《高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)專項(xiàng) 同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式復(fù)習(xí)課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)專項(xiàng) 同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式復(fù)習(xí)課件（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式1.倒數(shù)關(guān)系倒數(shù)關(guān)系2.商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系3.平方關(guān)系平方關(guān)系tan cot =1sin csc =1cos sec =1sin2 +cos2 =11+tan2 =sec2 1+cot2 =csc2 tan = cot = sin cos cos sin 二、誘導(dǎo)公式二、誘導(dǎo)公式奇變偶不變奇變偶不變, 符號(hào)看象限符號(hào)看象限.3.本質(zhì)本質(zhì) 通過(guò)不相等的兩個(gè)角的同名三角函數(shù)或兩個(gè)互為余函數(shù)通過(guò)不相等的兩個(gè)角的同名三角函數(shù)或兩個(gè)互為余函數(shù)的三角函數(shù)值相等或互為相反數(shù)的三角函數(shù)值相等或互為相反數(shù), 反映了三角函數(shù)的周期性及反映了三角函數(shù)的周期性及各種對(duì)
2、稱性各種對(duì)稱性.1.定義定義2.口訣口訣 用自變量用自變量 的三角函數(shù)表示自變量為的三角函數(shù)表示自變量為 ( (k Z) )的三角的三角函數(shù)的公式叫誘導(dǎo)公式函數(shù)的公式叫誘導(dǎo)公式.2k 1.已知已知 cot( - - )=2, 求求 sin( + )的值的值. 32解解: cot( - - )=2, 又又 cot( - - )=- -cot , cot =- -2. 是第二或第四象限角是第二或第四象限角, 且且 tan =- - . 12cos2 = = . 1+tan2 145又又 sin( + )=- -cos , 32255 , 是第二象限角是第二象限角, 255 , 是第四象限角是第四象
3、限角. - -sin( + )= 32cos = 255 , 是第四象限角是第四象限角. 255 , 是第二象限角是第二象限角, - -典型例題典型例題2.已知已知 cot =m(m 0), 求求 cos . 解解: cot =m(m 0), 角角 的終邊不在坐標(biāo)軸上的終邊不在坐標(biāo)軸上. 若若 是第一或第二象限角是第一或第二象限角, 則則 csc = 1+cot2 = 1+m2 . sin =csc 11+m21= . cos =sin cot = . m 1+m21+m2若若 是第三或第四象限角是第三或第四象限角, 則則 csc =- - 1+cot2 =- - 1+m2 . sin =cs
4、c 11+m21=- - . cos =sin cot =- - . m 1+m2 1+m23.已知已知 sin +cos = (0 ), 求求 tan 的值的值. 23解法解法1 將將已知等式兩邊平方得已知等式兩邊平方得 sin cos =- - 0, 1870 0. 由由 sin cos 0 知知 cos 0. sin - -cos = (sin - -cos )2 = 1- -2sin cos = . 43sin +cos = , sin - -cos = , 4323解方程組解方程組 得得 sin = , cos = . 2 +4 62 - -4 6tan = = . sin cos
5、- -9- -4 27解法解法2 將將已知等式兩邊平方得已知等式兩邊平方得 sin cos =- - 0, 1870 0. 由由 sin cos 0 知知 cos 0. tan = = . sin cos - -9- -4 27sin , cos 是方程是方程 x2- - x- - =0 的根的根, 且且 cos 為小根為小根. 18723cos = , sin = . 2 +4 62 - -4 63.已知已知 sin +cos = (0 ), 求求 tan 的值的值. 23解法解法3 由由已知已知 sin , , cos 成等差數(shù)列成等差數(shù)列, 設(shè)其公差為設(shè)其公差為 d, 則則26sin =
6、 - -d, 26cos = +d. 26由由 sin2 +cos2 =1得得: ( - -d)2+( +d)2=1. 2626解得解得 d=- - 或或 . 2323tan = = . sin cos - -9- -4 27cos = , sin = . 2 +4 62 - -4 6當(dāng)當(dāng) d= 時(shí)時(shí), sin = 0, 與與 0 0 矛盾矛盾, 232 - -4 6d=- - . 233.已知已知 sin +cos = (0 ), 求求 tan 的值的值. 234.已知已知 f( )= . (1)化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) f( ); sin( - - )cos(2 - - )tan(- - + ) 32co
