學(xué)案10 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

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1、1.1.掌握三角函數(shù)的圖象及其變換掌握三角函數(shù)的圖象及其變換. .2.2.靈活掌握三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期靈活掌握三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期 性性. .3.3.理解三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性（軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)理解三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性（軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì) 稱(chēng)）稱(chēng)）. .4.4.會(huì)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并能利用單調(diào)性求三角會(huì)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并能利用單調(diào)性求三角 函數(shù)的最值函數(shù)的最值. . 學(xué)案學(xué)案10 10 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(20091.(2009安徽安徽) )已知函數(shù)已知函數(shù) ( 0),( 0),y y= =f f( (x x) )的圖象與直線(xiàn)的圖

2、象與直線(xiàn)y y=2=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距 離等于離等于 , ,則則f f( (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 （ ）解析解析 因?yàn)楹驗(yàn)楹痁kkkDZkkkCZkkkBZkkkA,32,6.,6,3.,1211,125.,125,12.xxxfcossin3)(. )6sin(2cossin3)(xxxxf 數(shù)數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象與的圖象與y y=2=2的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離為 , ,故故 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )的周期為的周期為 , ,所以所以 答案答案 C C.2,2即. )(63,322322

3、226222. )62sin(2)(Zkkxkkxkkxkxxf即得令所以2.(20092.(2009全國(guó)全國(guó))如果函數(shù)如果函數(shù)y y=3cos(2=3cos(2x x+ )+ )的圖象關(guān)的圖象關(guān) 于點(diǎn)于點(diǎn) 中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng), ,那么那么 的最小值為的最小值為 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D.解析解析 由由y y=3cos(2=3cos(2x x+ )+ )的圖象關(guān)于點(diǎn)的圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng) 知知, , )0 ,34()0 ,34(.6|3822|, )(382, )(238,0)38cos(3, 0)34(的最小值為即ZkkZkkf|A A64323.(20093

4、.(2009四川四川) )已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=sin()=sin(x x - )(- )(x xR),R),下下 面結(jié)論錯(cuò)誤的是面結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ ） A.A.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的最小正周期為的最小正周期為 B.B.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上是增函數(shù)上是增函數(shù) C.C.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x x=0=0對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) D.D.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù)解析解析 y y=sin(=sin(x x - )=-cos - )=-cos x x,T T= ,A= ,A正確正確; ; y y=c

5、os =cos x x在在 上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，y y=-cos =-cos x x在在 上上 是增函數(shù)，是增函數(shù)，B B正確；正確； 由圖象知由圖象知y y=-cos =-cos x x關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x x=0=0對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)，C C正確正確; ; y y=-cos =-cos x x是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，D D錯(cuò)誤錯(cuò)誤. . 222, 022, 02, 02D D4.(20094.(2009山東山東) )將函數(shù)將函數(shù)y y=sin 2=sin 2x x的圖象向左平移的圖象向左平移 個(gè)個(gè) 單位，再向上平移單位，再向上平移1 1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式 是是

6、（ ） A.A.y y=cos 2=cos 2x x B.B.y y=2cos=2cos2 2x x C. C.y y=1+sin(2=1+sin(2x x+ ) D.+ ) D.y y=2sin=2sin2 2x x解析解析 將函數(shù)將函數(shù)y y=sin 2=sin 2x x的圖象向左平移的圖象向左平移 個(gè)單位，得個(gè)單位，得 到函數(shù)到函數(shù)y y=sin 2(=sin 2(x x+ ),+ ),即即y y=sin(2=sin(2x x+ )=cos 2+ )=cos 2x x的圖的圖 象，再向上平移象，再向上平移1 1個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為 y y=1+co

