2019年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大二輪精準(zhǔn)提分練習(xí)第二篇 第27練

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1、 第27練 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值[壓軸大題突破練] [明晰考情] 1.命題角度:討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍是高考的熱點.2.題目難度:偏難題. 考點一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 方法技巧 (1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法:在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. (2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍:若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)f′(x)≥0(或f′(x)≤0),從而轉(zhuǎn)化為恒成立問題來解決(注

2、意等號成立的檢驗). (3)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上不單調(diào),則轉(zhuǎn)化為f′(x)=0在(a,b)上有解. 1.已知函數(shù)f(x)=ln x+,其中常數(shù)k>0,討論f(x)在(0,2)上的單調(diào)性. 解 因為f′(x)=--1 ==-(x>0,k>0). ①當(dāng)0k>0,且>2, 所以當(dāng)x∈(0,k)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(k,2)時,f′(x)>0, 所以函數(shù)f(x)在(0,k)上是減函數(shù),在(k,2)上是增函數(shù); ②當(dāng)k=2時,=k=2,f′(x)<0在(0,2)上恒成立, 所以f(x)在(0,2)上是減函數(shù); ③當(dāng)k>2時,0<<2,k>, 所以

3、當(dāng)x∈時,f′(x)<0; 當(dāng)x∈時,f′(x)>0, 所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). 綜上可知,當(dāng)02時,f(x)在上是減函數(shù),在上是增函數(shù). 2.已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)-ax-x2,討論f(x)在定義域上的單調(diào)性. 解 f′(x)=-a-2x=, 令f′(x)=0,得x=0或x=-, 又f(x)的定義域為(-1,+∞), ①當(dāng)-≤-1,即當(dāng)a≥0時, 若x∈(-1,0),f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增; 若x∈(0,+∞

4、),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. ②當(dāng)-1<-<0,即-2<a<0時, 若x∈,f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減; 若x∈,f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增; 若x∈(0,+∞),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. ③當(dāng)-=0,即a=-2時, f′(x)≤0,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減. ④當(dāng)->0,即a<-2時, 若x∈(-1,0),f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減; 若x∈,f′(x)>0,則f(x)單調(diào)遞增; 若x∈,f′(x)<0,則f(x)單調(diào)遞減. 綜上,當(dāng)a≥0時,f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-2

5、<a<0時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)a=-2時,f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)a<-2時,f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=(a∈R). (1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,并求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程; (2)若f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù),求a的取值范圍. 解 (1)對f(x)求導(dǎo),得f′(x)= =, 因為f(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0,即a=0. 當(dāng)a=0時,f(x)=,f′(x)=, 故f(1)=,f′(

6、1)=, 從而f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-=(x-1),化簡得3x-ey=0. (2)由(1)知,f′(x)=. 令g(x)=-3x2+(6-a)x+a, 由g(x)=0,解得x1=, x2=. 當(dāng)x<x1時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù); 當(dāng)x1<x<x2時,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數(shù); 當(dāng)x>x2時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數(shù). 由f(x)在[3,+∞)上為減函數(shù)知, x2=≤3,解得a≥-, 故a的取值范圍為. 4.已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x. (1)

7、當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由. 解 (1)當(dāng)a=-1時,f(x)=x2+2ln x-3x(x>0), 則f′(x)=x+-3==. 當(dāng)02時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)1

8、 即≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴x2-2x-2a≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴a≤(x2-2x)=(x-1)2-恒成立. 又φ(x)=(x-1)2-,x∈(0,+∞)的最小值為-. ∴當(dāng)a≤-時,g′(x)≥0恒成立. 又當(dāng)a=-時,g′(x)=,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時, g′(x)=0. 故當(dāng)a∈時,g(x)=f(x)-ax在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 考點二 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值 要點重組 (1)可導(dǎo)函數(shù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0,但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點,如函數(shù)f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是極值點. (2)極值點不是一個點,而是一個數(shù)x0,當(dāng)x=x0時,函數(shù)

9、取得極值,在x0處,f′(x0)=0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件. (3)一般地,在閉區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間的端點處取得. 5.已知函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x. (1)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)a<0時,求函數(shù)f(x)在上的最小值. 解 (1)由函數(shù)f(x)=ax2+(1-2a)x-ln x, 可得f′(x)=2ax+(1-2a)-=, ∵a>0,x>0, ∴>0,令f′(x)>0, 即x-1>0

10、,得x>1, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞). (2)由(1)可得f′(x)=, ∵a<0,令f′(x)=0,得x1=-,x2=1, ①當(dāng)->1,即-

