2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第39講 數(shù)列求和的方法

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1、 第39講 數(shù)列求和的方法 【知識要點】 一、數(shù)列的求和要有通項意識,先要對通項特征進行分析(數(shù)列的通項決定了數(shù)列的求和方法),再確定數(shù)列求和的方法. 二、數(shù)列常用的求和方法有六種:求和六法 一公二錯三分四裂五倒六并,最后一定要牢記,公比為1不為1. 1、公式法: 如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列,我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列(正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等)也可以直接使用公式求和. ①等差數(shù)列求和公式: ②等比數(shù)列求和公式: ③常見的數(shù)列的前項和:, =,, 等. 2、錯位相減法: 若

2、數(shù)列,其中是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則采用錯位相減法. 若,其中是等差數(shù)列,是公比為等比數(shù)列,令 ,則 兩式錯位相減并化簡整理即得. 3、分組求和法: 有一類數(shù)列,它既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列,則可以將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可. 4、裂項相消法: 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差,在求和時一些正負項相互抵消,于是前項的和變成首尾若干少數(shù)項之和,這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似(其中是各項不為零的等差數(shù)列,為常數(shù))的數(shù)列、部分無理數(shù)

3、列等.用裂項相消法求和,需要掌握一些常見的裂項方法: ①,特別地當時, ②,特別地當時 ③ ④ ⑤ ⑥ 5、倒序相加法: 類似于等差數(shù)列的前項和的公式的推導(dǎo)方法.如果一個數(shù)列,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加,就得到一個常數(shù)列的和.這一種求和的方法稱為倒序相加法. 6.并項求和法. 有些數(shù)列的通項里有,這種數(shù)列求和時,一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論. 【方法講評】 方法一 公式法 使用情景 如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列,我們可以運用等差、等比數(shù)列的前項和的公

4、式來求和.對于一些特殊的數(shù)列(正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等)也可以直接使用公式求和. 解題步驟 直接代入公式即可. 【例1】已知等比數(shù)列{}中,,公比,又分別是某等差數(shù)列的第項,第項,第項. (1)求;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 【解析】(1)依題意有, 即,, 即2.∵,∴. 故. 【點評】(1)利用公式法求數(shù)列的前項和,一般先求好數(shù)列前項和公式的各個基本量,再代入公式.(2)第2問注意要分類討論,因為與7的大小關(guān)系不能確定. 【反饋檢測1】已知是公差不為零的等差數(shù)列,,且成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列的通項; (Ⅱ)求數(shù)列{}的前項和. 方法二

5、 錯位相減法 使用情景 已知數(shù)列,其中是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,則采用錯位相減法. 解題步驟 若,其中是等差數(shù)列,是公比為等比數(shù)列,令 , 則 兩式相減并整理即得. 【例2】 已知函數(shù) ,是數(shù)列的前項和,點(,)()在曲線上.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,,且是數(shù)列的前項和. 試問是否存在最大值?若存在,請求出的最大值;若不存在,請說明理由. (Ⅱ)因為 ① 所以 ② ③ ②-③得 . 整理得, ④ 策略二 利用商值比較法 由④式得. 因為 所以,即

6、. 所以 所以存在最大值. 策略三 利用放縮法 由①式得,又因為是數(shù)列的前項和, 所以. 所以 所以存在最大值. 【反饋檢測2】數(shù)列的通項是關(guān)于的不等式的解集中正整數(shù)的個數(shù), . (1)求數(shù)列的通項公式; (2)若,求數(shù)列的前項和; (3)求證:對且恒有. 方法三 分組求和法 使用情景 有一類數(shù)列,它既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列. 解題步驟 可以將這類數(shù)列適當拆開,可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可. 【例3】已知數(shù)列{}的前項和為,且滿足. (1)證明:數(shù)列為等比數(shù)

7、列,并求數(shù)列{}的通項公式; (2)數(shù)列{}滿足,其前項和為,試求滿足的最小正整數(shù). (2) 設(shè) ① 【點評】(1)數(shù)列求和時,要分成兩個數(shù)列求和,其中一個是數(shù)列通項是,它用錯位相減來求和,另外一個數(shù)列是,它是一個等差數(shù)列,直接用公式法求和.(2)解不等式時,直接用代值試驗解答就可以了. 【反饋檢測3】已知數(shù)列的前項和為,且滿足. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 方法四 裂項相消法 使用情景 類似(其中是各項不為零的等差數(shù)列,為常數(shù))的數(shù)列、部分無理數(shù)列等. 解題步驟 把數(shù)列的通項拆成兩項之差,即數(shù)列的每一項都可按此

