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學案14 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用
導學目標： 1.了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(多項式函數(shù)一般不超過三次).2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(多項式函數(shù)一般不超過三次)及最大(最小)值．
自主梳理
1．導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系：
(1)對于函數(shù)y＝f(x)，如果在某區(qū)間上f′(x)>0，那么f(x)為該區(qū)間上的________；
如果在某區(qū)間上f′(x)<0，那么f(x)為該區(qū)間上的________．
(2)若在(a，b)的任意子區(qū)間內(nèi)f′(x)
2、都不恒等于0，f′(x)≥0?f(x)在(a，b)上為____函數(shù)，若在(a，b)上，f′(x)≤0，?f(x)在(a，b)上為____函數(shù)．
2．函數(shù)的極值
(1)判斷f(x0)是極值的方法
一般地，當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，
①如果在x0附近的左側(cè)________，右側(cè)________，那么f(x0)是極大值；
②如果在x0附近的左側(cè)________，右側(cè)________，那么f(x0)是極小值．
(2)求可導函數(shù)極值的步驟
①求f′(x)；
②求方程________的根；
③檢查f′(x)在方程________的根左右值的符號．如果左正右負，那么f(x)在這個根處
3、取得________；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得________．
3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟：
(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的________；
(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與________比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
自我檢測
1．(2010·濟寧一模)已知函數(shù)y＝f(x)，其導函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則關于y＝f(x)下列說法正確的是________(填序號)．
①在(－∞，0)上為減函數(shù)；
②在x＝0處取極小值；
③在(4，＋∞)上為減函數(shù)；
④在x＝2處取極大值．
2
4、．(2009·廣東改編)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間為______________．
3．函數(shù)f(x)＝x3＋ax－2在區(qū)間(1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍為______________．
4．設p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥，則p是q的________條件．
5．(2010·福州模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則f(2)＝________.
探究點一 函數(shù)的單調(diào)性
例1 已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)當a＝2時，求函數(shù)f(
5、x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
(3)函數(shù)f(x)能否為R上的單調(diào)函數(shù)，若能，求出a的取值范圍；若不能，請說明理由．
變式遷移1 (2009·浙江)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍．
探究點二 函數(shù)的極值
例2 若函數(shù)f(x)＝ax3－bx＋4，當x＝2時，函數(shù)f(x)有極值－.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
6、
(2)若關于x的方程f(x)＝k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍．
變式遷移2 設x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝aln x＋bx2＋x的兩個極值點．
(1)試確定常數(shù)a和b的值；
(2)試判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由．
探究點三 求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
例3 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x＝時，y＝f(x)有極值．
(1)求a，b，c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
變式遷移3 已知函數(shù)f(x
7、)＝ax3＋x2＋bx(其中常數(shù)a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函數(shù)．
(1)求f(x)的表達式；
(2)討論g(x)的單調(diào)性，并求g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值．
分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
例 (14分)(2009·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋(a－1)ln x，a>1.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)證明：若a<5，則對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，有>－1.
【答題模板】
(1)解 f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝x－a＋＝＝.[3分]
①若a－1＝1，即a＝2時，f′(x)＝
8、.
故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
②若a－1<1，而a>1，故10，故f(x)在(a－1,1)上單調(diào)遞減，在(0，a－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
③若a－1>1，即a>2時，同理可得f(x)在(1，a－1)上單調(diào)遞減，
在(0,1)，(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增．[7分]
(2)證明 考慮函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＝x2－ax＋(a－1)ln x＋x.
則g′(x)＝x－(a－1)＋≥2－(a－1)
＝1－(－1)2.
由于10，即g(x
9、)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
從而當x1>x2>0時，有g(shù)(x1)－g(x2)>0，
即f(x1)－f(x2)＋x1－x2>0，
故>－1.[12分]
當0－1.
