2018年高考數學 專題31 空間中直線、平面平行位置關系的證明方法解題模板

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1、 專題31 空間中直線、平面平行位置關系的證明方法 【高考地位】 立體幾何是高考的重點內容之一，每年高考大題必有立體幾何題，尤其是第一問主要考查證明線面垂直、平行，面面垂直等問題，解決這類問題的方法主要有：幾何法和空間向量法. 在高考中其難度屬中檔題. 【方法點評】 方法一 幾何法 使用情景：轉化的直線或平面比較容易找到 解題模板：第一步 按照線線平行得到線面平行，進而得出面面平行的思路分析解答； 第二步 找到關鍵的直線或平面； 第三步 得出結論. 例1 如圖，在棱長均為4的三棱柱中， 分別是和的中點. （1）求證： 平面 （2）若平面平面，求三棱錐

2、的體積. (方法 2)在 中，因為， 所以為正三角形，因此. 因為平面平面，交線為， 平面， 所以平面，即是三棱錐的高. 在中，由，得的面積. 在中，因為，所以. 所以三棱錐的體積. 【點評】證明線面平行的思路一般有兩種：一是在所證的平面內找到一條直線與已知直線平行即可；二是通過證明已知直線所在的平面與已知平面平行，進而得到這條直線與已知平面平行的結論. 例2 已知四棱錐P – ABCD 中，底面ABCD為平行四邊形．點M、N、Q分別在PA、BD、PD上，且PM : MA = BN : ND = PQ : QD．求證：平面MNQ∥平面PBC． 【答案】詳見解析.

3、 【點評】由比例線段得到線線平行，依據線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉化為面面平行．一般證“面面平面”問題最終轉化為證線與線的平行． 【變式演練1】　如圖，正方形的邊長為2，分別為線段的中點，在五棱錐中，為棱的中點，平面與棱分別交于點． 求證：； 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾條件，如本題利用正方形性質得，從而有平面．而線線平行的證明，一般利用線面平行性質定理，即從兩平面交線出發(fā)給予證明. 試題解析：證明：在正方形中，因為是的

4、中點，所以． 又因為平面，所以平面．因為平面，且平面平面，所以． 【變式演練2】如圖，直三棱柱中，，，點在線段上. 若是中點，證明：平面. 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發(fā)給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如本題利用三角形中位線性質得線線平行. 試題解析：證明：連結BC1，交B1C于E，連結ME． 因為 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中點，所以側面BB1C1C為矩形， ME為△ABC1的中位線，所以 ME// AC1．

5、 因為 ME平面B1CM， AC1平面B1CM，所以 AC1∥平面B1C. 【變式演練3】已知正方體ABCD –A1B1C1D1 證：平面AB1D1∥平面C1BD. 【答案】詳見解析. 考點：空間直線與平面的平行的判定及性質. 【變式演練4】已知：空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、AD的中點.求證EF∥平面BCD. 【答案】詳見解析. 考點：空間直線與平面的平行的判定及性質. 方法二 空間向量法 使用情景：轉化的直線或平面不容易找到，而一直條件方便建立空間直角坐標比較容易寫出 解題模板：第一步 建立適當的空間直角坐標系； 第二步

6、 分別寫出各點的坐標，求出直線方向向量； 第三步 利用向量的關系得到直線和平面的關系即可. 例3 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是C1C、B1C1的中點，求證：MN∥平面A1BD. 【答案】詳見解析. 【解析】如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系．設正方體的棱長為1，則可得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)． 【點評】用向量證明線面平行的方法有： (1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； (2)證明該直線方向向量與平面

7、內某直線的方向向量平行； (3)證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示； (4)本題易錯點為：只證明MN∥A1D，而忽視MN?平面A1BD. 【變式演練5】已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是BB1、DD1的中點，求證： (1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F. 【答案】詳見解析. 【解析】(1)如圖所示，建立空間直角坐標系D－xyz，則有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)． 所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．設n1

8、＝(x1，y1，z1)是平面ADE一個法向量，則n1⊥，n1⊥，即，解得.令z1＝2，則y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)． 考點：空間向量證明直線、平面的平行； 【高考再現】 1. 【2017課表1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由B，AB∥MQ，則直線AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，則直線AB∥平

