高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪教師用書：第8章 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積 Word版含解析

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1、 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般命制2道小題、1道解答題，分值約占22分． 2.考查內(nèi)容 (1)小題主要考查三視圖、幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問題屬于中檔題目；對(duì)于球與棱柱、棱錐的切接問題，知識(shí)點(diǎn)較整合，難度稍大． (2)解答題一般位于第18題或第19題的位置，常設(shè)計(jì)兩問：第(1)問重點(diǎn)考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問重點(diǎn)考查空間角，尤其是二面角、線面角的計(jì)算．屬于中檔題目． 3.備考策略 從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)三視圖的考查有所降溫；對(duì)空間幾何體的展開、平面圖形的折疊、解題中的補(bǔ)體等傳統(tǒng)幾何思想有所加強(qiáng). 第一節(jié)

2、　空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積 [最新考綱]　1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式． 1．簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形； (2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形； (3)棱臺(tái)可由平

3、行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形． 2．旋轉(zhuǎn)體的形成 幾何體 旋轉(zhuǎn)圖形 旋轉(zhuǎn)軸 圓柱 矩形 任一邊所在的直線 圓錐 直角三角形 任一直角邊所在的直線 圓臺(tái) 直角梯形 垂直于底邊的腰所在的直線 球 半圓 直徑所在的直線 3．三視圖與直觀圖 三視圖 畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等 直觀圖 斜二測(cè)畫法： (1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度

4、不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半. 4．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面 展開圖　 側(cè)面積公式　 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l 5．柱體、錐體、臺(tái)體和球的表面積和體積 名稱 幾何體　　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 1．按照斜二

5、測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系： S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 2．多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論 (1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝，外接球半徑R＝a. (2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝. (3)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為H＝a，內(nèi)切球半徑r＝H＝a，外接球半徑R＝H＝a. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．(　　) (2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．(　　) (3)菱形的直觀圖仍是菱

6、形．(　　) (4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括(　　) A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐 B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱 C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái) D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐 D　[從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖： ] 2．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中

7、EH∥A′D′，則剩下的幾何體是(　　) A．棱臺(tái) B．四棱柱 C．五棱柱 D．簡(jiǎn)單組合體 C　[由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．] 3．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為(　　) A．12π　　　　 B．π C．8π D．4π A　[由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π，故選A.] 4．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·

8、2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． π　[由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為π×22×2－π×22×2＝π.] 考點(diǎn)1　空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 　解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧 (1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可． (2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系． (3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓

9、)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略． 　1.給出下列命題： (1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； (2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直； (3)在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； (4)存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體； (5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．2　　 B．3　　　　 C．4　　　　 D．5 C　[(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三

10、個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知．] 2．以下命題： (1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐； (2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)； (3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面； (4)一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[命題(1)錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(

11、2)錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對(duì)；命題(4)錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．] 3．下列結(jié)論正確的是 (　　) A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐 B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐 C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐 D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線 D　[A錯(cuò)誤．如圖①所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐． 圖①　　　　 　 　圖② B錯(cuò)誤．如圖②，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸

12、不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐． C錯(cuò)誤．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．D正確．] 　(1)概念辨析類的問題常借助反例求解． (2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征正誤的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后依據(jù)題意判定． 考點(diǎn)2　空間幾何體的三視圖和直觀圖 　1.三視圖畫法的基本原則 長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線． 2．由三視圖還原幾何體的步驟 3．直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法． 　(1)[一題多解]已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的

13、平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　) A.a2　 B.a2　　 C.a2　　 D.a2 (2)(2018·全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2　　　　　 B．2 C．3 D．2 (1)D　(2)B　[(1)法一：如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖， 由圖②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a， 在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′， 則C′D′＝O′C′＝a， 所以S△A′B′C′＝A′B′

14、·C′D′＝×a×a＝a2. 法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2， 又S直觀圖＝S原圖＝×a2＝a2. 故選D. (2)由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為＝＝2.故選B. ] 圖①　　　　　　　　圖② 　(1)直觀圖的面積問題常常有兩種解法：一是利用斜二 測(cè)畫法求解，注意 “斜”及“二測(cè)”的含義；二是直接套用等量關(guān)系：S直觀圖＝S原圖形． (2)解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)距離的最短問題，常借助其側(cè)面展開圖． 　1.(201

15、8·全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) A　　 　B　　 　C　　 　D A　[由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A.] 2．某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是(　　) A. B. C. D.3 A　[由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐D-ABC，如圖，將其置于長(zhǎng)方體中，該長(zhǎng)方體的底面是