7、s 2=1+cos 2x x=2cos=2cos2 2x x, ,故選故選B. B. 44442B B題型一題型一 三角函數(shù)圖象及其變換三角函數(shù)圖象及其變換【例【例1 1】已知函數(shù)】已知函數(shù) 為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,且函數(shù)且函數(shù)y y= =f f( (x x) )圖象的兩相圖象的兩相 鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為 （1 1）求）求 的值；的值；（2 2）將函數(shù)）將函數(shù)y y= =f f( (x x) )的圖象向右平移的圖象向右平移 個(gè)單位后個(gè)單位后, ,再將再將 得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4 4倍，縱坐倍，縱坐 標(biāo)不變，得到函數(shù)標(biāo)不變，得到函

8、數(shù)y y= =g g( (x x) )的圖象的圖象, ,求求g g( (x x) )的單調(diào)遞減的單調(diào)遞減 區(qū)間區(qū)間. . )cos()sin(3)(xxxf)0,0()8(f6.2解解 因?yàn)橐驗(yàn)閒 f( (x x) )為偶函數(shù)，為偶函數(shù)， 所以對(duì)所以對(duì)x xR,R,f f(-(-x x)=)=f f( (x x) )恒成立，恒成立， 因?yàn)橐驗(yàn)?0,0,且且x xRR，所以，所以. )6sin(2)cos(21)sin(23 2)cos()sin(3)() 1 (xxxxxxf.0)6cos(sin, )6sin(cos)6cos(sin)6sin(cos)6cos(sin. )6sin()6s

9、in(xxxxxxx整理得即因此.0)6cos(2)(2)將將f f( (x x) )的圖象向右平移的圖象向右平移 個(gè)單位后個(gè)單位后, ,得到得到 的圖象的圖象, ,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的 4 4倍，縱坐標(biāo)不變，得到倍，縱坐標(biāo)不變，得到 的圖象的圖象. . ( (k kR) R) .24cos2)8(.2cos2)(.2,222.cos2)2sin(2)(.26,0fxxfxxxf因此故所以由題意得所以故又因?yàn)?)6(xf)64(xfkxkxxxfxg2322. )32cos(2)64(2cos2)64()(當(dāng)所以即即 ( (k kZ)Z)

10、時(shí)時(shí), ,g g( (x x) )單調(diào)遞減單調(diào)遞減. .因此因此g g( (x x) )的單調(diào)遞減區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為 ( (k kZ).Z).【探究拓展探究拓展】在用圖象變換作圖時(shí)，提倡先平移后伸】在用圖象變換作圖時(shí)，提倡先平移后伸 縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)在考題中縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)在考題中,因此必須因此必須 熟練掌握，切記：無(wú)論怎樣變換，都是對(duì)變量熟練掌握，切記：無(wú)論怎樣變換，都是對(duì)變量“x x” 而言，即圖象變換要看而言，即圖象變換要看“變量變量”有多大變化有多大變化,而不是而不是“角角”變化多少變化多少. 384324kxk384 ,324kk變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1 1 已

11、知函數(shù)已知函數(shù) (1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的最小正周期及最值；的最小正周期及最值； (2)(2)令令g g( (x x)=)=f f( (x x+ ),+ ),判斷函數(shù)判斷函數(shù)g g( (x x) )的奇偶性的奇偶性, ,并說(shuō)明并說(shuō)明 理由理由. .解解 f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )取得最小值取得最小值-2-2； 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )取得最大值取得最大值2. 2. .34sin324cos4sin2)(2xxxxf3. )32sin(22cos32sin)4sin21 (32sin)() 1 (

12、2xxxxxxf.4212T1)32sin(x1)32sin(x(2)(2)由由(1)(1)知，知，f f( (x x)=2sin )=2sin 函數(shù)函數(shù)g g( (x x) )是偶函數(shù)是偶函數(shù). . . )32(x. )(2cos2)2cos(2)(.2cos2)22sin(23)3(21sin2)(. )3()(xgxxxgxxxxgxfxg又題型二題型二 三角函數(shù)圖象及解析式三角函數(shù)圖象及解析式【例【例2 2】已知函數(shù)】已知函數(shù) x xRR 的最大值是的最大值是1 1，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1)(1)求求f f( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)已知已知解解（1

