2018年高考數(shù)學(xué) 破解命題陷阱 專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用

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1、 專題11 三角形中正弦定理與余弦定理的靈活應(yīng)用 1.三角形的中線問(wèn)題 2.三角形中的角平分線問(wèn)題 3.三角形邊的范圍問(wèn)題 4.三角形中角的范圍問(wèn)題 5.多個(gè)三角形的問(wèn)題 6.三角的實(shí)際應(yīng)用 7.三角形中的最值問(wèn)題 8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用 9.三角形的判斷問(wèn)題 二．陷阱警示及演練 1.三角形的中線問(wèn)題（運(yùn)用向量陷阱） 例1．在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且。 （1）求A的值； （2）若B=30°，BC邊上的中線AM=，求△ABC的面積。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）， 因?yàn)? 又 （2） 【防陷阱措施】解

2、決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)俄?xiàng)l件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小. 練習(xí)1.在中， ， ， ． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，求中線的長(zhǎng)． 【答案】(1) ;(2) . 【解析】（Ⅰ）由知，且． 所以 . 由正弦定理及題設(shè)得．即 ． 所以． （Ⅱ）因?yàn)?所以為銳角. 所以. 因?yàn)椋? 所以． 所以． 在中， 為的中點(diǎn)，所以． 由余弦定理及題設(shè)得

3、 ． 所以中線． 練習(xí)2 .中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知邊，且. (1)若,求的面積； (2)記邊的中點(diǎn)為，求的最大值，并說(shuō)明理由. 【答案】（1）；（2）. 【解析】，故 ，由余弦定理可得. （2）由于邊的中點(diǎn)為，故 ， ， 由余弦定理知， ，于是，而， 的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）. 練習(xí)3. 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及其對(duì)稱中心； （Ⅱ）在中，角， ， 所對(duì)的邊分別為， ， 且角滿足.若， 邊上的中線長(zhǎng)為3，求的面積. 【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間： ，對(duì)稱中心（2） 【解析】（1）

4、 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間： 令 ，則對(duì)稱中心 2.三角形中的角平分線問(wèn)題陷阱 例2. 如圖，在中， ， ， ， ， 是的三等分角平分線，分別交于點(diǎn). （1）求角的大??； （2）求線段的長(zhǎng). 【答案】（1）;（2）. 【解析】（1）因?yàn)椋?，得，又，則，所以. 【防陷阱措施】角平分線問(wèn)題要注意幾個(gè)方面：（1）利用對(duì)稱性，（2）利用角平分線定理，（3）利用三角形的面積 練習(xí)1. 在中， 是上的點(diǎn)， 平分， 是面積的2倍． (1)求 ； (2)若 ，求和的長(zhǎng)． 【答案】（1）；（2）， . 【解析】（1）∵是面積的2倍 ∴ 由正

5、弦定理可知： （2）由（1）知， ， ∵是面積的2倍 ∴ 設(shè)， 由余弦定理得： ，解得. 練習(xí)2. 已知的內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且滿足. （1）判斷的形狀； （2）若， ， 為角的平分線，求的面積. 【答案】(1) 直角三角形;(2) 【解析】（I）由，得 , ,. , 故為直角三角形. 練習(xí)3. 如圖，在中， ，且， . （1）求的面積； （2）已知在線段上，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. （2）依題意, ， ， 即，故 3.三角形邊的范圍問(wèn)題陷阱 例3. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別

6、是，且. （1）求角的大小； （2）點(diǎn)滿足，且線段，求的取值范圍. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】（1）∵，由正弦定理得 ∴， 即，又∵，∴ ∵ ∴ （2）在中由余弦定理知： ， ∴ ∵， ∴，即， 當(dāng)且僅當(dāng)，即， 時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為4 故的范圍是. 【防陷阱措施】在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過(guò)程中，一般來(lái)說(shuō) ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.