16、邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2. 所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝， 因此最長(zhǎng)棱為BD，棱長(zhǎng)是.] 考點(diǎn)3　空間幾何體的表面積與體積 　空間幾何體的表面積 　 幾類空間幾何體表面積的求法 (1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和． (2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和． (3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)． (4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． 　(1)(2019·南昌模擬)如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，

17、若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為________． (2)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2，則其表面積為________． (3)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺(tái)的表面積為________cm2 (結(jié)果中保留π)． (4)(2019·安慶模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的左視圖與主視圖相同，則該幾何體的表面積為(　　) A．16＋12π B．32＋12π C．24＋12π D．32＋20π (1)(＋3)π　(2)4＋4　(3)1 100π　(4)A　[(1)由圖中數(shù)據(jù)可得：S圓錐

18、側(cè)＝×π×2×＝π，S圓柱側(cè)＝2π×1×1＝2π，S底面＝π×12＝π. 所以幾何體的表面積S＝S圓錐側(cè)＋S圓柱側(cè)＋S底面＝π＋2π＋π＝(＋3)π. (2)因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，如圖． 由題意知底面正方形的邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為2， 則正四棱錐的斜高PE＝＝. 所以該四棱錐的側(cè)面積S＝4××2×＝4， ∴S表＝2×2＋4＝4＋4. (3)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA. 又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20(cm)． 同理SB＝40(cm)． 所以AB＝SB－SA＝20(cm

19、)． S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底 ＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202 ＝1 100π(cm2)． 故圓臺(tái)的表面積為1 100π cm2. (4)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，且正四棱柱的高為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為2，該幾何體的表面積S＝×4π×22＋π×22＋2××4＝12π＋16.] 　本例(1)得到的是旋轉(zhuǎn)體，求解的關(guān)鍵是將旋轉(zhuǎn)體的表面積分割為圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積及底面積之和；本例(2)是有關(guān)多面體側(cè)面積的問題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩

20、形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系；本例(3)是圓臺(tái)的側(cè)面積問題，采用了還錐為臺(tái)的思想；本例(4)先由三視圖還原幾何體，求解的關(guān)鍵是正四棱柱及半球的數(shù)量關(guān)系確定，易錯(cuò)點(diǎn)是兩幾何體重疊部分的表面積處理． 　(2015·全國卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1　　 B．2 C．4　　　　 D．8 B　[如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，

21、球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故選B.] 　空間幾何體的體積 　求空間幾何體的體積的常用方法 (1)直接法：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可．若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解． (2)等積法：利用三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面． (3)割補(bǔ)法：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易

22、求的幾何體，然后再計(jì)算．經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體． 　(1)如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐A-B1DC1的體積為(　　) A．3 B. C．1　　　 D. (2)[一題多解](2017·全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π (3)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C

23、上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為________． (1)C　(2)B　(3)　[(1)(直接法)如題圖，在正△ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有AD＝AB＝， 又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A-B1DC1的底面B1DC1上的高， ∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1. (2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V1＝π×32×4＝36π. 上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為

24、6的圓柱的一半， 其體積V2＝×π×32×6＝27π. 所以該組合體的體積V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π. 法二(補(bǔ)形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10＋4＝14，該圓柱的體積V1＝π×32×14＝126π. 故該幾何體的體積為圓柱體積的一半， 即V＝V1＝63π. 法三(估值法)：由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V幾何體＜90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合． (3)(等積法)三棱錐D

25、1-EDF的體積即為三棱錐F-DD1E的體積． 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中，△EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1D的距離為定值1，所以VD1-EDF＝VF-DD1E＝××1＝.] 　處理體積問題的思路 (1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解長(zhǎng)度的高； (2)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，便于計(jì)算； (3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，這些都是拼補(bǔ)的

26、方法． [教師備選例題] 1．(2019·江蘇高考)如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是________． 10　[因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120，所以AB·BC·CC1＝120， 因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以CE＝CC1， 由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CC1⊥底面ABCD， 所以CE是三棱錐E-BCD的底面BCD上的高， 所以三棱錐E-BCD的體積V＝×AB·BC·CE＝×AB·BC·CC1＝×120＝10.] 2.如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEF

27、G，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為________． 4　[法一：(分割法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥DG于H， 連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG. 由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝2＋2＝4. 法二：(補(bǔ)形法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行， 如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半

