新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí):第十一章 第六節(jié) 幾何概型 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1.已知地鐵列車每10 min一班(上一班車開(kāi)走后10分鐘下一班車到),在車站停 1 min,則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是________. 解析:試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為11 min,而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為 1 min,故P(A)=. 答案: 2.設(shè)A為圓周上一定點(diǎn),在圓周上等可能地任取一點(diǎn)與A連結(jié),則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率為_(kāi)______

3、_. 解析:當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)對(duì)應(yīng)的圓心角為, 設(shè)A={弦長(zhǎng)超過(guò)半徑},則P(A)==. 答案: 3.在區(qū)間[1,5]和[2,4]上分別取一個(gè)數(shù),記為a,b,則方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓的概率為_(kāi)_______. 解析:方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上且離心率小于的橢圓, 故 即 化簡(jiǎn)得 又a∈[1,5],b∈[2,4],畫(huà)出滿足不等式組的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示,求得陰影部分的面積為,故所求的概率P==. 答案: 4.在集合A={m|關(guān)于x的方程x2+mx+m+1=0無(wú)實(shí)根}中隨機(jī)地取一元素m,恰使式子lg m 有意義的概率為_(kāi)_______. 解析:由Δ

4、=m2-4(m+1)<0得-1<m<4. 即A={m|-1<m<4}. 由 lg m有意義知 m>0, 即使lg m有意義的范圍是(0,4), 故所求概率為 P==. 答案: 5.ABCD為長(zhǎng)方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點(diǎn),在長(zhǎng)方形ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為_(kāi)_______. 解析:長(zhǎng)方形面積為2,以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,在矩形內(nèi)部的部分(半圓)面積為, 因此取到的點(diǎn)到O的距離小于1的概率為÷2=,取到的點(diǎn)到O的距離大于1的概率為1-. 答案:1- 6.在區(qū)域M={(x,y)|}內(nèi)隨機(jī)撒一把黃豆,落在區(qū)域N={(x,y)|}內(nèi)的概率

5、是________. 解析:畫(huà)出區(qū)域M、N,如圖,區(qū)域M為矩形OABC,區(qū)域N為圖中陰影部分. S陰影=×4×2=4, 故所求概率P==. 答案: 7.如圖,有四個(gè)游戲盤,將它們水平放穩(wěn)后,在上面扔一顆玻璃小球,若小球落在陰影部分,則可中獎(jiǎng),小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì),應(yīng)選擇的游戲盤的序號(hào)是________. 解析:圖(1)的概率為,圖(2)的概率為,圖(3)、(4)的概率都是,故選擇(1). 答案:(1) 8.在區(qū)間[-2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,若x滿足|x|≤m的概率為,則m=________. 解析:由|x|≤m,得-m≤x≤m. 當(dāng)m≤2時(shí),由題意得=,解得m=2.

6、5,矛盾,舍去. 當(dāng)2

7、所求的概率為P==. 答案: 二、解答題 10.已知棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O.若在正方體內(nèi)任取一點(diǎn),則這一點(diǎn)不在球內(nèi)的概率為多少? 解析:球的直徑就是正方體的棱長(zhǎng)2. ∴球O的體積V球=π, 正方體的體積為V=23=8. 由于在正方體內(nèi)任取一點(diǎn)時(shí),點(diǎn)的位置是等可能的,在正方體內(nèi)每個(gè)位置上,由幾何概型公式,這點(diǎn)不在球O內(nèi)(事件A)的概率為 P(A)===1-. ∴所求概率為1-. 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,平面區(qū)域W中的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)滿足,從區(qū)域W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x,y). (1)若x∈Z,y∈Z,求點(diǎn)M位于第一象限的概率; (2)若x∈R,y∈R,求|OM|≤

8、2的概率. 解析:(1)若x,y∈Z,則點(diǎn)M的個(gè)數(shù)共有12個(gè),列舉如下:(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2). 當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)時(shí),點(diǎn)M位于第一象限, 故點(diǎn)M位于第一象限的概率為. (2)如圖: 若x,y∈R,則區(qū)域W的面積是3×2=6. 滿足|OM|≤2的點(diǎn)M構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? {(x,y)|-1≤x≤2,0≤y≤2,x2+y2≤4},即圖中的陰影部分.易知E(-1,),∠EOA=60°, 所以扇形BOE的面積是,△EAO的面積

9、是. 所以|OM|≤2的概率為=π+. 12.已知復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M. (1)設(shè)集合P={-4,-3,-2,0},Q={0,1,2},從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x,從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y,求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率; (2)設(shè)x∈[0,3],y∈[0,4],求點(diǎn)M落在不等式組: 所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率. 解析:(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A. ∵組成復(fù)數(shù)z的所有情況共有12個(gè):-4,-4+i,-4+2i,-3,-3+i,-3+2i,-2,-2+i,-2+2i,0,i,2i,且每種情況出現(xiàn)的可能性相等,屬于古典概型, 其中事件A包含的基本事件共2個(gè):i,2i, ∴所求事件的概率為P(A)==. (2)依條件可知,點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域內(nèi),屬于幾何概型.該平面區(qū)域的圖 形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域,面積為S=3×4=12. 而所求事件構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)? , 其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分). 又直線x+2y-3=0與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A(3,0)、D(0,), ∴三角形OAD的面積為S1=×3×=. ∴所求事件的概率為P===.

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