(江蘇專用)2018年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題10.1 橢圓試題(含解析)

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1、 專題10.1 橢圓 【三年高考】 1.【2017江蘇】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,兩準線之間的距離為8.點在橢圓上,且位于第一象限,過點作直線的垂線,過點作直線的垂線. (1)求橢圓的標準方程; (2)若直線,的交點在橢圓上,求點的坐標. 【答案】(1);(2). 試題解析:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c. 因為橢圓E的離心率為,兩準線之間的距離為8,所以,, 解得,于是,因此橢圓E的標準方程是. 因為,,所以直線的斜率為,直線的斜率為, 從而直線的方程:, ① 直線的方程:. ② 由①②,解得,所以. 因為點在橢圓上,由

2、對稱性,得,即或. 又在橢圓E上,故. 由,解得;,無解. 因此點P的坐標為. 【考點】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 【名師點睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組,利用根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進行轉(zhuǎn)化,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點在曲線上(點的坐標滿足曲線方程)等. 2. 【2014江蘇,理17】如圖在平面直角坐標系中,分別是橢圓的左右焦點,頂點的坐標是,連接并延長交橢圓于點,過點作軸的垂線交橢圓于另一點,連接. (1)若點的坐標為,且,求橢圓的方程; (2)若,求橢圓離心率的值. 【答案】(1);(2). 【解析】 試題

3、分析:(1)求橢圓標準方程,一般要找到關(guān)系的兩個等量關(guān)系,本題中橢圓過點,可把點的坐標代入標準方程,得到一個關(guān)于的方程,另外,這樣兩個等量關(guān)系找到了;(2)要求離心率,就是要列出關(guān)于的一個等式,題設(shè)條件是,即,,要求,必須求得的坐標,由已知寫出方程,與橢圓方程聯(lián)立可解得點坐標,則,由此可得,代入可得關(guān)于的等式,再由可得的方程,可求得. 試題解析:(1)由題意,,,,又,∴,解得.∴橢圓方程為. (2)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,解得點坐標為,則點坐標為,,又,由得,即,∴,化簡得. 3.【2013江蘇,理12】在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的標準方程為(a>0,b>0),右焦點為

4、F,右準線為l,短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1,F(xiàn)到l的距離為d2.若,則橢圓C的離心率為__________. 【答案】 【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c,由題意可設(shè)直線BF的方程為,即bx+cy-bc=0.于是可知,. ∵,∴,即. ∴a2(a2-c2)=6c4.∴6e4+e2-1=0.∴e2=. ∴. 4.【2017浙江,2】橢圓的離心率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析:,選B. 【考點】 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式,再根據(jù)的

5、關(guān)系消掉得到的關(guān)系式,建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等. 5.【2017課標3,理10】已知橢圓C:,(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切,則C的離心率為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【考點】 橢圓的離心率的求解;直線與圓的位置關(guān)系 【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì),求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法: ①求出a,c,代入公式e= ; ②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=a2-c2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式

6、,然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 6.【2017課標1,理20】已知橢圓C:(a>b>0),四點P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三點在橢圓C上. (1)求C的方程; (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點. 【解析】 試題解析:(1)由于,兩點關(guān)于y軸對稱,故由題設(shè)知C經(jīng)過,兩點. 又由知,C不經(jīng)過點P1,所以點P2在C上. 因此,解得. 故C的方程為. 【考點】橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的位

7、置關(guān)系. 【名師點睛】橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì),判斷點是否在橢圓上,可以通過這一方法進行判斷;證明直線過定點的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程,通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化,找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系式,從而可以判斷過定點情況.另外,在設(shè)直線方程之前,若題設(shè)中為告知,則一定要討論直線斜率不存在和存在情況,接著通法是聯(lián)立方程組,求判別式、韋達定理,根據(jù)題設(shè)關(guān)系進行化簡. 7.【2016高考新課標1文數(shù)改編】直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為   ?。? 【答案】 【解析】 試題分析:如圖,由題意得在橢圓中, 在中,,且,代入解得 ,所以橢圓得離心率得.