綜上，若a<5，對任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有>－1.[14分]
【突破思維障礙】
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關鍵是討論導數(shù)大于0或小于0的不等式的解集，一般就是歸結(jié)為一個一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解得到導數(shù)等于0的根的情況下，根的大小是分類的標準；
(2)利用導數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)進而解決不等式問題．
1．求可導函
10、數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；
(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；
(3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；
(4)確定f′(x)在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)f′(x)的符號判定函數(shù)f(x)在每個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性．
2．可導函數(shù)極值存在的條件：
(1)可導函數(shù)的極值點x0一定滿足f′(x0)＝0，但當f′(x1)＝0時，x1不一定是極值點．如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點．
(2
11、)可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．
3．函數(shù)的最大值、最小值是比較整個定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出來的．函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點必定是極值．
4．求函數(shù)的最值以導數(shù)為工具，先找到極值點，再求極值和區(qū)間端點函數(shù)值，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
(滿分：90分)
一、填空題(每小題6分，共48分)
1．(2011·泰州實驗一模
12、)函數(shù)f(x)＝x－ln x的單調(diào)減區(qū)間為________．
2．已知函數(shù)f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是______．
3．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點的個數(shù)為________．
4．(2011·蘇州模擬)若函數(shù)y＝a(x3－x)在區(qū)間上為減函數(shù)，則a的取值范圍為________．
5．設a∈R，若函數(shù)y＝eax＋3x，x∈R有大于零的極值點，則a的取值范圍為________．
6．(2011·聊城一模)若
13、a>2，則函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間(0,2)上有________個零點．
7．已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
①函數(shù)f(x)在(－2，－1)和(1,2)上是單調(diào)遞增函數(shù)；
②函數(shù)f(x)在(－2,0)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在(0,2)上是單調(diào)遞減函數(shù)；
③函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極大值，在x＝1處取得極小值；
④函數(shù)f(x)在x＝0處取得極大值f(0)．
則正確命題的序號是________．(填上所有正確命題的序號)．
8．已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)m的取值范圍為_______
14、_．
二、解答題(共42分)
9．(12分)求函數(shù)f(x)＝的極值．
10．(14分)(2010·秦皇島模擬)已知a為實數(shù)，且函數(shù)f(x)＝(x2－4)(x－a)．
(1)求導函數(shù)f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．
11．(16分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的圖象過點(－1，－6)，且函數(shù)g(x)＝f′(x)＋6x的圖象關于y軸對稱．
(1)求m，n的值及函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若a>0，求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a－1，a＋1)內(nèi)的極值．
答案
15、自主梳理
1．(1)增函數(shù) 減函數(shù) (2)增 減 2.(1)①f′(x)>0 f′(x)<0 ②f′(x)<0 f′(x)>0 (2)②f′(x)＝0 ③f′(x)＝0 極大值 極小值 3.(1)極值 (2)f(a)，f(b)
自我檢測
1．③ 2.(2，＋∞) 3.[－3，＋∞) 4.充要 5.18
課堂活動區(qū)
例1 解題導引 (1)一般地，涉及到函數(shù)(尤其是一些非常規(guī)函數(shù))的單調(diào)性問題，往往可以借助導數(shù)這一重要工具進行求解．函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)區(qū)間，就是不等式f′(x)>0或f′(x)<0在定義域內(nèi)有解．這樣就可以把問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題．
(2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)
16、求參數(shù)問題，通常是解決一個恒成立問題，方法有①分離參數(shù)法，②利用二次函數(shù)中恒成立問題解決．
(3)一般地，可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(或減)函數(shù)的充要條件是：對任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零．特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時，要注意“等號”是否可以取到．
解 (1)當a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，
∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
∵ex>0，∴－x2＋2>0，
解得－
17、數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－，)．
(2)∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，
∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立．
∵f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，
∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立．
∵ex>0，
∴－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立，
即x2－(a－2)x－a≤0對x∈(－1,1)恒成立．
設h(x)＝x2－(a－2)x－a，
只需滿足，解得a≥.
(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，
則f′(x)≤0對x∈R都成立，
即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0對x∈R都成立．
∵ex>0，
18、∴x2－(a－2)x－a≥0對x∈R都成立．
∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，這是不可能的．
故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞減．
若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0對x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈R都成立．
∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0對x∈R都成立．
而x2－(a－2)x－a≤0不可能恒成立，
故函數(shù)f(x)不可能在R上單調(diào)遞增．
綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調(diào)函數(shù)．
變式遷移1 解 (1)由題意得f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
又，
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)由
19、f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－.
又f(x)在(－1,1)上不單調(diào)，
即或
解得或
所以a的取值范圍為(－5，－)∪(－，1)．
例2 解題導引 本題研究函數(shù)的極值問題．利用待定系數(shù)法，由極值點的導數(shù)值為0，以及極大值、極小值，建立方程組求解．判斷函數(shù)極值時要注意導數(shù)為0的點不一定是極值點，所以求極值時一定要判斷導數(shù)為0的點左側(cè)與右側(cè)的單調(diào)性，然后根據(jù)極值的定義判斷是極大值還是極小值．
解 (1)由題意可知f′(x)＝3ax2－b.
