2018年高考數(shù)學(xué) 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差大題狂練 理

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1、 命題角度3.1 離散型隨機(jī)變量的分布列與期望、方差 1．某印刷廠的打印機(jī)每5年需淘汰一批舊打印機(jī)并購(gòu)買(mǎi)新機(jī)，買(mǎi)新機(jī)時(shí)，同時(shí)購(gòu)買(mǎi)墨盒，每臺(tái)新機(jī)隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)第一盒墨150元，優(yōu)惠0元；再每多買(mǎi)一盒墨都要在原優(yōu)惠基礎(chǔ)上多優(yōu)惠一元，即第一盒墨沒(méi)有優(yōu)惠，第二盒墨優(yōu)惠一元，第三盒墨優(yōu)惠2元，……，依此類推，每臺(tái)新機(jī)最多可隨新機(jī)購(gòu)買(mǎi)25盒墨．平時(shí)購(gòu)買(mǎi)墨盒按零售每盒200元． 公司根據(jù)以往的記錄，十臺(tái)打印機(jī)正常工作五年消耗墨盒數(shù)如下表： 消耗墨盒數(shù) 22 23 24 25 打印機(jī)臺(tái)數(shù) 1 4 4 1 以這十臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)的頻率代替一臺(tái)打印機(jī)消耗墨盒數(shù)發(fā)生的概率，記ξ表示兩臺(tái)打印機(jī)

2、5年消耗的墨盒數(shù)． (1)求ξ的分布列； (2)若在購(gòu)買(mǎi)兩臺(tái)新機(jī)時(shí)，每臺(tái)機(jī)隨機(jī)購(gòu)買(mǎi)23盒墨，求這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年在消耗墨盒上所需費(fèi)用的期望． 【答案】(1) ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2) 這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購(gòu)買(mǎi)墨盒的費(fèi)用的期望為6614元. 故ξ的分布列為 ξ 44 45 46 47 48 49 50 P (2)記表示在題設(shè)條件下，購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)新機(jī)使用五年在消耗墨盒上所需的費(fèi)用（單位：元） 若在購(gòu)買(mǎi)兩臺(tái)新機(jī)時(shí)，每臺(tái)機(jī)隨

3、機(jī)購(gòu)買(mǎi)23盒墨，則需付款 則 答：這兩臺(tái)打印機(jī)正常使用五年所需購(gòu)買(mǎi)墨盒的費(fèi)用的期望為6614元． 2.隨著人們對(duì)環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來(lái)越受到市民重視. 為此貴陽(yáng)市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到自行車服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車卡借車，初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20積分，當(dāng)積分為0時(shí)，借車卡將自動(dòng)鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行，同時(shí)督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公 共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分收費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下： ①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)； ②租用時(shí)

4、間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)，扣1分； ③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)，扣2分； ④租用時(shí)間超過(guò)3小時(shí)，按每小時(shí)扣2分收費(fèi)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）. 甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別是0.4和0.5；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.4和0.3. （1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率； （2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36，（2）的數(shù)學(xué)期望． 【解析】試題分析：（1）先確定甲、乙兩人所扣積分相

5、同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. （Ⅱ）的可能取值為： ， ， ， ， ， 所以的分布列為： 0 1 2 3 4 P 0.2 0.32 0.3 0.14 0.04 的數(shù)學(xué)期望． 答：甲、乙兩人所扣積分相同的概率為0.36， 的數(shù)學(xué)期望． 3.已知6只小白鼠有1只被病毒感染，需要通過(guò)對(duì)其化驗(yàn)病毒來(lái)確定是否感染.下面是兩

6、種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染為止.方案乙：將6只分為兩組，每組三個(gè)，并將它們混合在一起化驗(yàn)，若存在病毒，則表明感染在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染為止；若結(jié)果不含病毒，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn). （1）求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率. （2）首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元，列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列，并估計(jì)用方案甲平均需要體驗(yàn)費(fèi)多少元？ 【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析， . 試題解析： （2）設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為，則可能的取值為1,2,3,4,5,對(duì)應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)用為元,則 ， ， ，

7、， 則其化驗(yàn)費(fèi)用的分布列為 所以（元）. 所以甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)元 4.某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付頻率）. 對(duì)于、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元，元，元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元，100萬(wàn)元，50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元. （Ⅰ）若保險(xiǎn)公司要求利

8、潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)、所要滿足的條件； （Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇； 方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工； 方案2：企業(yè)于保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付. 若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費(fèi)、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.） 【答案】（Ⅰ）元；（Ⅱ）企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作. 試題解

9、析：（Ⅰ）設(shè)工種，，職工的每份保單保險(xiǎn)公司的效益為隨機(jī)變量，，，則，，的分布列為 保險(xiǎn)公司期望收益， ， . 根據(jù)要求 . 解得， 所以每張保單的保費(fèi)需要滿足元. 結(jié)果與（Ⅰ）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作. 5.如圖，小華和小明兩個(gè)小伙伴在一起做游戲，他們通過(guò)劃拳（剪刀、石頭、布）比賽決勝誰(shuí)首先登上第3個(gè)臺(tái)階，他們規(guī)定從平地開(kāi)始，每次劃拳贏的一方登上一級(jí)臺(tái)階，輸?shù)囊环皆夭粍?dòng)，平局時(shí)兩個(gè)人都上一級(jí)臺(tái)階，如果一方連續(xù)兩次贏，那么他將額外獲得一次上一級(jí)臺(tái)階的獎(jiǎng)勵(lì)，除非已經(jīng)登上第3個(gè)臺(tái)階，當(dāng)有