7、 練習(xí)1.已知分別是的內(nèi)角對(duì)的邊， . （1）若， 的面積為，求； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】試題分析：（1）首先根據(jù)三角形面積公式， ，求解，再根據(jù)余弦定理,求；（2）根據(jù)正弦定理 ，用正弦表示表示 ，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變形為，最后根據(jù)角的范圍求解. 試題解析：（1）∵， 的面積為， ， ∴，∴. 由余弦定理得 . ∴. 練習(xí)2. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且． （1）求角的大小； （2）若，求的范圍． 【答案】(1) ;(2) 范圍為. 【解析】（1）由及正弦定理可得， ∵， ∴則有故， 又∵， ∴； （2）由正弦定理

8、， ， 可得， ∴ = ∵， ∴， ∴， ∴， 即的范圍為． 練習(xí)3. 在中，角的對(duì)邊分別為，且. （1）求角的大小； （2）若，且，求邊長(zhǎng)的取值范圍. 【答案】(1) ;(2) . （2）∵，∴ ， 由正弦定理，得，∴ ， ∵，∴，∴， ∴. 練習(xí)4. 已知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）在△中，角的對(duì)邊分別為，若為銳角且， ，求的取值范圍. 【答案】(1) ,單調(diào)增區(qū)間（2） （2）， 所以 解得，又，在△中， ，等邊三角形時(shí)等號(hào)成立，所以，又因?yàn)槭侨切嗡裕浴? 4.三角形中角的范圍問(wèn)題陷阱 例4.已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊，

9、且依次成等差數(shù)列. （Ⅰ）若,試判斷的形狀； （Ⅱ）若為鈍角三角形，且，試求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ) 【解析】（Ⅰ）由正弦定理及，得 三內(nèi)角成等差數(shù)列， ， 由余弦定理，得， ， 又為正三角形， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 中 由題意，知， 所求代數(shù)式的取值范圍是 【防陷阱措施】對(duì)于題目中所給的銳角三角形或者鈍角三角形，要注意三個(gè)角的范圍 練習(xí)1. 在銳角中， . （1）若的面積等于，求； （2）求的面積的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】(1)∵，由正弦定理得， ∵，∴，得. 由得， 所以由解得. （2）由正弦定

10、理得， ∴. 又，∴ . 因?yàn)闉殇J角三角形，∴， ∴. 練習(xí)2. 在中， 分別是角的對(duì)邊，且. （1）求的大?。? （2）求的取值范圍. 【答案】（1）（2） （Ⅱ），由得出： ，所以，所以 即的取值范圍是 練習(xí)3. 在中， ， ， 分別為內(nèi)角， ， 的對(duì)邊，且， ， 成等比數(shù)列． （1）求角的取值范圍； （2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）∵，∴， 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，故． 練習(xí)4. 已知銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且． （1）求角； （2）若，求的取值范

11、圍． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由余弦定理，可得， 所以，所以， 又，所以． （2）由正弦定理， ， 所以 ， 因?yàn)槭卿J角三角形， 所以得， 所以， ， 即． 練習(xí)4. 已知分別是的內(nèi)角對(duì)的邊， . （1）若， 的面積為，求； （2）若，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵， 的面積為， ， ∴，∴. 由余弦定理得 . ∴. 5.多個(gè)三角形的問(wèn)題 例5. 如圖，在邊長(zhǎng)為2的正三角形中， 為的中點(diǎn)， 分別在邊上. （1）若，求的長(zhǎng)； （2）若，問(wèn)：當(dāng)取

12、何值時(shí)， 的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值． 【答案】（1）（2）時(shí)， 的面積的最小值為 【解析】（1）在中， ， 由余弦定理得， ， 得，解得； （2）設(shè)， 在中，由正弦定理，得， 所以，同理， 故， 因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)， 的最大值為1，此時(shí)的面積取到最小值．即時(shí)， 的面積的最小值為． 【防陷阱措施】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù). 除了直接利用兩定理求邊和角以外，恒等變形過(guò)程中 ,當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn) 及 、 時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理

13、將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答. 練習(xí)1.如圖所示，△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，AB=2，BC=. （1）.求cos∠ABC的值； （2）.求BD的值. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】試題分析：（1）在△ABC中利用正弦定理可求sinC，利用大邊對(duì)大角可得C為銳角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosC，利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解cos∠ABC的值． （2）由兩角和差公式得到 在△ABC中， ， 在△ABD中， 練習(xí)2.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其中，且，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使得. （Ⅰ）求證： 是直角； （Ⅱ）求的值. 【

14、答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2） 【解析】證明： （Ⅱ）設(shè)， 在中，因?yàn)椋? 所以，所以. 在中， ，即， 所以， 所以， 即，整理得， 所以，即. 6.三角的實(shí)際應(yīng)用 例6. 已知某漁船在漁港O的南偏東60°方向，距離漁港約160海里的B處出現(xiàn)險(xiǎn)情，此時(shí)在漁港的正上方恰好有一架海事巡邏飛機(jī)A接到漁船的求救信號(hào)，海事巡邏飛機(jī)迅速將情況通知了在C處的漁政船并要求其迅速趕往出事地點(diǎn)施救．若海事巡邏飛機(jī)測(cè)得漁船B的俯角為68.20°，測(cè)得漁政船C的俯角為63.43°，且漁政船位于漁船的北偏東60°方向上． （Ⅰ）計(jì)算漁政船C與漁港O的距離； （Ⅱ）若漁政船以每小時(shí)25