8、 y x O B F D 考點:橢圓的幾何性質(zhì) 【名師點睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考??紗栴},求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程,方程兩邊同時除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程求e . 8.【2016高考新課標Ⅲ文數(shù)改編】已知為坐標原點,是橢圓:的左焦點,分別為的左,右頂點.為上一點,且軸.過點的直線與線段交于點,與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點,則的離心率為  ?。? 【答案】 【解析】 試題分析:由題意設(shè)直線的方程為,分別令與得點,,由,得,即,整理,得,所以橢圓離心率為. 考點:橢圓方程與幾何性質(zhì). 【思路點撥】求解橢圓

9、的離心率問題主要有三種方法:(1)直接求得的值,進而求得的值;(2)建立的齊次等式,求得或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式求解;(3)通過特殊值或特殊位置,求出. 9.【2016高考北京文數(shù)】(本小題14分) 已知橢圓C:過點A(2,0),B(0,1)兩點. (I)求橢圓C的方程及離心率; (Ⅱ)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析. 【解析】 試題分析:(Ⅰ)根據(jù)兩頂點坐標可知a,b的值,則亦知橢圓方程,根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解;(Ⅱ)四邊形的面積等于對角線乘積的一半,分別求出對角

10、線的值求乘積為定值即可. 試題解析:(I)由題意得,,. 所以橢圓的方程為. 又, 所以離心率. (II)設(shè)(,),則. 又,,所以, 直線的方程為. 令,得,從而. 直線的方程為. 令,得,從而. 所以四邊形的面積 . 從而四邊形的面積為定值. 考點:橢圓方程,直線和橢圓的關(guān)系,運算求解能力. 【名師點睛】解決定值定點方法一般有兩種:(1)從特殊入手,求出定點、定值、定線,再證明定點、定值、定線與變量無關(guān);(2)直接計算、推理,并在計算、推理的過程中消去變量,從而得到定點、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點,設(shè)而不求方法、整體思想

11、和消元的思想的運用可有效地簡化運算. 10.【2016高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分) 已知橢圓C:(a>b>0)的長軸長為4,焦距為2. (I)求橢圓C的方程; (Ⅱ)過動點M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點N,交C于點A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q,延長線QM交C于點B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k',證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析;(ii)直線AB 的斜率的最小值為 . 【解析】 試題分析:(Ⅰ)分別計算即得. (Ⅱ)(i)設(shè), 利用對稱點

12、可得 得到直線PM的斜率,直線QM的斜率,即可證得. (ii)設(shè),分別將直線PA的方程,直線QB的方程與橢圓方程 聯(lián)立, 應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、及用表示的式子,進一步應(yīng)用基本不等式即得. 試題解析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c, 由題意知, 所以, 所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設(shè), 由,可得 所以 直線PM的斜率 , 直線QM的斜率. 此時,所以為定值. (ii)設(shè), 直線PA的方程為, 直線QB的方程為. 聯(lián)立 , 整理得. 由可得 , 所以, 同理. 所以, , 所以 由,可知, 所以 ,等號當且僅當時取得.

13、此時,即,符號題意. 所以直線AB 的斜率的最小值為 . 考點:1.橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì);2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.基本不等式. 【名師點睛】本題對考生計算能力要求較高,是一道難題.解答此類題目,利用的關(guān)系,確定橢圓(圓錐曲線)方程是基礎(chǔ),通過聯(lián)立直線方程與橢圓(圓錐曲線)方程的方程組,應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵,易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分析問題解決問題的能力等. 11.【2015高考新課標1,理14】一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點,且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標準方程為

14、 . 【答案】 【解析】設(shè)圓心為(,0),則半徑為,則,解得,故圓的方程為. 12.【2015高考安徽,理20】設(shè)橢圓E的方程為,點O為坐標原點,點A的坐標為,點B的坐標為,點M在線段AB上,滿足,直線OM的斜率為. (I)求E的離心率e; (II)設(shè)點C的坐標為,N為線段AC的中點,點N關(guān)于直線AB的對稱點的縱坐標為,求E的方程. 【解析】(I)由題設(shè)條件知,點的坐標為,又,從而,進而得,故. (II)由題設(shè)條件和(I)的計算結(jié)果可得,直線的方程為,點的坐標為,設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為,則線段的中點的坐標為.又點在直線上,且,從而有解得,所以,故橢