13、1）依題意有）依題意有A A=1,=1,則則 將點(diǎn)將點(diǎn) 代入得代入得, )0 , 0)(sin()(AxAxf. )21,3(M, )sin()(xxf)21,3(M,21)3sin(.cos)2sin()(,2,653,0minxxxf故而.)(,1312)(,53)(, )2, 0(,的值求且fff【探究拓展探究拓展】確定三角函數(shù)】確定三角函數(shù) 的解析式的解析式 時(shí)時(shí), ,往往利用待定系數(shù)法往往利用待定系數(shù)法, ,根據(jù)條件求得根據(jù)條件求得 的值的值, , 進(jìn)而確定所求三角函數(shù)的解析式進(jìn)而確定所求三角函數(shù)的解析式. . .655613554131253sinsincoscos)cos()(,

14、135)1312(1sin,54)53(1sin22f)sin(xAy,A, )2, 0(,1312cos,53cos)2(而由題意有變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2 2 已知函數(shù)已知函數(shù) g g( (x x)=cos )=cos x xf f(sin(sinx x) ) +sin +sin x xf f(cos (cos x x),), (1)(1)將函數(shù)將函數(shù)g g( (x x) )化簡(jiǎn)成化簡(jiǎn)成 的形式；的形式；(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)g g( (x x) )的值域的值域. .解解 |cos |cos x x|=-cos |=-cos x x,|sin ,|sin x x|=-sin |=-sin x

15、x. .,11)(tttf. 1217,(x, 0, 0()sin(ABxA,|sin|cos1sin|cos|sin1cossin)cos1 (sincos)sin1 (coscos1cos1sinsin1sin1cos)() 1 (2222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxg,1217,(x)2, 0.2)4sin(22cossinsincos1sincossin1cos)(xxxxxxxxxxg).322)(,32)4sin(222,22)4sin(1).1217,(45sin)4sin(23sin,45sin35sin35,23(23,45(sin.35445,1217)2(，xg

16、xxxx，txx的值域?yàn)楣始从稚蠟樵龊瘮?shù)在上為減函數(shù)在得由題型三題型三 三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性三角函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性【例【例3 3】(2009(2009重慶重慶) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)(1)(1)求求f f( (x x) )的最小正周期的最小正周期; ;(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)y y= =g g( (x x) )與與y y= =f f( (x x) )的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x x=1=1對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), , 求當(dāng)求當(dāng) 時(shí)，時(shí)，y y= =g g( (x x) )的最大值的最大值. .解解故故f f( (x x) )的最小正周期為的最小正周期為.18cos2)64sin()(2xxxf34, 0 x, )

17、34sin(34cos234sin234cos6sin4cos6cos4sin)() 1 (xxxxxxxf.842T(2)(2)在在y y= =g g( (x x) )的圖象上任取一點(diǎn)的圖象上任取一點(diǎn)( (x x, ,g g( (x x),),它關(guān)于它關(guān)于x x=1=1的的 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2-2-x x, ,g g( (x x).). 由題設(shè)條件由題設(shè)條件, ,點(diǎn)點(diǎn)(2-(2-x x, ,g g( (x x)在在y y= =f f( (x x) )的圖象上，的圖象上， 從而從而g g( (x x)=)=f f(2-(2-x x) ).233cos3)3()(34, 0)(,32343,

18、340. )34cos(3)342sin(33)2(4sin3maxgxgxgyxxxxx上的最大值為在區(qū)間因此時(shí)當(dāng)【探究拓展探究拓展】對(duì)于正弦函數(shù)】對(duì)于正弦函數(shù) 或余弦函或余弦函 數(shù)數(shù) 來(lái)說(shuō)，以下性質(zhì)在解題中起著重來(lái)說(shuō)，以下性質(zhì)在解題中起著重 要的作用：要的作用：函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)軸上取到最大（最小）函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)軸上取到最大（最?。?值，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半個(gè)周期；值，相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是半個(gè)周期；圖圖 象與象與x x軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心，相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心，相鄰兩對(duì)稱(chēng)中心之間 的距離是半個(gè)周期的距離是半個(gè)周期. . )sin(xAy)cos(xAy變式訓(xùn)練變式訓(xùn)