15、海里的速度直線行駛，能否在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn)？ （參考數(shù)據(jù)：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00， ≈3.62， ≈3.61） 【答案】（1）; （2）可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn) 【解析】試題分析：(1)由，結(jié)合正切的定義可求得得， 海里 再由余弦定理得 (2由) 可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn) 試題解析： (2) 可在3小時(shí)內(nèi)趕到出事地點(diǎn) 【防陷阱措施】把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，并注意方向角和方位角 練習(xí)1. 如圖， 米，從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)水平

16、放置于處的平面鏡（大小忽略不計(jì)）反射后過(guò)點(diǎn)，已知米， 米. （1）求光線的入射角（入射光線與法線的夾角）的大?。? （2）求點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng). 【答案】（1）（2）點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng)分別為米、米． 【解析】試題分析：（1）先由余弦定理解出，再根據(jù)光的反射定律得，解得入射角（2）在中，可得，及，代入數(shù)值可得結(jié)果. 試題解析：解：（Ⅰ）如圖，由光的反射定律， ， ． 在中，根據(jù)余弦定理，得 ． 因?yàn)?，所以?． 即光線的入射角的大小為. （Ⅱ）據(jù)（Ⅰ），在中， ， 所以（米）， （米），

17、即點(diǎn)相對(duì)于平面鏡的垂直距離與水平距離的長(zhǎng)分別為米、米． 7.三角形中的最值問(wèn)題 （1）周長(zhǎng)的最值 例7．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， . （1）當(dāng)時(shí)，求的面積； （2）求周長(zhǎng)的最大值. 【答案】（1）；（2）6. 【解析】（1）由 得 得， （2）由余弦定理及已知條件可得： . 由得， 故周長(zhǎng)的最大值為6，當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形取到. 【防陷阱措施】解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式和三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵 練習(xí)1.在中，角的對(duì)

18、邊分別為，且. （1）若，求面積的最大值； （2）若，求的周長(zhǎng). 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由正弦定理得， ∵，∴，∴，∵，∴. ∵，∴，∴，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）. ∴的最大值為. （2）∵， ，∴，解得或（舍）， ∴的周長(zhǎng)為. 練習(xí)2. 在 中，角所對(duì)的邊分別為，且. （1）若依次成等差數(shù)列，且公差為，求的值； （2）若，試用表示的周長(zhǎng)，并求周長(zhǎng)的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】(1) 成等差數(shù)列，且公差為，又，恒等變形得 ，解得或，又. （2）面積最值 例8. 已知分別為角的對(duì)邊，它的外接圓的半徑為為常數(shù)），并且滿足等式成立.

19、（1）求； （2）求的面積的最大值. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由， ∴， 由正弦定理得， ， ，代入得， 由余弦定理，∴． （2）由（1）知， ， 所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ． 【防陷阱措施】注意幾個(gè)問(wèn)題：（1）面積公式的選??；（2）與均值不等式的聯(lián)系，注意均值不等式求最值的條件。 練習(xí)1. 已知中，角對(duì)邊分別是， ，且的外接圓半徑為. （1）求角的大??； （2）求面積的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由得 . 又∵，∴，∴ ∴. 又∵，∴. （2） . ∴當(dāng)，即時(shí)， . 練習(xí)2. 在中， 分別是角的對(duì)邊，且

20、. （I）求的大小; （II）若為的中點(diǎn)，且，求面積最大值. 【答案】（I）；（II）. 試題解析：（I）由，得， ， ， ， 又 . （II）在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得， 二式相加得， 整理得 ， ， 所以的面積， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立. 的面積的最大值為. 練習(xí)

21、3. 在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且滿足． （1）求角的大小； （2）若，求面積的最大值． 【答案】（1）（2） （2）取中點(diǎn)，則 在中， （注：也可將兩邊平方） 即 ， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)， 時(shí)取等號(hào) 此時(shí)，其最大值為 8.正余弦的混合及靈活應(yīng)用 例9. 的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知. （1）求； （2）若的面積為，求. 【答案】（1）（2） （2）由，得，即， 又，得， 所以，又. 【防陷阱措施】解答時(shí)注意正弦定理、余弦定理的選取，一般有平方關(guān)系時(shí)使用余弦定理。 練習(xí)1. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． （1）求；