11、n= 6.討論函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)(a∈R)的極值點的個數(shù). 解 由題意知,函數(shù)f(x)的定義域為(-1,+∞), f′(x)=+a(2x-1)=. 令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈(-1,+∞). ①當(dāng)a=0時,g(x)=1, 此時f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點; ②當(dāng)a>0時,令2ax2+ax-a+1=0,則Δ=a2-8a(1-a)=a(9a-8). 當(dāng)0<a≤時,Δ≤0,g(x)≥0. 故f′(x)≥0,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點; 當(dāng)a>時,Δ>0. 設(shè)方程2ax2+ax-a+

12、1=0的兩根分別為x1,x2(x1<x2), 因為x1+x2=-, 所以x1<-,x2>-, 由g(-1)=1>0, 可得-1<x1<-. 所以當(dāng)x∈(-1,x1)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(x1,x2)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增. 因此函數(shù)f(x)有兩個極值點; ③當(dāng)a<0時,Δ>0,由g(-1)=1>0,可得x1<-1. 當(dāng)x∈(-1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(x2,+∞)時,g(

13、x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 所以函數(shù)f(x)有一個極值點. 綜上所述,當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)有一個極值點; 當(dāng)0≤a≤時,函數(shù)f(x)無極值點; 當(dāng)a>時,函數(shù)f(x)有兩個極值點. 7.已知函數(shù)f(x)=ln x+. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)若對任意x>0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立,求正數(shù)a的取值范圍. 解 (1)f′(x)=-=,x∈(0,+∞). ①當(dāng)a≤0時,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),無極值; ②當(dāng)a>0,x∈(0,a)時,f′(x)<0,f(x)在(0,a)上為減函數(shù); x∈(a,

14、+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上為增函數(shù), 所以f(x)在(0,+∞)上有極小值,無極大值, f(x)的極小值為f(a)=ln a+1. (2)若對任意x>0,均有x(2ln a-ln x)≤a恒成立, 即對任意x>0,均有2ln a≤+ln x恒成立, 由(1)可知f(x)的最小值為ln a+1,問題轉(zhuǎn)化為2ln a≤ln a+1, 即ln a≤1,故0

15、的取值范圍. 審題路線圖 (1)→→ (2)→→ 規(guī)范解答·評分標(biāo)準(zhǔn) 解 (1)f′(x)=a2x-(x>0).…………………………………………………………………1分 當(dāng)a=0時,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時,f′(x)==, 由f′(x)≥0,得x≥;由f′(x)<0,得0<x<.…………………………………………3分 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 當(dāng)a<0時,f′(x)=, 由f′(x)≥0,得x≥-; 由f′(x)<0,得0<x<-.………………………………………………………………5分 所以f(x)的單調(diào)遞

16、減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 綜上,當(dāng)a=0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞); 當(dāng)a>0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;當(dāng)a<0時,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.………………………………6分 (2)f(x)的圖象不在x軸的下方,即當(dāng)x>0時,f(x)≥0恒成立, 所以a2x2-ln x≥0,即a2≥.………………………………………………………7分 令h(x)=(x>0), 則h′(x)==,…………………………………………………9分 由h′(x)>0,得0<x<;由h′(x)<0,得x>. 故h(x)在(0,]上單調(diào)遞增,在[,+∞)上單調(diào)遞減.

17、當(dāng)x=時,h(x)取得最大值. 所以a2≥,解得a≤-或a≥.……………………………………………………11分 故實數(shù)a的取值范圍是∪.…………………………………12分 構(gòu)建答題模板 [第一步] 求導(dǎo):一般先確定函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù)f′(x). [第二步] 轉(zhuǎn)化:“判斷函數(shù)單調(diào)性、求極值(最值)”常轉(zhuǎn)化為“判斷f′(x)的符號”,“切線方程、切線的斜率(或傾斜角)、切點坐標(biāo)”,常轉(zhuǎn)化為“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”,“恒成立問題”常轉(zhuǎn)化為“求最值”等. [第三步] 求解:根據(jù)題意求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等問題. [第四步] 反思:單調(diào)區(qū)間不能用“∪”連接;范圍問題的端點能否取到.