19、練3 3 函數(shù)函數(shù) 的圖象為的圖象為C C，如下，如下 結(jié)論中正確的是結(jié)論中正確的是_(_(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)).).圖象圖象C C關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)；圖象圖象C C關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)；對(duì)稱(chēng)；函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)是增函數(shù)；內(nèi)是增函數(shù)；由由y y=3sin 2=3sin 2x x的圖象向右平移的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得個(gè)單位長(zhǎng)度可以得 到圖象到圖象C C. .解析解析 為對(duì)稱(chēng)軸；為對(duì)稱(chēng)軸； )32sin(3)(xxf1211x)0 ,32()125,12(3,323sin3)3611sin(3)1211(f1211x 為為f

20、f（x x）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心；）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心；由于函數(shù)由于函數(shù)y y=3sin =3sin x x在在 內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增，故函數(shù)故函數(shù)f f( (x x) )在在 內(nèi)單調(diào)遞增；內(nèi)單調(diào)遞增； 由由y y=3sin 2=3sin 2x x的圖象向右平移的圖象向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) 的圖象，得不到圖象的圖象，得不到圖象C C. .答案答案 , 0sin3)334sin(3)32(f)0 ,32(,232212512xx)2,2()125,12(, )6(2sin3)(xxf3)3(2sin3)(xxf題型四題型四 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合

21、應(yīng)用【例【例4 4】已知函數(shù)】已知函數(shù) 試求：試求：(1)(1)函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程的最小正周期和圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程; ;(2)(2)函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的值域上的值域. .解解（1 1） = cos 2 = cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x+(sin +(sin x x-cos -cos x x)(sin )(sin x x+cos +cos x x) ) = cos 2 = cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x+sin+sin2 2 x x-cos-cos2 2 x x = cos 2 =

22、cos 2x x+ sin 2+ sin 2x x-cos 2-cos 2x x= =. )4sin()4sin(2)32cos()(xxxxf2,12)4)(4sin(2)32cos()(xxxxf212321232123. )62sin(x (kZ) (kZ) 函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為 (kZ).32,262.22kxkxT得由周期32kx,21)2(23)12(, 1)(,3,2,3,3,12)62sin()(. 65,362,2,12)2(ffxfxxxfxx又取得最大值時(shí)當(dāng)上單調(diào)遞減在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間【探究拓展探究拓展】求三角函數(shù)的值域通常利用三角函數(shù)的】求三角函數(shù)的值域通常利用三

23、角函數(shù)的 單調(diào)性求解單調(diào)性求解; ;對(duì)形如對(duì)形如y y= =a asin sin x x+ +b bcos cos x x的三角函數(shù)的三角函數(shù), ,可可 通過(guò)引入輔助角化為通過(guò)引入輔助角化為 的形式，的形式， 則則 ( (k kZ);Z); ( (k kZ)Z)，也可，也可 借助三角函數(shù)的單調(diào)性求解借助三角函數(shù)的單調(diào)性求解. . . 1 ,232,12)(.23)(,12上的值域?yàn)樵诤瘮?shù)取得最小值時(shí)當(dāng)xfxfx)sin(22xbaykxbay22,22max此時(shí)kxbay22,22min此時(shí)變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4 4 已知已知 ( (a aR).R). (1) (1)若若x xR,R,求求f f(

24、 (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間；的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)(2)若若x x0, 0, 時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )的最大值為的最大值為4,4,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)a a的值的值. .解解 ( (k kZ)Z) f f( (x x) )的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 ( (k kZ)Z) 當(dāng)當(dāng)x x= = 時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )取得最大值取得最大值a a+3.+3. 則由條件有則由條件有a a+3=4,+3=4,得得a a=1. =1. 2axxxf2sin3cos2)(21)62sin(22sin312cos2sin3cos2)(2axaxxaxxxf因63,226222) 1 (kx