8、法拆成兩項之差,在求和時一些正負項相互抵消,于是前項的和變成首尾若干少數(shù)項之和. 【例4】 已知等差數(shù)列滿足:,.的前項和為. (Ⅰ)求 及;(Ⅱ)令(),求數(shù)列的前項和. 【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為,,所以有 ,解得,所以;==. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===, 【點評】利用裂項相消時,注意消了哪些項,保留了哪些項.如, .為了確定保留了哪些項,最好前后多寫一些項. 【反饋檢測4】 設(shè)數(shù)列滿足,. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和. 【反饋檢測5】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且(). (Ⅰ) 求的值及數(shù)列的通項公式

9、; (Ⅱ) 記數(shù)列的前項和為,求證:(). 方法五 倒序相加法 使用情景 如果一個數(shù)列,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和. 解題步驟 可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加,就得到一個常數(shù)列的和. 【例5 】 已知數(shù)列的前項和,函數(shù)對有,數(shù)列滿足. (1)分別求數(shù)列、的通項公式; (2)若數(shù)列滿足,是數(shù)列的前項和,若存在正實數(shù),使不等式 對于一切的恒成立,求的取值范圍. 【解析】(1) ①-②得 即 要使得不等式恒成立, 對于

10、一切的恒成立, 即 令,則 當且僅當時等號成立,故 所以為所求. 【點評】如果一個數(shù)列,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和,則可以利用倒序相加法求和. 【例6】求證: 【點評】如果一個數(shù)列,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和,則可以利用倒序相加法求和. 【反饋檢測6】已知函數(shù) (1)證明:; (2)求的值. 方法六 并項求和法 使用情景 有些數(shù)列的通項里有,這種數(shù)列求和時,一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論. 解題步驟 一般把項數(shù)分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分

11、類討論. 【例7】求和:…. 【解析】當為偶數(shù)時, . 當為奇數(shù)時, 【點評】(1)如果數(shù)列的通項里有,這種數(shù)列求和時,一般要分奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論.把兩項合成一項來求和. (2)這種情況最好先計算偶數(shù)的情況,再計算奇數(shù)的情況.討論奇數(shù)情況時,為了減少計算量,提高計算效率,可以利用,而可以利用前面計算出來的偶數(shù)的結(jié)論(因為是偶數(shù)),只要把偶數(shù)情況下表達式中所有的都換成即可. 【反饋檢測7】已知數(shù)列的首項為,前項和,且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. (1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測第39講:

12、數(shù)列求和的方法參考答案 【反饋檢測1答案】(1);(2). 【反饋檢測1詳細解析】(Ⅰ)由題設(shè)知公差, 由,成等比數(shù)列得=, 解得, 故的通項. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,由等比數(shù)列前項和公式得 . 【反饋檢測2答案】(1);(2);(3)見解析. (3) 由 知 于是 故當且時為增函數(shù) 綜上可知 . (2)由(1)知,故 數(shù)列的前項和 【反饋檢測4答案】(1);(2). 【反饋檢測

13、4詳細解答】(1)因為,, ① 所以當時,. 當時,, ② , ①-②得,,所以. 因為,適合上式,所以; (2)由(1)得, 所以, 所以【反饋檢測5答案】(1), ;(2)見后面解析. 【反饋檢測5詳細解析】(Ⅰ)當時,,解得或(舍去). 當時,,,相減得 即,又,所以,則, 所以是首項為,公差為的等差數(shù)列,故. 證法二:當時,. 當時,先證,即證顯然成立. 所以 所以 , 綜上,對任意,均有成立. 【反饋檢測6答案】(1);(2). 【反饋檢測7答案】(1);(2) 【反饋檢測7詳細解析】 (1)(1)由已知得, ∴. 當時,. ,∴,. (2)由⑴可得. 當為偶數(shù)時, , 綜上, 16

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