22、 （2）若，求的面積的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知及正弦定理可得， 在中， ， ∴， ∴， 從而， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解法：由（1）知，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）， ∴； 解法二：由正弦定理可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴當(dāng)，即時(shí)， 取最大值． 練習(xí)2. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且． （1）證明： 成等比數(shù)列； （2）若角的平分線交于點(diǎn)，且，求． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）. 【解析】.解法一: （1）因?yàn)椋? 所以 ， 化簡(jiǎn)可得， 由正弦定

23、理得， ，故成等比數(shù)列. （2）由題意，得， 又因?yàn)槭墙瞧椒志€，所以，即， 化簡(jiǎn)得， ，即. 由（1）知， ，解得， 再由得， （為中邊上的高）， 即，又因?yàn)?，所? 【注】利用角平分線定理得到同樣得分， 在中由余弦定理可得， ， 在中由余弦定理可得， ， 即，求得. 解法二：（1）同解法一. 解法三： （1）同解法一. （2）同解法二， . 在中由余弦定理可得， ， 由于，從而可得， 在中由余弦定理可得， ，求得， 在中由正弦定理可得， ，即. 【注】若求得的值后，在中應(yīng)用正弦定理求得的，請(qǐng)類比得分. 解法四： （1）同解法一. （2）同解法一

24、， . 在中由余弦定理得， ， 在中由余弦定理得， ， 因?yàn)?，所以有? 故， 整理得， ，即. 9.三角形的判斷問(wèn)題 例10. （1）在銳角中， ， ，求的值及的取值范圍； （2）在中，已知，試判斷的形狀. 【答案】（1）；（2）直角三角形. 【解析】（1）設(shè)，由正弦定理得， ∴. 由銳角得， 又，故. ∴. （2）由題， ，∴ 由正弦定理得， ∴為直角三角形. 【防陷阱措施】有關(guān)三角形中的最值和取值范圍問(wèn)題，有時(shí)從邊的角度借助基本不等式去求，有時(shí)邊轉(zhuǎn)角借助輔助角公式化為三角函數(shù)的最值和范圍去求，但要根據(jù)題意求出角的范圍，再求三角函數(shù)值的范圍，判斷三角形形狀

25、問(wèn)題，一般要借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”，找出角的大小或關(guān)系，判斷出三角形形狀，或借助正弦定理和余弦定理進(jìn)行“角轉(zhuǎn)邊”，找出邊與邊的關(guān)系，判斷出三角形形狀. 練習(xí)1. 已知的外接圓半徑，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且. （I）求角B和邊長(zhǎng)b； （II）求面積的最大值及取得最大值時(shí)的a、c的值，并判斷此時(shí)三角形的形狀. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）等邊三角形． 【解析】試題分析：（Ⅰ）運(yùn)用兩角和的正弦公式將已知等式化簡(jiǎn)整理，得到，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得，從而得出，可得，最后由正弦定理可得的長(zhǎng)；（Ⅱ）由且，利用余弦定理算出，再根據(jù)基本不等式算出，利用三角形的面積公式算出

26、，從而得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 有最大值，進(jìn)而得到此時(shí)是等邊三角形. 試題解析：（Ⅰ） ，即 , 又, , ，即 又 ……4分 由正弦定理有： ，于是 （Ⅱ）由余弦定理得, ，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=” ，即求面積的最大值為 聯(lián)立，解得 又 ∴為等邊三角形. 【規(guī)律總結(jié)】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式及三角形面積公式、判斷三角形形狀，屬于中檔題.判

27、斷三角形狀的常見(jiàn)方法是：（1）通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過(guò)代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個(gè)內(nèi)角為鈍角進(jìn)而知其為鈍角三角形. 三．高考真題演練 1.【2015高考新課標(biāo)1，理16】在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 . 【答案】（，） 【考點(diǎn)定位】正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想 【名師點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及三角公式，作出四邊形，發(fā)現(xiàn)四個(gè)為定