28、． 又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG＝×8＝4.] 　1.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐D-A1BC的體積是________． 　[VD-A1BC＝VB1-A1BC＝VA1-B1BC＝×S△B1BC×＝.] 2．(2019·浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)

29、是(　　) A．158　 B．162　　　 C．182　　　 D．324 B　[(直接法)由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為×6＝162.故選B.] 3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為(　　) A. B. C. D. A　[(分割法)如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH， 容易求得EG＝HF＝， AG＝GD＝BH

30、＝HC＝， 取AD的中點(diǎn)O，連接GO，易得GO＝， ∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝， ∴多面體的體積V＝V三棱錐E-ADG＋V三棱錐F-BCH＋V三棱柱AGD-BHC＝2V三棱錐E-ADG＋V三棱柱AGD-BHC＝×××2＋×1＝.故選A.] 考點(diǎn)4　與球有關(guān)的切、接問題 　與球有關(guān)的切、接問題的解法 (1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解． (2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長(zhǎng)方體中再去求解． ①若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，

31、PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，利用2R＝求R. ②一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題：可補(bǔ)形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解． 　(1)已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為(　　) A．π B． C．2π D．3π (2)(2019·福建十校聯(lián)考)已知三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，則此三棱錐的外接球的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π (3)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝

32、2，則球O的體積為(　　) A．4π B．8π C．12π D．20π (1)C　(2)B　(3)A　　[(1)依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此＝，解得 r＝，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4π×2＝2π，故選C. (2)∵AB＝，BC＝，AC＝2，∴PA＝1，PC＝，PB＝2.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖所示， 則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球． ∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為＝2， ∴球的直徑為2，半徑R＝， 因此，三棱錐P-ABC外接球的體積是πR3＝π×()3＝π.故選B. (3

33、)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圓的半徑為r＝＝＝， 則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的半徑為R＝＝＝， 則直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的體積為πR3＝4π.故選A.] [母題探究]　1.若將本例(3)的條件“∠BAC＝，AA1＝BC＝2”換為“AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12”，則球O的半徑為________． 　[如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M. 又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6， 所以球O的半徑 R＝OA＝ ＝.] 2．若將本例(3)的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則此

34、正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為________． 　[正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4×·a2＝a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的， 即r＝·a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝， 則＝＝.] 3．若將本例(3)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則其外接球的半徑為________． 3　[依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3×＝6，高為＝3， 因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.] 　通過本例(3)及母題探究訓(xùn)練，我們可以看出構(gòu)造

35、法、補(bǔ)形法等是處理“外接”問題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑． (1)錐體的外接球問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于球的半徑． (2)柱體的外接球問題，其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算． 　1.(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 B　[由等邊△AB

36、C的面積為9， 可得AB2＝9，所以AB＝6， 所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝AB＝2. 設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝＝＝2. 所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6， 所以三棱錐D-ABC體積的最大值為×9×6＝18.] 2．(2019·南寧模擬)已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為(　　) A. B. C.27π D.27π B　[∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3， ∴△PAB≌△PBC≌△PAC. ∵PA⊥P

37、B，∴PA⊥PC，PC⊥PB. 以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球． ∵正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，∴其外接球半徑R＝.因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝×3＝.] 課外素養(yǎng)提升⑦　直觀想象——巧解簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問題 簡(jiǎn)單幾何體外接球與內(nèi)切球問題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力．此類問題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心O的位置問題，其中球心的確定是關(guān)鍵． 下面從六個(gè)方面分類闡述該類問題的求解策略： 利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探

38、索外接球半徑 【例1】　(2019·東北三省四市模擬)已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，沿AD進(jìn)行折疊，使折疊后的∠BDC＝，則過A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為(　　) A．3π　 B．4π　　　 C．5π　　　 D．6π C　[連接BC(圖略)，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BD＝CD＝1，AD＝，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是，1,1的長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為＝，故該三棱錐外接球的半徑是，其表面積為5π.] [評(píng)析]　若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個(gè)垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2＝a2＋

39、b2＋c2求出R. 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(　　) A．16π B．20π C．24π D．32π C　[設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球半徑為R，則正四棱柱的體積為V＝a2h＝16，a＝2,4R2＝a2＋a2＋h2＝4＋4＋16＝24，所以球的表面積為S＝24π.] 利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑 【例2】　三棱錐中S-ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝.則三棱錐的外接球的表面積為________． 14π　[如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)AE＝a，BE＝b，CE＝c. 則SC＝AB＝＝