9、面MNQ；由D，AB∥NQ，則直線AB∥平面MNQ．故A不滿足，選A． 【考點】空間位置關系判斷 【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題．證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行．②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面． 2. 【2017課標II，文18】如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面 , （1）證明：直線平面; （2）若△面積為，求四棱錐

10、的體積. 【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ） 3. 【2017課標II，理19】如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點。 （1）證明：直線 平面PAB； 【解析】（1）取的中點，連結，。 因為是的中點，所以∥,,由得∥，又,所以。四邊形為平行四邊形，∥。 又平面，平面，故平面。 4. 【2017天津，理17】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求證：MN∥平面BDE； 5. 【2017浙江，19】（本題滿分1

11、5分）如圖，已知四棱錐P–ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點． （Ⅰ）證明：平面PAB； 【反饋練習】 1. 【2018湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】已知是兩條不同的直線， 是兩個不同的平面. ①若，則； ②如果，則； ③若，且，則； ④若不平行，則與不可能垂直于同一平面. 其中為真命題的是__________． 【答案】②④ 2. 【2018黑龍江齊齊哈爾第八中學模擬】如圖所示，直三棱柱中， ， ， 為棱的中點. （Ⅰ）探究直線與平面的位置關系，并說明理由；

12、（Ⅱ）若，求三棱錐的體積. 【解析】（Ⅰ）連接，設，因為四邊形為矩形，所以為的中點.設為的中點，連接， ，則，且. 由已知，且，則，且， 所以四邊形為平行四邊形， 所以，即. 因為平面， 平面，所以平面. （Ⅱ）易知平面，由（Ⅰ）可知， 平面. 所以點到平面的距離等于點到平面的距離， 所以.因為， 所以， 故三棱錐的體積為. 3. 【2018天津耀華中學模擬】如圖，在三棱柱中，側棱底面， ， 為的中點， ，四棱錐的體積為. （Ⅰ）求證： 平面； ∵平面， 平面， ∴平面 4. 【2018山西實驗中學模擬】如圖所示， 為的直徑，點在上（不與重合)，

13、平面，點分別為線段的中點. 為線段上(除點外）的一個動點. （1）求證： 平面； （2）求證： . 5. 【2018天津第一中學模擬】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直， 為的中點. （1）求證： 平面； （2）求證： 平面； 6. 【2018湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】如圖，在矩形中， ， 平面， ， 為的中點. （1）求證： 平面； （2）記四棱錐的體積為，三棱錐的體積為，求. 7. 【2018河北邢臺育才中學模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運動. （1）當在何處時， 平面； （2）當平面時，求直

14、線與平面所成角的正弦值. 【解析】（1）當為中點時， 平面設，在中， 為中位線，即，又平面平面， 平面. 8.【2018湖南湘東五校聯(lián)考】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，是等邊三角形，． （I）求證：； （II）求多面體的體積. ∥平面. （Ⅱ）在正方形中，，又是等邊三角形，所以， 所以 于是 又，平面， 又，平面 于是多面體是由直三棱柱和四棱錐組成的. 又直三棱柱的體積為， 四棱錐的體積為， 故多面體的體積為. 9.【2018河北邢臺市育才中學模擬】如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形， ，平面平面在棱上運動. （1）當在何處時， 平面； （2）

15、已知為的中點， 與交于點，當平面時，求三棱錐的體積. （2）為的中點， 則 又 ，且 ，又. . . 又，點為的中點， 到平面的距離為. . 10. 【2018湖南師大附中模擬】如圖，在幾何體中，四邊形為菱形，對角線與的交點為，四邊形為梯形， . （Ⅰ）若，求證： 平面； （Ⅱ）求證：平面平面； ∵，∴，∴為平行四邊形， ∴， ∵平面， 平面， ∴平面； （Ⅱ）證明：∵四邊形為菱形， ∴， ∵， 是的中點， ∴， ∵， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面； 11. 【2018黑龍江大慶實驗中模擬】在如圖所示的五面體中，面為直角梯形， ，平面 平面， ， 是邊長為2的正三角形. （1）證明： ； （2）證明： 平面． 23