15、圓的方程為. 13.【2015高考重慶,理21】如題(21)圖,橢圓的左、右焦點分別為過的直線交橢圓于兩點,且 (1)若,求橢圓的標準方程 (2)若求橢圓的離心率 【解析】 (1)由橢圓的定義,設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知,因此即從而,故所求橢圓的標準方程為. (2)解法一:如圖(21)圖,設(shè)點P在橢圓上,且,則,求得由,得,從而由橢圓的定義,,從而由,有,又由,知,因此,于是解得. 解法二:如圖(21)圖由橢圓的定義,,從而由,有,又由,知,因此,,從而 由,知,因此 14.【2015高考湖北,理21】一種作圖工具如圖1所示.是滑槽的中點,短桿可繞轉(zhuǎn)動,長桿通過處鉸鏈與

16、連接,上的栓子可沿滑槽AB滑動,且,.當栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運動時,帶動繞轉(zhuǎn)動一周(不動時,也不動),處的筆尖畫出的曲線記為.以為原點,所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標系. (Ⅰ)求曲線C的方程; (Ⅱ)設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點.若直線總與曲線有且只有一個公共點,試探究:的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,說明理由. x D O M N y 【解析】(Ⅰ)設(shè)點,,依題意,,且,所以,且,即且 由于當點不動時,點也不動,所以不恒等于0,于是,故,代入,可得,即所求的曲線的方程為

17、 (Ⅱ)當直線的斜率不存在時,直線為或,都有. 當直線的斜率存在時,設(shè)直線, 由 消去,可得.因為直線總與橢圓有且只有一個公共點, 所以,即. ① 又由 可得;同理可得.由原點到直線的距離為和,可得. ② 將①代入②得,. 當時,; 當時,.因,則,,所以,當且僅當時取等號.所以當時,的最小值為8. 15.【2015高考陜西,理20】(本小題滿分12分)已知橢圓()的半焦距為,原點到經(jīng)過兩點, 的直線的距離為. (I)求橢圓的離心率; (II)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的方程.

18、 【解析】(I)過點,的直線方程為,則原點到直線的距離,由,得,解得離心率. (II)解法一:由(I)知,橢圓的方程為. (1) 依題意,圓心是線段的中點,且.易知,不與軸垂直,設(shè)其直線方程為,代入(1)得,設(shè)則由,得解得.從而.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為. 解法二:由(I)知,橢圓的方程為. (2) 依題意,點,關(guān)于圓心對稱,且.設(shè)則,,兩式相減并結(jié)合得.易知,不與軸垂直,則,所以的斜率因此直線方程為,代入(2)得所以,.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為. 【2018年高考命題預(yù)測】 縱觀2017各地高考試題,對

19、橢圓的考查,重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系,高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì),為容易題或中檔題,以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系,一般是難題,分值一般為5-12分. 展望2018年高考,對橢圓的考查,仍重點考查橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系,仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標準方程及橢圓的幾何性質(zhì),難度仍為容易題或中檔題,以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系,難度仍難題,分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)2018年高考中,要熟記橢圓的定義,會利用定義

20、解決橢圓上一點與橢圓的焦點構(gòu)成的三角形問題,會根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標準方程,會根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì),會用舍而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系,重點掌握與橢圓有關(guān)的最值問題、定點與定值問題、范圍問題的處理方法,注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【2018年高考考點定位】 高考對橢圓的考查有三種主要形式:一是直接考查橢圓的定義與標準方程;二是考查橢圓的幾何性質(zhì);三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系,從涉及的知識上講,常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識相聯(lián)系,字母運算能力和邏輯推理能力是考查是的重點. 【考點

21、1】橢圓的定義與標準方程 【備考知識梳理】 1.橢圓的定義:把平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)(大于)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點之間的距離叫焦距,符號表述為:(). 注意:(1)當時,軌跡是線段.(2)當時,軌跡不存在. 2.橢圓的標準方程:(1) 焦點在軸上的橢圓的標準方程為;焦點在y軸上的橢圓的標準方程為.給定橢圓,要根據(jù)的大小判定焦點在那個坐標軸上,焦點在分母大的那個坐標軸上.(2)橢圓中關(guān)系為:. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點到兩焦點的距離進行轉(zhuǎn)化,對橢圓上一點與其兩焦點構(gòu)成的三角形問題,常用橢圓的定義與正余弦定理去處理