7、t(- - - - )sin(- - - - ) (2)若若 是第三象限角是第三象限角, 且且 cos( - - )= , 求求 f( ) 的值的值; 3215(3)若若 =- - , 求求 f( ) 的值的值; 331解解: (1)f( )=sin cos cot - -cot sin =- -cos ; (2)cos( - - )=- -sin , 32由已知可得由已知可得 sin =- - . 15 是第三象限角是第三象限角, cos 0. cos =- - 1- -sin2 =- -256 . 256f( )=- -cos = . (3) =- - =- -6 2 + , 33153f
8、(- - )=- -cos(- - )33133153=- -cos(- -6 2 + )=- -cos 53=- -cos =- - . 123 5.已知已知 0 , tan +cot = , 求求sin( - - )的值的值.522 2 2 3 解解: tan +cot = , 2 2 sin 2由已知可得由已知可得 sin = . 450 ,2 cos = 1- -sin2 35 = .sin( - - )=sin cos - -cos sin 3 3 3 = - - 12354532= (4- -3 3 ). 1016.已知已知 為銳角為銳角, 且且 tan = , 求求 的值的值.s
9、in2 cos - -sin sin2 cos2 12解解: tan = , 12又又 為銳角為銳角, 1+tan2 1cos2 = = . 45cos = . 52原式原式= 2sin cos2 - -sin 2sin cos cos2 sin cos2 2sin cos cos2 =1 2cos = . 54 7.已知已知 tan( - - )=2, 求求: (1) ; (2)2sin(3 + )cos( + )+sin( - - )sin( - - ). 4cos2 - -3sin2 +1 sin2 - -2sin cos - -cos2 3252解解: (1)tan( - - )=2,
10、 又又 tan( - - )=- -tan , tan =- -2. 原式原式= 5cos2 - -2sin2 sin2 - -2sin cos - -cos2 1+tan2 2tan2 - -tan =5- -2tan2 tan2 - -2tan - -1 =- - . 73(2)由由(1)知知 tan =- -2, 原式原式=2(- -sin )(- -sin )+(- -cos )sin =2sin2 - -sin cos =cos2 (2tan2 - -tan ) =2. 8.角角 的終邊上的點(diǎn)的終邊上的點(diǎn) P 與與 A(a, b) 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱( (a 0, b 0)
11、), 角角 的終邊上的點(diǎn)的終邊上的點(diǎn) Q 與與 A 點(diǎn)關(guān)于直線點(diǎn)關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱對(duì)稱, 求求 sin sec +tan cot +sec csc 的值的值.解法解法1 依題意依題意 P(a, - -b), Q(b, a), 設(shè)設(shè) r= a2+b2 , 則則: sin =- - , sec = , tan =- - , cot = , sec = , csc = .brrbbabarara原式原式=- - +(- - ) + brrbbabarara=- -1- - + =0.a2+b2 a2b2a2解法解法2 依題意依題意 - - =2k + (k Z), 即即 =2k + + . 2
12、2 原式原式=sin +tan cot(2k + + )+ cos(2k + + )2 12 cos 1sin(2k + + )2 1=sin +tan (- -tan )+ - -sin 1cos 1cos 1=- -1- -tan2 +sec2 =0. 課后練習(xí)課后練習(xí)1.已知已知 sin +sin2 =1, 求求 cos2 +cos4 的值的值. 解解: 由由 sin +sin2 =1 得得 sin =1- -sin2 =cos2 . cos2 +cos4 =sin +sin2 =1. 2.已知已知 cos = (m- -1), 求求 sin , cot . m2+12m 解解: 由已知
13、由已知 cos 0, 角角 的終邊在第二或第三象限或?yàn)榈慕K邊在第二或第三象限或?yàn)?x 軸的非正半軸軸的非正半軸. 當(dāng)當(dāng)角角 的終邊在第二象限或?yàn)榈慕K邊在第二象限或?yàn)?x 軸的非正半軸軸的非正半軸時(shí)時(shí), sin = 1- -cos2 = , m2+1 m2- -1 2m tan = = . sin cos m2- -1 當(dāng)當(dāng)角角 的終邊在第三象限的終邊在第三象限時(shí)時(shí), sin =- - 1- -cos2 = , 1+m2 1- -m2 2m tan = = . sin cos 1- -m23.設(shè)設(shè) sin , cos 是方程是方程 2x2- -( 3 +1)x+m=0 的兩根的兩根, 求求: (
14、1) + 及及 m 的值的值; (2)方程兩根方程兩根 sin , cos 及此時(shí)及此時(shí) 的值的值.1- -cot sin 1- -tan cos 解解: (1)由已知由已知 sin +cos = , sin cos = . 3 +1 22m1- -cot sin 1- -tan cos + = + 1- - sin 1- - cos cos sin sin cos = cos - -sin cos2 - -sin2 = +cos - -sin cos2 sin - -cos sin2 =sin +cos = . 3 +1 2(sin +cos )2=1+2sin cos , 2m( )2=1