28、值，四邊形的形狀固定，邊BC長(zhǎng)定，平移AD，當(dāng)AD重合時(shí)，AB最長(zhǎng)，當(dāng)CD重合時(shí)AB最短，再利用正弦定理求出兩種極限位置是AB的長(zhǎng)，即可求出AB的范圍，作出圖形，分析圖形的特點(diǎn)是找到解題思路的關(guān)鍵. 2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，，則 ． 【答案】 【解析】 試題分析：因?yàn)?，且為三角形?nèi)角，所以，，又因?yàn)椋? 所以. 考點(diǎn)： 三角函數(shù)和差公式，正弦定理. 【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子

29、中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到． 3【2015高考重慶，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分線AD=,則AC=_______. 【答案】 【解析】由正弦定理得，即，解得，，從而，所以，. 【考點(diǎn)定位】解三角形（正弦定理，余弦定理） 【名師點(diǎn)晴】解三角形就是根據(jù)正弦定理和余弦定理得出方程進(jìn)行的．當(dāng)已知三角形邊長(zhǎng)的比時(shí)使用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為邊的對(duì)角的正弦的比值，本例第一題就是在這種思想指導(dǎo)下求解的；當(dāng)已知三角形三邊之間的關(guān)系式，特別是邊的二次關(guān)系式時(shí)要考慮根據(jù)余弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的余弦關(guān)系式，再考慮問(wèn)題的下一步

30、解決方法． 4.【2015高考天津，理13】在 中，內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 ，已知的面積為 ， 則的值為 . 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以? 又，解方程組得，由余弦定理得 ，所以. 【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、三角形面積公式、余弦定理.解三角形是實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題之一，先根據(jù)同角三角關(guān)系求角的正弦值，再由三角形面積公式求出，解方程組求出的值，用余弦定理可求邊有值.體現(xiàn)了綜合運(yùn)用三角知識(shí)、正余弦定理的能力與運(yùn)算能力，是數(shù)學(xué)重要思想方法的體現(xiàn). 5【2015高考湖北，理13】如圖，一輛汽車在一條水

31、平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達(dá)處，測(cè)得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度 m. 【答案】 【解析】依題意，，，在中，由， 所以，因?yàn)?，由正弦定理可得，即m， 在中，因?yàn)椋?，所以，所以m. 【考點(diǎn)定位】三角形三內(nèi)角和定理，三角函數(shù)的定義，有關(guān)測(cè)量中的的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)，正弦定理. 【名師點(diǎn)睛】本題是空間四面體問(wèn)題，不能把四邊形看成平面上的四邊形. 6【2017課標(biāo)1，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosB

32、cosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng). 【解析】 試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為. 試題解析：（1）由題設(shè)得，即. 由正弦定理得. 故. 【考點(diǎn)】三角函數(shù)及其變換. 【名師點(diǎn)睛】在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度

33、和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問(wèn)題通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可. 7.【2017課標(biāo)II，理17】的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知， （1）求； （2）若，的面積為，求。 【答案】(1)； (2)。 【解析】 試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，利用降冪公式化簡(jiǎn)，結(jié)合求出；利用（1）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出。 試題解析：(1)由題設(shè)及， ，故。 上式兩邊平方，整理得， 解得(舍去)，。 （2）由得，故

34、。 又，則。 由余弦定理及得： 所以b=2。 【考點(diǎn)】 正弦定理；余弦定理；三角形面積公式。 【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎。 8.【2017課標(biāo)3，理17】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知 ，a=2,b=2. （1）求c； （2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC,求△ABD的面積. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 解得

35、： (舍去)， . (2)由題設(shè)可得 ，所以 . 故△ABD面積與△ACD面積的比值為 . 又△ABC的面積為 ，所以△ABD的面積為 . 【考點(diǎn)】 余弦定理解三角形；三角形的面積公式 【名師點(diǎn)睛】在解決三角形問(wèn)題中，面積公式最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呌钟薪?，容易和正弦定理、余弦定理?lián)系起來(lái).正、余弦定理在應(yīng)用時(shí)，應(yīng)注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷. 9【2017北京，理15】在△ABC中， =60°，c=a. （Ⅰ）求sinC的值； （Ⅱ）若a=7，求△AB

36、C的面積. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題解析：解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，? 所以由正弦定理得. （Ⅱ）因?yàn)?，所? 由余弦定理得， 解得或（舍）. 所以△ABC的面積. 【考點(diǎn)】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換. 【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來(lái)命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，

37、彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式 10.【2017天津，理15】在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，. （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的值. 【答案】 (1) .(2) 【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出， 進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果. 試題解析：（Ⅰ）在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以. 由正弦定理,得. 所以，的值為，的值為. （Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，所以， .故. 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利