22、. 2.求橢圓的標準方程方法 (1)定義法:若某曲線(或軌跡)上任意一點到兩定點的距離之和為常數(shù)(常數(shù)大于兩點之間的距離),符合橢圓的定義,該曲線是以這兩定點為焦點,定值為長軸長的橢圓,從而求出橢圓方程中的參數(shù),寫出橢圓的標準方程. (2)待定系數(shù)法,用待定系數(shù)法求橢圓標準方程,一般分三步完成,①定性-確定它是橢圓;②定位判定中心在原點,焦點在哪條坐標軸上;③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式,解出參數(shù)即可求出橢圓的標準方程. 3.若若橢圓的焦點位置不定,應(yīng)分焦點在x軸上和焦點在y軸上,也可設(shè)橢圓方程為,可避免分類討論和繁瑣的計算. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 已知橢圓 的焦距為2,過M(1

23、,1)斜率為-直線交曲線C于且M是線段AB的中點,則橢圓的標準方程為_____________. 【答案】 【解析】由題知,2c=2,c=1,即,① 設(shè)A,,則=2,=2,③,④, ③-④得===0, ∴===-⑤,由①⑤解得,,故橢圓C的標準方程為,. 2.在直角坐標系中,O為坐標原點,設(shè)直線經(jīng)過點,且與軸交于點F(2,0). (Ⅰ)求直線的方程; (Ⅱ)如果一個橢圓經(jīng)過點P,且以點F為它的一個焦點,求橢圓的標準方程. 【解析】(Ⅰ)由于直線經(jīng)過點和F(2,0), 則根據(jù)兩點式得,所求直線的方程為 即從而直線的方程是 (Ⅱ)設(shè)所求橢圓的標準方程為,由于一個焦點為F(2

24、,0), 則①, 又點在橢圓上, 則② 由①②解得所以所求橢圓的標準方程為 【考點2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點在x軸上 焦點在y軸上 圖形 標準方程 焦點 (±c,0) (0,±c) 焦距 |F1F2|=2c(c2=a2-b2) 范圍 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 頂點 長軸頂點(±a,0),短軸頂點(0,±b) 長軸頂點(0,±a),短軸頂點(±b,0) 對稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點對稱 離心率 e=∈(0,1),其中c= 2

25、.點與橢圓關(guān)系(1)點在橢圓內(nèi);(2)點在橢圓上;(3)點在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖像進行分析,即使不畫圖形,思考時也要聯(lián)想到圖像.當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實質(zhì)實質(zhì)是橢圓上點的橫坐標、縱坐標的取值范圍,在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題,關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式,結(jié)合化出關(guān)于的式子,再利用,化成關(guān)于的等式或不等式,從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為:=. 4.橢圓上一點到橢圓一個焦點

26、的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑(過焦點垂直于焦點所在對稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑)長度為,是過橢圓焦點的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點針對訓(xùn)練】 1.橢圓上橫坐標為2的點到右焦點的距離為________ 【答案】 【解析】橫坐標為2的點到右焦點的距離為 2.橢圓的左焦點為,若關(guān)于直線的對稱點是橢圓上的點,則橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標為,則,所以,,將其代入橢圓方程可得,化簡可得,解得. 【考點3】直線與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,若判別式

27、Δ>0,則直線與橢圓交;若△=0,則直線與橢圓相切;若△<0,則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得到一元二次方程,則一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標或縱坐標,常設(shè)出交點坐標,用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標之和與之積表示出來,這是進一步解題的基礎(chǔ). 2.直線y=kx+b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則弦長|AB|= |x1-x2|= ·=·|y1-y2|=·. 3.對中點弦問題常用點差法和參數(shù)法. 【考點針對訓(xùn)練】 1.已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為. (Ⅰ)若為等邊三角形,求橢圓的方程;