15、+2 . 3 +1 2解得解得 m= . 32解解: (2)由由(1)知知原方程為原方程為 2x2- -( 3 +1)x+ =0. 32 =2k + 或或 =2k + (k Z). 3 6 3.設(shè)設(shè) sin , cos 是方程是方程 2x2- -( 3 +1)x+m=0 的兩根的兩根, 求求: (1) + 及及 m 的值的值; (2)方程兩根方程兩根 sin , cos 及此時(shí)及此時(shí) 的值的值.1- -cot sin 1- -tan cos 解得解得 x1= , x2= . 1232sin = , cos = , 12sin = , cos = , 12 或或32325.已知已知 tan( -
16、 - )=a2, |cos( - - )|=- -cos , 求求 sec( + ) 的值的值; 4.已知已知 cos( - - )=a(|a|1), 求求 cos( + )+sin( - - ) 的值的值; 566 23解解: cos( - - )=a(|a|1), 6 cos( + )=cos - -( - - ) 566 =- -cos( - - )=- -a, 6 =cos( - - )=a, 6 sin( - - )=sin +( - - ) 236 2 cos( + )+sin( - - )5623=- -a+a=0. 解解: tan( - - )=a2, 又又 tan( - -
17、)=- -tan , tan =- -a2. |cos( - - )|=- -cos , 又又 |cos( - - )|=|cos |, |cos |=- -cos . cos 0. sec( + )=- - cos 1= 1+tan2 = 1+a4 . 6.若若 + =0, 試判斷試判斷 cos(sin ) sin(cos ) 的的符號(hào)符號(hào); 1- -cos2 sin 1- -sin2 cos |cos | sin |sin | cos 解解: 由已知由已知 + =0, sin 與與 cos 異號(hào)異號(hào). 是第二或第四象限角是第二或第四象限角. 當(dāng)當(dāng) 是第二象限角時(shí)是第二象限角時(shí), - -1c
18、os 0, 0sin 1. sin(cos )0. cos(sin ) sin(cos )0. 故故 cos(sin ) sin(cos ) 的符號(hào)為的符號(hào)為“ + ”號(hào)號(hào).- - - -1, 1 ,2 2 - - cos 0, 0sin . 2 2 解解: 是第二象限角是第二象限角, 7.已知已知 sin = , cos = , 若若 是第二象限角是第二象限角, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的值的值. 1+a 3a- -1 1+a 1- -a 0sin 1, - -1cos 0. 1+a 3a- -1 1+a 1- -a 0 1, - -1 0, 解得解得 0a . 13又又 sin2 +cos2 =
19、1, 1+a 3a- -1 1+a 1- -a ( )2+( )2=1. 整理得整理得 9a2- -10a+1=0. 解得解得 a= 或或 a=1(舍去舍去). 19故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù) a 的值為的值為 . 19 8.在在 ABC 中中, sinA+cosA= , AC=2, AB=3, 求求 tanA 的值的值和和 ABC 的面積的面積.22解解: =sinA+cosA= 2 sin(A+45), 22sin(A+45)= . 120A180, A=105, tanA=tan105=tan(45+60)= 1+ 31- - 3=- -2- - 3 . sinA=sin105=sin(45+60)=
20、sin45cos60+cos45sin6012 ABC 的面積的面積 SABC = AC ABsinA 2+ 6 4= 2 3 12= ( 2+ 6 ). 342+ 6 4= . 補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題1.已知已知 cotx=m, x (2k - - , 2k ) (k Z), 求求 cosx 的值的值. (2)已知已知 tan =2, 求求 sin cos 的值的值; (3)已知已知 sin +cos = , 求求 cos4 +sin4 的值的值. 123.已知已知 sin , cos 是方程是方程 x2+px+p+1=0 的兩根的兩根, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) p 的值的值. 5.設(shè)設(shè) f( )=sin(
21、cos ), g( )=cos(sin ), (1)若若 f( )g( )0, 求角求角 的的取值范圍取值范圍; (2)設(shè)設(shè) 0 , 若若 f( ) 的最大值、最小值分別是的最大值、最小值分別是 a、b, g( ) 的最大值、最小值分別是的最大值、最小值分別是 c、d, 試比較試比較 a, b, c, d 的大小的大小.1+m2 1+m2 m- -253223- -1 2k - - 2k (k Z) 3 2 2 (1)2k + 2k + (k Z); (2)bdac. 2.(1)已知已知 tan = 2 , 求求 2sin2 - -sin cos +cos2 的值的值; 35- - 24.若若 =cot - -csc , 求求 的取值范圍的取值范圍. 1- -cos 1+cos
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