn) 據(jù)此猜想點(diǎn)在直線上，下面對(duì)猜想給予證明： 設(shè)，聯(lián)立方程可得： 由韋達(dá)定理可得， （*） 因?yàn)橹本€， ， 聯(lián)立兩直線方程得（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)）即證： ， 即，即證

10、 將（*）代入上式可得 此式明顯成立，原命題得證．所以點(diǎn)在定直線上上． 方法二：設(shè)， 兩兩不等， 因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以， 整理得： 又三點(diǎn)共線，有： ① 又三點(diǎn)共線，有： ② 將①與②兩式相除得： 即， 將即代入得： 解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上． 方法三：顯然與軸不垂直，設(shè)的方程為， . 由得. 設(shè)， 兩兩不等， 則， ， 由三點(diǎn)共線，有： ① 由三點(diǎn)共線，有： ② ①與②兩式相除得： 解得（舍去）或，所以點(diǎn)在定直線上． 點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題

11、涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（），圓（），若圓的一條切線與橢圓相交于兩點(diǎn). （1）當(dāng)， 時(shí)，若點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓的方程； （2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，探究是否滿足，并說明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得，由點(diǎn)都在坐標(biāo)軸的正半軸上，即可求得和的值，求得橢圓方程；（2）由以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，可得，即，由在直線上，可將用表示，然后聯(lián)立

12、直線與橢圓的方程結(jié)合韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)可得結(jié)論. 試題解析：（1）∵直線與相切，∴. 由， ，解得. ∵點(diǎn)都在坐標(biāo)軸正半軸上， ∴. ∴切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為， . ∴， . ∴橢圓的方程是. （2）的關(guān)系滿足. 證明如下：設(shè)， ∵以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)， ∴，即. ∵點(diǎn)在直線上， ∴. ∴ （*） 由消去，得. 即 顯然 ∴由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 代入（*）式，得. 整理，得. 又由（1），有. 消去，得 ∴ ∴滿足等量關(guān)系. 點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系之相切以及直線與橢圓的位置關(guān)系之相交與韋達(dá)定理相結(jié)合，計(jì)算

13、量較大，由一定難度；由直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得橢圓中的， 的值，即可得橢圓的方程，對(duì)于第二問主要用到直徑所對(duì)的圓周角為直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為，由直線相交得與的關(guān)系，最后用到最常見的直線與橢圓相交聯(lián)立方程組與韋達(dá)定理結(jié)合，得. 8..已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，直線與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率之積為．若動(dòng)點(diǎn)滿足，試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析. 【解析】試題分析：(Ⅰ)利用橢圓的離心率計(jì)算公式和點(diǎn)在橢圓上列方程組求解即可得出． (Ⅱ)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)在橢圓上滿足

14、橢圓的方程、斜率計(jì)算公式及其橢圓的定義即可得出． 試題解析： (Ⅰ)∵ ∴ 又∵橢圓經(jīng)過點(diǎn) ∴ 解得：， 所以橢圓的方程為． 設(shè)，分別為直線與的斜率，由題意知， ，因此 所以， 所以點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)， 所以由橢圓的定義知存在點(diǎn)，滿足為定值 又因?yàn)椋? 所以坐標(biāo)分別為、． 9.已知右焦點(diǎn)為的橢圓與直線相交于、兩點(diǎn)，且. （1）求橢圓的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 是橢圓上不同的三點(diǎn)，并且為的重心，試探究的面積是否為定值，若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由. 【答案】(1) ；(2)是， . 【解析】（1）設(shè)， ，則 ， ，即，① ，

15、 ，即，② 由①②得， 又， ， 橢圓的方程為． （2）設(shè)直線方程為： ， 由得， 為重心， ， 點(diǎn)在橢圓上，故有， 可得， 而， 點(diǎn)到直線的距離（是原點(diǎn)到距離的3倍得到）， ， 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， ， ， ， 的面積為定值． 10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為． （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）已知為定直線上一點(diǎn). ①過點(diǎn)作的垂線交軌跡于點(diǎn)（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值； ②若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動(dòng)直線交軌跡于不同兩點(diǎn)，線段上的點(diǎn)滿足，求證：點(diǎn)恒在一條定直線上. 【答案】（1）（2）①直線與的斜

16、率之積為定值． ②點(diǎn)在定直線上． 【解析】試題分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用軌跡方程定義計(jì)算即可；（2）， ①令，由，得，即，即，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點(diǎn)在定直線上． 試題解析：（1）設(shè)，則，點(diǎn)到直線的距離， 由，得，化簡(jiǎn)得， 即點(diǎn)在軌跡的方程為； ． ②令，則， 令點(diǎn)，則， 即，即 由①×③，②×④，得， 因?yàn)樵跈E圓上，所以， ⑤×2+⑥×3，得 ，即， 所以點(diǎn)在定直線上． 本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點(diǎn)，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用． - 20 -