10、任何一方登上第3個(gè)臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束，記此時(shí)兩個(gè)小伙伴劃拳的次數(shù)為． （1）求游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率； （2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）（2） 試題解析：解：（1）易知對(duì)于每次劃拳比賽基本事件共有個(gè)，其中小華贏（或輸）包含三個(gè)基本事件上，他們平局也為三個(gè)基本事件，不妨設(shè)事件“第次劃拳小華贏”為；事件“第 次劃拳小華平”為；事件“第 次劃拳小華輸”為，所以． 因?yàn)橛螒蚪Y(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階，所以這包含兩種可能的情況： 第一種：小華在第1個(gè)臺(tái)階，并且小明在第2個(gè)臺(tái)階，最后一次劃拳小華平； 其概率為， 第二種：小華在第2個(gè)臺(tái)階，并且小明也在第2個(gè)臺(tái)階，最后

11、一次劃拳小華輸， 其概率為 所以游戲結(jié)束時(shí)小華在第2個(gè)臺(tái)階的概率為． （2）依題可知的可能取值為2、3、4、5， ， ， ， 所以的分布列為： 2 3 4 5 所以的數(shù)學(xué)期望為： ． 6.為吸引顧客，某公司在商場(chǎng)舉辦電子游戲活動(dòng).對(duì)于兩種游戲，每種游戲玩一次均會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨(dú)立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲，若綠燈閃亮，獲得分，若綠燈不閃亮，則扣除分（即獲得分），綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲，若出現(xiàn)音樂(lè)，獲得分，若沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)，則扣除分（即獲得分），出現(xiàn)音樂(lè)的概率為.玩多次游戲后累計(jì)積分達(dá)到分可以兌換獎(jiǎng)品.

12、（1）記為玩游戲和各一次所得的總分，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （2）記某人玩次游戲，求該人能兌換獎(jiǎng)品的概率. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 試題解析：（1）隨機(jī)變量的所有可能取值為，分別對(duì)應(yīng)以下四種情況： ①玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂(lè)； ②玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，出現(xiàn)音樂(lè)； ③玩游戲，綠燈閃亮，且玩游戲，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)； ④玩游戲，綠燈不閃亮，且玩游戲，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)， 所以， ， ， ， 即的分布列為 . 7.教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語(yǔ)文樂(lè)隊(duì)理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)，某校興趣小組為了驗(yàn)證這

13、個(gè)結(jié)論，從該校選擇甲乙兩個(gè)同軌班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn)，其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練，乙班常規(guī)教學(xué)無(wú)額外訓(xùn)練，一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表（單位：人） （1）能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)？ （2）經(jīng)過(guò)多次測(cè)試后，小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在5—7分鐘，小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在6—8分鐘，現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題，求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率； （3）現(xiàn)從乙班成績(jī)優(yōu)秀的8名同學(xué)中任意抽取兩人，并對(duì)他們點(diǎn)答題情況進(jìn)行全程研究，記A、B兩人中被抽到的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X

14、）. 【答案】（1）見(jiàn)解析； (2) ；（3）見(jiàn)解析. 試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)得的觀測(cè)值 所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有的把握認(rèn)為加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān). (2)設(shè)小明和小剛解答這道數(shù)學(xué)應(yīng)用題的時(shí)間分別為分鐘， 則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)?(如圖所示) 設(shè)事件為“小剛比小明先解答完此題” 則滿足的區(qū)域?yàn)? 由幾何概型 即小剛比小明先解答完此題的概率為. （3）可能取值為， ， ， 的分布列為： 1 . 8.某市衛(wèi)生防疫部門(mén)為了控制某種病毒的傳染，提供了批號(hào)分別為的五批疫苗，供全市所轄的三個(gè)區(qū)市民注射，每

15、個(gè)區(qū)均能從中任選其中一個(gè)批號(hào)的疫苗接種. （1）求三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)中恰好有兩個(gè)區(qū)相同的概率； （2）記三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為，求 的分布列及期望. 【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析. 試題解析： (1) ( 三個(gè)區(qū)注射的疫苗批號(hào)恰好兩個(gè)區(qū)相同)= . (2) 設(shè)三個(gè)區(qū)選擇的疫苗批號(hào)的中位數(shù)為所有可能取值為. ， ， . 所以 的分布列： 即的期望： . 9.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一

16、年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表： 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題： （Ⅰ）按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定， ，記為某同學(xué)家里的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字） （Ⅱ）某二手

17、車銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車，假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損元，一輛非事故車盈利元： ①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有一輛事故車的概率； ②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）①,②見(jiàn)解析. 試題解析： （Ⅰ）由題意可知的可能取值為由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知： 所以的分布列為： 所以 （Ⅱ）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事

18、故車的概率為三輛車中至少有一輛事故車的概率為 ②為該銷售購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)， 的可能取值為 所以的分布列為： -3000 10000 所以 所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為萬(wàn)元. 10.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象（能力指標(biāo)）、推理（能力指標(biāo)）、建模（能力指標(biāo)）的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果： 學(xué)生

19、編號(hào) （1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率； （2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為，記隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）（2） (2) 由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：；的可能取值為1,2,3,4,5. 具體如下： 學(xué)生 編號(hào) 綜合 指標(biāo) 7 7 9 5 7 8 6 8 4 6 核心素養(yǎng)等級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 一級(jí) 一級(jí) 二級(jí) 一級(jí) 三級(jí) 二級(jí) （2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí)：，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：；的可能取值為1,2,3,4,5. ∴隨機(jī)變量的分布列為 1 2 3 4 5 ∴ . 14