28、 (Ⅱ)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程. 【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為.根據(jù)題意知, 解得, 故橢圓的方程為. (Ⅱ)容易求得橢圓的方程為.當直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意; 當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為.由 得.設(shè),則 對任意都成立, ,因為,所以,即 , 解得,即. 故直線的方程為或. 2.在平面直角坐標系中,設(shè)點,以線段為直徑的圓經(jīng)過原點. (Ⅰ)求動點的軌跡的方程; (Ⅱ)過點的直線與軌跡交于兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,試判斷直線是否恒過一定點,并證明你的結(jié)論. 【解析】(Ⅰ)由題意可得,所以,即,即,即動點的軌跡的

29、方程為; (Ⅱ)設(shè)直線的方程為,,則.由消整理得, 則,即. . 直線,,,,即 所以,直線恒過定點. 【兩年模擬詳解析】 1. 【鎮(zhèn)江市2017屆高三年級第一次模擬】已知橢圓的左、右焦點分別為,是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點,則 . 【答案】 【解析】 2. 【2017年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01(江蘇卷)】已知橢圓的左、右焦點分別為,,過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點,直線與橢圓的另一個交點為,若,則橢圓的離心率為 . 【答案】 【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為, 將代入橢圓方程可得,故可設(shè),由, 可得,即有,即,

30、 可得,代入橢圓方程可得,, 由,即有,解得,故. 3. 【蘇北三市(連云港、徐州、宿遷)2017屆高三年級第三次調(diào)研考試】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓:的左、右頂點分別為,,過右焦點的直線與橢圓交于,兩點(點在軸上方). (1)若,求直線的方程; (2)設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在常數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 【答案】(1)(2) 【解析】 解:(1) 因為,,所以,所以的坐標為(1,0), 設(shè),,直線的方程為, 代入橢圓方程,得, 則,. 若,則, 解得,故直線的方程為. (2)由(1)知,,, 所以, 所以, 故存

31、在常數(shù),使得. 4.【2016-2017學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(二)】已知橢圓:()的左焦點為,左準線方程為. (1)求橢圓的標準方程; (2)已知直線交橢圓于,兩點. ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點,交軸于點,且滿足,.求證:為定值; ②若(為原點),求面積的取值范圍. 【答案】(1)(2)①② 【解析】 解:(1)由題設(shè)知,,, ,, :. (2)①由題設(shè)知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為,則. 設(shè),,直線代入橢圓得,整理得, ,,. 由,知,, (定值). ②當直線,分別與坐標軸重合時,易知的面積, 當直線,的斜率均存在且不為零時,設(shè):,

32、:, 設(shè),,將代入橢圓得到, ,,同理,, 的面積 . 令 , , 令,則 . 綜上所述,. 5. 【南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分) 在平面直角坐標系中,已知圓經(jīng)過橢圓的焦點. (1)求橢圓的標準方程; (2)設(shè)直線交橢圓于兩點,為弦的中點,,記直線的斜率分別為,當時,求的值. · l T P O y x Q 第17題圖 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 解:(1)因,所以橢圓的焦點在軸上, 又圓經(jīng)過橢圓的焦點,所以橢圓的半焦距, ……………3分 所以,即,所以橢圓的方程為.

33、 ……………6分 (2)方法一:設(shè),,, 聯(lián)立,消去,得, 所以,又,所以, 所以,, ……………10分 則. …………14分 方法二:設(shè),,, 則, 兩式作差,得, 又,,∴,∴, 又,在直線上,∴,∴,① 又在直線上,∴,② 由①②可得,. ……………10分 以下同方法一. 6.【鎮(zhèn)江市2017屆高三年級第一次模擬】已知橢圓的離心率為,且點在橢圓上. (1)求橢圓的標準方程; (2)若直線交橢圓于兩

34、點,線段的中點為,為坐標原點,且, 求面積的最大值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)1 【解析】 解:(1)由已知得,, 解得,, ……2分 橢圓的方程是. ……4分 (2)設(shè)l與x軸的交點為,直線,與橢圓交點為,, 聯(lián)立,,得, , ∴ ,, ∴ ,即, ……6分 由,得, ……10分 則S△POQ, 令,