25、kkxk得令6,3kk,67626,2, 0)2(xx若6【考題再現(xiàn)】【考題再現(xiàn)】(2009(2009陜西陜西) )已知函數(shù)已知函數(shù) x xR(R(其中其中 A A0, )0, )的周期為的周期為 , ,且圖象上一個(gè)最低且圖象上一個(gè)最低 點(diǎn)為點(diǎn)為 (1)(1)求求f f( (x x) )的解析式；的解析式； (2)(2)當(dāng)當(dāng)x x 時(shí)，求時(shí)，求f f( (x x) )的最值的最值. .【解題示范解題示范】（1 1）由最低點(diǎn)為）由最低點(diǎn)為 得得A A=2.=2. 2 2分分 由由 3 3分分),sin()(xAxf20 , 0. )2,32(M12,0)2,32(M.222,TT得 ( (k k

26、Z) Z) 5 5分分 8 8分分 當(dāng)當(dāng) 即即x x=0=0時(shí)時(shí), ,f f( (x x) )取得最小值取得最小值1 1； 1010分分 當(dāng)當(dāng) 即即 時(shí)，時(shí)，f f( (x x) )取得最大值取得最大值 1212分分 . )62sin(2)(,6),2, 0(,6112,2234.1)34sin(,2)34sin(2)2,32(xxfkkM又即即在圖象上得由點(diǎn). 3,662, 12, 0)2(xx,662x,362x12x.31.1.在解答三角函數(shù)在解答三角函數(shù)y y=sin =sin x x變換為變換為 的圖象時(shí)的圖象時(shí), ,平移變換一定要弄清楚平移的方向和長(zhǎng)度平移變換一定要弄清楚平移的方向

27、和長(zhǎng)度 單位單位, ,向左向左( (右右) )平移平移 個(gè)單位個(gè)單位, ,橫向拉長(zhǎng)橫向拉長(zhǎng)( (壓縮壓縮) )為原為原 來(lái)的來(lái)的 倍倍, ,再縱向拉伸再縱向拉伸( (壓縮壓縮) )為原來(lái)的為原來(lái)的| |A A| |倍倍, ,向上向上 ( (下下) )平移平移| |m m| |個(gè)單位個(gè)單位. .牢記牢記“左加右減左加右減, ,上加下減上加下減”. .2.2.三角函數(shù)三角函數(shù) 的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x x= =x xk k對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), , 其中其中 ( (k kZ);Z);關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)( (x xi i,0),0)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), ,其中其中 ( (k kZ).Z).3.3.在解答三角函數(shù)的最值、單

28、調(diào)性、奇偶性、周期性在解答三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性mxAy)sin()sin(xAy|1|)2(1kxk)(1kxi的問(wèn)題時(shí)的問(wèn)題時(shí), ,通常是將三角函數(shù)化為只含一個(gè)函數(shù)名稱(chēng)通常是將三角函數(shù)化為只含一個(gè)函數(shù)名稱(chēng)且角度唯一且角度唯一, ,最高次數(shù)為一次的形式最高次數(shù)為一次的形式, ,即即 若給定區(qū)間若給定區(qū)間x xa a, ,b b 上上, ,則最大則最大( (小小) )值、單調(diào)區(qū)間隨之確定值、單調(diào)區(qū)間隨之確定; ;若定義域關(guān)于若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), ,且且 是奇是奇函數(shù)函數(shù); ;若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng), ,且且 是偶函數(shù)是偶函數(shù); ;其周期為其周期為xA

29、ysin(, )2 , 0, 0, 0,)Am 其中mxAymk)sin(, 0,則則, 0,2mkmxAy)sin(.2T一、選擇題一、選擇題1.(20091.(2009湖南湖南) )將函數(shù)將函數(shù)y=sin y=sin x x的圖象向左平移的圖象向左平移 個(gè)單位后，得到函數(shù)個(gè)單位后，得到函數(shù) 的圖象的圖象, , 則則 等于等于 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D.解析解析 由圖象平移的性質(zhì)易得，由圖象平移的性質(zhì)易得，)20()6sin(xy66116765.611D D2.2.（20092009天津）已知函數(shù)天津）已知函數(shù) ( (x xR,R, 的最小正周期為的最小正周期為