38、用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值. 利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題. 11.【2016年高考北京理數(shù)】（本小題13分） 在ABC中，. （1）求 的大??； （2）求 的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)余弦定理公式求出的值，進(jìn)而根據(jù)的取值范圍求的大??； 考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理. 【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與

39、三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法．注意體會(huì)其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想． 12.【2016高考新課標(biāo)1卷】 （本小題滿分為12分） 的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知 （I）求C； （II）若的面積為,求的周長(zhǎng)． 【答案】（I）（II） 【解析】 試題分析：（I）先利用正弦定理進(jìn)行邊角代換化簡(jiǎn)得得,故；（II）根據(jù)．及得．再利用余弦定理得 ．再根據(jù)可得的周長(zhǎng)為． 試題解析：（I）由已知及正弦定理得,,

40、即． 故． 可得,所以． （II）由已知,． 又,所以． 由已知及余弦定理得,． 故,從而． 所以的周長(zhǎng)為． 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式 【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式, ,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,常考慮對(duì)其實(shí)施“邊化角”或“角化邊.” 13.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （Ⅰ）證明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩角和的正弦公式、正切公式、正

41、弦定理即可證明； （Ⅱ）根據(jù)余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC的最小值. 試題解析：由題意知， 化簡(jiǎn)得， 即. 因?yàn)? 所以. 從而. 由正弦定理得. 考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問(wèn)題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡(jiǎn)三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，達(dá)到證明目的；三角形中的求角問(wèn)題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).本題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的基本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.9. 14【2015江蘇高考，15】（本小題滿分

42、14分） 在中，已知. （1）求的長(zhǎng)； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）已知兩邊及夾角求第三邊，應(yīng)用余弦定理，可得的長(zhǎng)，（2）利用（1）的結(jié)果，則由余弦定理先求出角C的余弦值，再根據(jù)平方關(guān)系及三角形角的范圍求出角C的正弦值，最后利用二倍角公式求出的值. 試題解析：（1）由余弦定理知，， 所以． （2）由正弦定理知，，所以． 因?yàn)?，所以為銳角，則． 因此． 【考點(diǎn)定位】余弦定理，二倍角公式 【名師點(diǎn)晴】如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，

43、則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，本題解是唯一的，注意開(kāi)方時(shí)舍去負(fù)根. 15.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分14分） 在中，AC=6， （1）求AB的長(zhǎng)； （2）求的值. 【答案】（1）(2) 【解析】 試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求 再利用正弦定理求 (2)利用誘導(dǎo)公式及兩角和余弦公式分別求，最后根據(jù)兩角差余弦公式求，注意開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍. 試題解析：解（1）因?yàn)樗? 由正弦定理知，所以 考點(diǎn)：同角三角函數(shù)關(guān)系，正余弦定理，兩角和與差公式 【名師點(diǎn)睛】

44、三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進(jìn)行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓剑墙鉀Q三角問(wèn)題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對(duì)開(kāi)方時(shí)正負(fù)取舍是解題正確的保證. 16【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分） 中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ)求； (Ⅱ)若，，求和的長(zhǎng)． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【解析】(Ⅰ)，，因?yàn)椋?，所以．由正弦定理可得? (Ⅱ)因?yàn)?，所以．在和中，由余弦定理? ，． ．由(Ⅰ)知，所以． 【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公

45、式；2、正弦定理和余弦定理． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求． 17.【2015湖南理17】設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，且為鈍角. （1）證明：； （2）求的取值范圍. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）利用正弦定理，將條件中的式子等價(jià)變形為，再結(jié)合條件從而得證；（2）利用（1）中的結(jié)論，以及三角恒等變形，將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可

46、求解. 【考點(diǎn)定位】1.正弦定理；2.三角恒等變形；3.三角函數(shù)的性質(zhì). 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等變形等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，高考解答題對(duì)三角三角函數(shù)的考查主要以三角恒等變形，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用正余弦定理解三角形為主，難度中等，因此只要掌握基本的解題方法與技巧即可，在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，一般運(yùn)用恒等變換，將未知角變換為已知角求解，在研究三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，一般先運(yùn)用三角恒等變形，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式求解，對(duì)于三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目，要注意通過(guò)正余弦定理以及面積公式實(shí)現(xiàn)邊角互化，求出相關(guān)的邊和角的大小. 18.【2015高考新課標(biāo)2，理17】（本題滿分12分） 中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍． (Ⅰ) 求； (Ⅱ)若，，求和的長(zhǎng)． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理． 【名師點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合已知條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求． 47