于是，解得
故所求的函數(shù)解析式為f(x)＝x3－4x＋4.
(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．
令f′(x)
20、＝0得x＝2或x＝－2，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
因此，當x＝－2時，
f(x)有極大值，
當x＝2時，f(x)有極小值－，
所以函數(shù)的大致圖象如圖，
故實數(shù)k的取值范圍為
(－，)．
變式遷移2 解 (1)f′(x)＝＋2bx＋1，
∴.解得a＝－，b＝－.
(2)f′(x)＝－＋(－)＋1＝－.
函數(shù)定義域為(0，＋∞)，列表
x
(0,1)
1
21、
(1,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
∴x＝1是f(x)的極小值點，x＝2是f(x)的極大值點．
例3 解題導引 設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：
(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值．
(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
當x＝1
22、時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0；①
當x＝時，y＝f(x)有極值，則f′＝0，
可得4a＋3b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝－4，
又切點的橫坐標為x＝1，∴f(1)＝4.
∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，
∴f′(x)＝3x2＋4x－4.
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，
∴f′(x)<0的解集為，即為f(x)的減區(qū)間．
[－3，－2)、是函數(shù)的增區(qū)間．
又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，
∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為.
變式遷移3 解 (1)由題
23、意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.
因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
因為函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，
所以g(－x)＝－g(x)，即對任意實數(shù)x，
有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b
＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，
從而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，
因此f(x)的表達式為f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，
所以g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0，
解得x1＝－，x2＝，
則當x<－或x>時，g′(x)<0，
從而g(x)
24、在區(qū)間(－∞，－)，(，＋∞)上是減函數(shù)；
當－0，
從而g(x)在區(qū)間(－，)上是增函數(shù)．
由前面討論知，g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時取得，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.
因此g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值為g()＝，
最小值為g(2)＝.
課后練習區(qū)
1．(0,1) 2.－37 3.1 4.(0，＋∞)
5．a(chǎn)<－3
解析 ∵y′＝aeax＋3，
由y′＝0得x＝ln(－)，
∴－>0，即a<0.
又∵極值點大于零，即x>0，∴，
得a<－3.
6．1
解析 f′(x)＝x2－2ax＝x(x
25、－2a)＝0?x1＝0，x2＝2a>4，易知f(x)在(0,2)上為減函數(shù)，且f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，由零點判定定理知，在函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋1在區(qū)間(0,2)上恰好有1個零點．
7．②④
解析 觀察函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，由單調(diào)性、極值與導數(shù)值的關系直接判斷．
8．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有兩個不等實根，則Δ＝4m2－12×(m＋6)>0，
∴m>6或m<－3.
9．解 f′(x)＝()′＝，由f′(x)＝0得x＝－2,1.……………(4分)
當x∈(－∞，－2)時f′(x)<0，當x∈(－
26、2,1)時f′(x)>0，故x＝－2是函數(shù)的極小值點，故f(x)的極小值為f(－2)＝－；………………………………………………………………(8分)
當x∈(－2,1)時f′(x)>0，當x∈(1，＋∞)時f′(x)<0，
故x＝1是函數(shù)的極大值點，
所以f(x)的極大值為f(1)＝1.……………………………………………………………(12分)
10．解 (1)由f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
得f′(x)＝3x2－2ax－4.…………………………………………………………………(4分)
(2)因為f′(－1)＝0，所以a＝，
所以f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x
27、2－x－4.
又f′(x)＝0，所以x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，
f(－2)＝0，f(2)＝0，
所以f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值分別為、－.………………………………(14分)
11．解 (1)由函數(shù)f(x)圖象過點(－1，－6)，
得m－n＝－3.①
由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，
得f′(x)＝3x2＋2mx＋n，
則g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n.
而g(x)的圖象關于y軸對稱，
所以－＝0.
所以m＝－3，代入①，得n＝0.…………………………………………………………(5分)
于是f′(x)＝3x2－6x
28、＝3x(x－2)．
由f′(x)>0，得x>2或x<0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)∪(2，＋∞)；
由f′(x)<0，得0
29、……………………………(12分)
由此可得：
當0
【名校資料】高考數(shù)學理一輪資源庫 第3章學案14