30、, ,為了得到函數(shù)為了得到函數(shù) 的圖象的圖象, ,只要將只要將y y= =f f( (x x) )的圖象的圖象 （ ） A.A.向左平移向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度 B.B.向右平移向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度 C.C.向左平移向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度 D.D.向右平移向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度解析解析 由題意可知，由題意可知，)4sin()(xxf)0 xxgcos)(8844,2,2. 4)8(2sin)22sin(2cos)(),42sin()(xxxxgxxf而即A A3.(20093.(2009浙江浙江) )已知已知a a是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,則函數(shù)則函數(shù)f f( (x x

31、)=1+)=1+a asin sin axax 的圖象不可能是的圖象不可能是 （ ） 解析解析 因?yàn)槿呛瘮?shù)的周期為因?yàn)槿呛瘮?shù)的周期為|a a| |1, 1, 而而D D不符合要求不符合要求, ,它的振幅大于它的振幅大于1,1,但周期反而大于了但周期反而大于了,|2aT,2T.2D D4.4.將函數(shù)將函數(shù) 的圖象的圖象F F按向量按向量 平移得到平移得到 圖象圖象F F,若若F F的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) 的一個(gè)的一個(gè) 可能取值是可能取值是 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 將函數(shù)將函數(shù) 的圖象按向量的圖象按向量 平移平移 得到的圖象的解析式為得到的

32、圖象的解析式為 由由 是一條對(duì)稱(chēng)軸得是一條對(duì)稱(chēng)軸得 ( (k kZ).Z). 當(dāng)當(dāng)k k=-1=-1時(shí)，時(shí)，)sin(3xy)3 ,3(則,4x)sin(3xy)3 ,3(.3)3sin(3xy4x234k.12512512512111211A A5.5.已知函數(shù)已知函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的 最小值是最小值是-2-2，則，則 的最小值等于的最小值等于 （ ） A. B. C.2 D.3A. B. C.2 D.3解析解析 函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的上的 最小值是最小值是-2-2，則，則 的取值范圍是的取值范圍是 的最小值等于的最小值等于)0(sin2)(xxf4,33223)0(sin2)

33、(xxf4,3x,4,3,23423或.23B B6.6.已知函數(shù)已知函數(shù)f f( (x x)=)=a asin sin x x- -b bcos cos x x ( (a a、b b為常數(shù)，為常數(shù)，a a0,0, x xRR）在）在 處取得最小值，則函數(shù)處取得最小值，則函數(shù) 是是 （ ） A.A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) B.B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) C.C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) D.D.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)解析解析 函數(shù)函數(shù)f f( (x x)=)=a asi

34、n sin x x- -b bcos cos x x( (a a、b b為常數(shù)為常數(shù), ,a a0,0, x xR),R),f f( (x x)= )= 若函數(shù)若函數(shù) 在在 處取得最小值，處取得最小值， 4x)43(xfy)0 ,()0 ,23()0 ,23()0 ,(,2)sin(22的周期為xba4x.)0 ,()43(,sin)sin()4343sin()43(),43sin()432sin()(,432,224,)4sin(22222222222222對(duì)稱(chēng)于點(diǎn)是奇函數(shù)且它的圖象關(guān)所以xfyxbaxbaxbaxfxbakxbaxfkkbaba二、填空題二、填空題7.(20097.(200

35、9江蘇江蘇) )函數(shù)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上的圖象如圖所示上的圖象如圖所示, ,則則解析解析 由圖象可知，由圖象可知，,)(sin(為常數(shù)AxAy)0, 0A0 ,._,32,23TT即. 3,322所以則T3 38.8.已知已知x x, ,y y是實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足是實(shí)數(shù)且滿(mǎn)足sin sin x xcos cos y y=1,=1,則則 cos(cos(x x+ +y y)=_.)=_.解析解析 sin sin x xcos cos y y=1,=1, sin sin x x=cos =cos y y=1=1或或sin sin x x=cos =cos y y=-1,=-1, ( (k kZ),Z