35、 ……12分 設(shè),則, ……14分 當且僅當,即,S△POQ, ……15分 所以△面積的最大值為1. ……16分 7.【2017年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】(本小題滿分16分)已知橢圓的離心率為,焦點到相應(yīng)準線的距離為. (1)求橢圓的方程; (2)若為橢圓上兩不同點,線段的中點為.當三角形面積等于時,求的取值范圍. 【解析】解:(1)設(shè)橢圓的焦距為. 則 , 因此橢圓方程為.………………………4分 (2)①若直線垂直軸,則由 ,即…

36、……………………6分 ②若直線不垂直軸,設(shè)直線 由 得 所以 ,………………………8分 因此 ,當且僅當時取等號. …………12分 此時 , 因此 ,. 綜合①②得的取值范圍為.………………………16分 8.【2017年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】(本小題滿分16分) 已知橢圓的離心率為,上、下頂點分別為.為直線上一個動點(與軸交點除外),直線交橢圓于另一個點 (1)求橢圓方程; (2)若直線的斜率分別為求證:為定值; (3)求的取值范圍. 【解析】(1)由題意得,因此橢圓方程為.……………………2分 (2)設(shè),則, 因此, 因為,所以為定值.………………

37、………8分 (3)由(2)得 , 因為,且,所以……………16分 9.【2017年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】(本小題滿分16分)如圖,在平面直角坐標系中,設(shè)橢圓的左、右焦點分別為,右頂點為,上頂點為,離心率為.橢圓上一點滿足:在軸上方,且軸. (1)若∥,求的值; (2)連結(jié)并延長交橢圓于另一點.若,求的取值范圍. 【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為. 因為軸,則可設(shè). 因為在橢圓上,所以,解得,即.……………2分 因為∥,所以,即.……………4分 所以.……………6分 (2)設(shè),. 由(1)知,又,故,, 由得,,且. 解得,所以,……………9分 因為點在

38、橢圓上,所以,變形得, 因為,所以,……………13分 因為,所以, 解不等式得, 所以的取值范圍為.……………16分 10. 【江蘇省揚州中學(xué)2015—2016學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測】已知是橢圓:與雙曲線的一個公共焦點,A,B分別是,在第二、四象限的公共點.若,則的離心率是 . 【答案】 【解析】設(shè)雙曲線的實軸長為,為橢圓:與雙曲線的另一個公共焦點,則由對稱性知,因此由得. 11.【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測試】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓()的離心率為.為橢圓上異于頂點的一點,點滿足. (1)若點的坐標為,求橢圓的方程;(2)設(shè)過點的一條直線

39、交橢圓于兩點,且,直線的斜率之積,求實數(shù)的值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)因為,而, 所以. 代入橢圓方程,得,① 又橢圓的離心率為,所以,② 由①②,得, 故橢圓的方程為.  (2)設(shè), 因為,所以. 因為,所以, 即 于是, 代入橢圓方程,得, 即,③ 因為在橢圓上,所以. ④ 因為直線的斜率之積為,即,結(jié)合②知.  ⑤ 將④⑤代入③,得, 解得. 12.【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市2016屆高三第二次調(diào)研】如圖,在平面直角坐標系中,已知橢圓:的離心率,左頂點為,過點作斜率為的直線交橢圓于點,交軸于點. (1)求橢圓的方程;

40、 (2)已知為的中點,是否存在定點,對于任意的都有,若存在,求出點的坐標;若不存在說明理由; (3)若過點作直線的平行線交橢圓于點,求的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】(1)因為左頂點為,所以,又,所以. 又因為, 所以橢圓C的標準方程為. (2)直線的方程為,由消元得,. 化簡得,, 所以,. 當時,, 所以.因為點為的中點,所以的坐標為, 則. 直線的方程為,令,得點坐標為, 假設(shè)存在定點,使得, 則,即恒成立, 所以恒成立,所以即 因此定點的坐標為. (3)因為,所以的方程可設(shè)為, 由得點的橫坐標為, 由,得