40、， SA＝BC＝＝， SB＝AC＝＝. 從而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱錐的外接球的表面積為14π.] [評(píng)析]　三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無從著手，注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2019·全國卷Ⅰ)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°， 則球O的體積為(　　) A．8π B．4π C．2π D.π D　　[因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF

41、∥PB， 因?yàn)椤螩EF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE. 取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC⊥平面BDP， 所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE平面PAC，所以PB⊥平面PAC， 所以PB⊥PA，PB⊥PC，因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形， 所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC放在正方體中．因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR3＝π3＝π，故選D.] 利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心 【例3】　平面四邊形ABCD中，

42、AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.將其沿對(duì)角線BD折成四面體A′BCD，使平面A′BD⊥平面BCD.若四面體A′BCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為 (　　) A.π B．3π C.π D．2π A　[如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因點(diǎn)F為底面直角△BCD的外心，知三棱錐A′-BCD的外接球球心必在過點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上．又點(diǎn)E為底面直角△A′BD的外心，知外接球球心必在過點(diǎn)E且與平面A′BD垂直的直線l2上．因而球心為l1與l2的交點(diǎn)．又FE∥CD，CD⊥BD知FE⊥平面A′BD.從而可知球心為點(diǎn)F.又A′B＝A′D＝1，CD＝1知BD＝，球半徑R＝

43、FD＝＝.故V＝π3＝π.] [評(píng)析]　三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2019·廣州模擬)三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(　　) A．23π B．π C．64π D．π D　[如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn)．由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝

44、PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝. 故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝π.] 利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心 【例4】　一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為________． 　[設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a＝，底面積為S＝6··2＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝2＋2＝1，R＝1，球的體積為V＝.] [評(píng)析]　直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖： 其外接球球心就是

45、上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　(2017·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A.π B. C. D. B　[設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π×1＝. 故選B.] 錐體的內(nèi)切球問題 圖① (1)題設(shè)：如圖①，三棱錐P-ABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑． 第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，E，H分別是兩個(gè)三角形的外心； 第二步：求DH＝CD，P

46、O＝PH－r，PD是側(cè)面△ABP的高； 第三步：由△POE∽△PDH，建立等式：＝，解出r. 圖② (2)題設(shè)：如圖②，四棱錐P-ABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑． 第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，P，O，H三點(diǎn)共線； 第二步：求FH＝BC，PO＝PH－r，PF是側(cè)面△PCD的高； 第三步：由△POG∽△PFH，建立等式：＝，解出r. (3)題設(shè)：三棱錐P-ABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑． 方法：等體積法，三棱錐P-ABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和； 第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積； 第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立

47、等式：VP-ABC＝VO-ABC＋VO-PAB＋VO-PAC＋VO-PBC?VP-ABC ＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r； 第三步：解出r＝. 【例5】　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是________． (2－)m　[由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝m，則AD＝m.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VP-ABC

48、D＝VO-ABCD＋VO-PAD＋VO-PAB＋VO-PBC＋VO-PCD，即·m2·m＝m2R＋×m2R＋××m2·R＋××m2·R＋×m2R，解得R＝(2－)m，所以此球的最大半徑是(2－)m.] [評(píng)析]　結(jié)合本題的條件，采用體積分割法求解本題． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是頂角的余弦值為的等腰三角形．在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為________． r　[如圖，作出軸截面，因?yàn)檩S截面是頂角的余弦值為的等腰三角形，所以頂角為，所以該軸截面為正三角形．根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水

49、面所在圓的半徑為r，則 容器內(nèi)水的體積V＝π(r)2·3r－πr3＝πr3.將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積V′＝π2h＝πh3，由V＝V′，得h＝r，所以這時(shí)容器中水的深度為r.] 柱體的內(nèi)切球問題 【例6】　(2016·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π B． C．6π D． B　[由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切．設(shè)球的半徑為R，∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為＝2， ∴R≤2. 又2R≤3， ∴R≤， ∴Vmax＝π3＝π.故選B.] [評(píng)析]　解答本題的關(guān)鍵是當(dāng)V取得最大值時(shí)，球與上下底面還是與側(cè)面相切的問題． 【素養(yǎng)提升練習(xí)】　體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為________． 6　[設(shè)球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2. 設(shè)底面邊長(zhǎng)為a， 則×a＝1，所以a＝2. 所以V＝×(2)2×2＝6.]