18、 1.(2016·北京)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)f(x)的定義域為R. ∵f′(x)=ea-x-xea-x+b=(1-x)ea-x+b. 依題意可知,即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知,f(x)=xe2-x+ex, 由f′(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知, f′(x)與1-x+ex-1同號. 令g(x)=1-x+ex-1,則g′(x)=-1+ex-1. 所以,當(dāng)x∈(-∞,1)時,g′(x)<0,g(

19、x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增. 故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值, 從而g(x)>0,x∈(-∞,+∞), 綜上可知,f′(x)>0,x∈(-∞,+∞). 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞). 2.已知函數(shù)f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 解 函數(shù)f(x)=ln x-a2x2+ax的定義域為(0,+∞), f′(x)=-2a2x+a==. 方法一 ①當(dāng)a=0時,f′(x)=>0,所以f(x)

20、在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),不合題意; ②當(dāng)a>0時,令f′(x)≤0(x>0),即(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥, 此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 依題意,得解得a≥1; ③當(dāng)a<0時,f′(x)≤0(x>0), 即(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-. 此時f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 依題意,得解得a≤-. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是∪[1,+∞). 方法二?、佼?dāng)a=0時,f′(x)=>0, 所以f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),不合題意; ②當(dāng)a≠0時,要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù),只需f′(x)≤0在區(qū)間[1,+

21、∞)上恒成立. 因為x>0,所以只要2a2x2-ax-1≥0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立. 所以解得a≥1或a≤-. 綜上,實數(shù)a的取值范圍是∪[1,+∞). 3.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2,其中參數(shù)a∈R. (1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 解 (1)由題意得f′(x)=x2-ax, 所以當(dāng)a=2時,f(3)=0,f′(x)=x2-2x, 所以f′(3)=3, 因此曲線y=f(x)在點(3,f(3))處的切線方程

22、是 y=3(x-3),即3x-y-9=0. (2)因為g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以g′(x)=f′(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x =x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x). 令h(x)=x-sin x,則h′(x)=1-cos x≥0, 所以h(x)在R上單調(diào)遞增. 因為h(0)=0,所以當(dāng)x>0時,h(x)>0; 當(dāng)x<0時,h(x)<0. ①當(dāng)a<0時,g′(x)=(x-a)(x-sin x), 當(dāng)x∈(-∞,a)時,x-a<0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(a,0)時,x-

23、a>0,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(0,+∞)時,x-a>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=a時,g(x)取到極大值, 極大值是g(a)=-a3-sin a; 當(dāng)x=0時,g(x)取到極小值,極小值是g(0)=-a. ②當(dāng)a=0時,g′(x)=x(x-sin x), 當(dāng)x∈(-∞,+∞)時,g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增; 所以g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,g(x)無極大值也無極小值. ③當(dāng)a>0時,g′(x)=(x-a)(x-sin x), 當(dāng)x∈(-∞,0)時,x-a<0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈(0,a)時,x

24、-a<0,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈(a,+∞)時,x-a>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增. 所以當(dāng)x=0時,g(x)取到極大值, 極大值是g(0)=-a; 當(dāng)x=a時,g(x)取到極小值, 極小值是g(a)=-a3-sin a. 綜上所述,當(dāng)a<0時,函數(shù)g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上單調(diào)遞增,在(a,0)上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(a)=-a3-sin a,極小值是g(0)=-a; 當(dāng)a=0時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增,無極值; 當(dāng)a>0時,函數(shù)g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,a)上

25、單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是g(0)=-a,極小值是g(a)=-a3-sin a. 4.已知函數(shù)f(x)=ax-ln x+x2. (1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的極值; (2)若a=1,?x1∈(1,2),?x2∈(1,2),使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0),求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)依題意知,當(dāng)a=-1時,f(x)=-x-ln x+x2, f′(x)=-1-+2x==, 因為x∈(0,+∞),故當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)>0, 故當(dāng)x=1時,f(x)有極小值,極小值為f(1)=0,無極大值. (2)

26、當(dāng)a=1時,f(x)=x-ln x+x2. 因為?x1∈(1,2),?x2∈(1,2), 使得f(x1)-x=mx2-mx(m≠0), 故ln x1-x1=mx-mx2. 設(shè)h(x)=ln x-x,g(x)=mx3-mx, 當(dāng)x∈(1,2)時,h′(x)=-1<0,即函數(shù)h(x)在(1,2)上單調(diào)遞減, 故h(x)的值域為A=(ln 2-2,-1). 又g′(x)=mx2-m=m(x+1)(x-1). ①當(dāng)m<0時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞減,此時g(x)的值域為B=, 因為A?B,又->0>-1, 故≤ln 2-2,即m≤ln 2-3; ②當(dāng)m>0時,g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,此時g(x)的值域為B=,因為A?B,又>0>-1, 故-≤ln 2-2,故m≥-(ln 2-2)=3-ln 2. 綜上所述,實數(shù)m的取值范圍為∪.

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