41、 , 當且僅當即時取等號, 所以當時,的最小值為. 13.【江蘇省南京市2016屆高三年級第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)】(本小題滿分16分) 已知點P是橢圓C上的任一點,P到直線l1:x=-2的距離為d1,到點F(-1,0)的距離為d2,且. (1)求橢圓C的方程; (2)如圖,直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B(A,B都在x軸上方),且 ∠OFA+∠OFB=180o. (?。┊擜為橢圓C與y軸正半軸的交點時,求直線l的方程; (ⅱ)是否存在一個定點,無論∠OFA如何變化,直線l總過該定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由. (第18題)

42、【答案】(1)+y2=1(2)(?。﹜=x+1(ⅱ)(-2,0) 【解析】(1)設(shè)P(x,y),則d1=|x+2|,d2=, 化簡得:+y2=1, ∴橢圓C的方程為:+y2=1 (2)(ⅰ)由(1)知A(0,1),又F(-1,0),∴kAF=1, ∵∠OFA+∠OFB=180o,∴kBF=-1, ∴直線BF方程為:y=-1(x+1)=-x-1 代入+y2=1得:3x2+4x=0, 解得x=0或x=-, ∴B(-,).,kAB= ∴直線AB的方程為:y=x+1 (ⅱ)由于∠OFA+∠OFB=180o,所以kAF+kBF=0 設(shè)直線AB

43、方程為:y=kx+b,代入+y2=1 得:(k2+)x2+2kbx+b2-1=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 則x1+x2=-,x1x2= 所以,kAF+kBF==0 所以,(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=2kx1x2+(k+b)(x1+x2)+2b =2k×-(k+b)×+2b=0 ∴b-2k=0, 所以直線AB方程為:y=k(x+2) 所以直線l總經(jīng)過定點M(-2,0) 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 橢圓,橢圓的左、右焦點分別為,橢圓上的點到中心的最短距離為,且橢圓上的點到左焦點的最長距離為. (Ⅰ)求橢圓的標準方程;

44、(Ⅱ)若直線交于A,B兩點.若AB的中點坐標的縱坐標為,求的面積. 【解析】(Ⅰ)由題意可得:,所以橢圓的標準方程為. (Ⅱ)直線與橢圓交點坐標分別為聯(lián)立可得,所以,,又因為的中點的縱坐標為,所以,所以直線方程為:,所以點到直線的距離為,,所以的面積為. 【入選理由】本題考橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積公式等基礎(chǔ)知識,意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力,直線與橢圓的位置關(guān)系,面積問題,是高考考查的熱點,故選此題. 2. 橢圓C:的離心率為,長軸端點與短軸端點間的距離為. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)過點的直線與橢圓C

45、交于E,F兩點,O為坐標原點,若為直角三角形,求直線的斜率. 【解析】(1).由橢圓的離心率為得,.設(shè) , , ,.所以.橢圓C的方程為. (2)由為直角三角形,若,設(shè),則. ① 依題意直線斜率存在, ,聯(lián)立 得.根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以知道代入①整理得,得 , 若,設(shè)直角頂點為, ,,,滿足,所以可以得到或. 【入選理由】本題考查橢圓標準方程,直線和橢圓位置關(guān)系,求直線方程等基礎(chǔ)知識,意在考查綜合分析問題解決問題的能力和基本運算能力,此題是一個常規(guī)題,也是是高考考查的重點,故選此題. 3. 已知直角坐標系中,以為中心,點為焦點的橢圓經(jīng)過第一象限的點,的面積為,且. (1)當

46、取最小值時,求橢圓的標準方程; (2)在(1)的條件下,設(shè)點分別為橢圓的左、右頂點,點是橢圓的下頂點,點在橢圓上(與點均不重合),點在直線上,若直線的方程為,且,試求直線的方程. 【解析】(1)設(shè)(),,得,,.,,則 ,,易得 在上遞增,當時,有最小值,此時,,.由點在橢圓上,且,得,則橢圓E方程為:. (2)由(1)知:,,,直線:經(jīng)過點,求得,設(shè),則, ,,又,所以, , , ,又直線過點,故所求方程為:. 【入選理由】本題考橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運算求解能力,此題第一問出題比較新,構(gòu)思比較巧,故選此題. - 44 -

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