36、), ( (k kZ),Z),于是于是cos(cos(x x+ +y y)=0. )=0. kykx,2即22kyx0 09.9.已知函數(shù)已知函數(shù) 的最大值為的最大值為3,3,f f( (x x) )的圖象在的圖象在y y軸上的截距為軸上的截距為2,2,且相鄰且相鄰 兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為1 1，則，則f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(2 010)(2 010) =_. =_.解析解析 從而從而f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(2 010)=2(2 010)=22 010=4 020. 2 010=4 020. )22, 0, 0( 1)(co

37、s)(2AxAxf,sin2,4,22, 2)0(,2, 222, 2, 3122,12)(2cos2)(xyfAAAAxAxf所以則因則又所以由題意得因?yàn)?020402010.10.已知已知 且且f f( (x x) )在區(qū)在區(qū) 間間 上有最小值，無(wú)最大值，則上有最小值，無(wú)最大值，則解析解析 如圖所示，如圖所示， 又又f f( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間 內(nèi)只有最小值、無(wú)最大值，內(nèi)只有最小值、無(wú)最大值，f f( (x x) )在在 處取得最小值處取得最小值. . （k kZ） ),3()6(),0)(3sin()(ffxxf)3,6(._),3sin()(xxf),3()6(ff且)3,6(

38、42362234k （k kZ Z） 答案答案 3108 k.314.)3,6(338310162;3143108,1, 0故內(nèi)已存在最大值此時(shí)在區(qū)間時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)，kk314三、解答題三、解答題11.11.已知函數(shù)已知函數(shù)(1)(1)若若 求求 的值的值; ;(2)(2)在在(1)(1)的條件下的條件下, ,若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x) )的圖象的相鄰兩條對(duì)的圖象的相鄰兩條對(duì) 稱(chēng)軸之間的距離等于稱(chēng)軸之間的距離等于 , ,求函數(shù)求函數(shù)f f( (x x) )的解析式；并的解析式；并 求最小正實(shí)數(shù)求最小正實(shí)數(shù)m m，使得函數(shù)，使得函數(shù)f f( (x x) )的圖象向左平移的圖象向左平移m m個(gè)個(gè)

39、單位長(zhǎng)度后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)單位長(zhǎng)度后所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù). .解解.2| , 0),sin()(其中xxf,0sin43sincos4cos3.4,2|. 0)4cos(, 0sin4sincos4cos0sin43sincos4cos) 1 (又即得 .12,),(123, )(243)(. 4)( 3sin)()(mZkkmZkkmxgmxxgmxf最小正實(shí)數(shù)從而而是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)為個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)的函的圖象向左平移函數(shù). )43sin()(, 3,2.32),4sin()(,) 1 ()2(xxfTT，xxf故又依題意得由12.12.如圖所示如圖所示, ,函數(shù)函數(shù) 的圖象與的圖象與

40、y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)(0, ),(0, ),且且在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為-2.-2. (1) (1)求求 的值；的值； (2)(2)已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A( ,0),( ,0),點(diǎn)點(diǎn)P P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn), ,點(diǎn)點(diǎn)Q Q ( (x x0 0, ,y y0 0) )是是PAPA的中點(diǎn)的中點(diǎn), ,當(dāng)當(dāng)y y0 0= = 時(shí)時(shí), ,求求x x0 0的的 值值. . )cos(2xy和2,2,230 x3解解 (1)(1)將將x x=0,=0,y y= = 代入函數(shù)代入函數(shù))cos(2xy).62cos(2, 2,6, 2| ),sin(2.6,20,23cos0 xyyxyx因此所以又因?yàn)樗砸驗(yàn)榈?.4332.613654611654,61965467,2.23)654cos(,)62cos(2).322(,23,),(),0 ,2()2(00000000000 xxxxxxxxyPxPyPAyxQA或即或從而得所以因?yàn)樗缘膱D象上在又因?yàn)辄c(diǎn)，的坐標(biāo)為所以點(diǎn)的中點(diǎn)是因?yàn)辄c(diǎn)返回