高中數(shù)學(xué) 平面向量基本定理課件 新人教B版必修4

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1、平面向量基本定理平面向量基本定理 2非非零零向向 向向量量 與與量量b ba a共共線線, ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0與與 同向，同向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 0與與 反向，反向，ba且且 是是 的的 倍倍;|b|a|當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 00b ，且，且 .| |0b有有且且只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，使使得得b =b = a.a.向量共線充要條件向量共線充要條件復(fù)習(xí)復(fù)習(xí):3ab向量的加法：OBCAabOAaBbbaba平行四邊形法則平行四邊形法則三角形法則三角形法則共起點(diǎn)共起點(diǎn)首尾相接首尾相接4問題：（問題：（1）向量）向量a是否可以用含有是否可以用含有e1、e2的式的式子來

2、表示呢？怎樣表示？子來表示呢？怎樣表示？（2）若向量）若向量a能夠用能夠用e1、e2表示，這種表示表示，這種表示是否唯一？請說明理由是否唯一？請說明理由.引入引入:51e2e OCABMN OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a 1 12 2思思考考：一一個(gè)個(gè)平平面面內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)不不共共線線的的向向量量e e 、 e e 與與該該平平面面 內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量 a a之之間間的的關(guān)關(guān)系系. .新課新課:61e2e OCABMNa OCOMON 如圖111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 71

3、122 +aee 1 11 12 22 2這這就就是是說說平平面面內(nèi)內(nèi)任任一一向向量量a a都都可可以以表表示示成成 e e + + e e 的的形形式式8平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一，有且只有一對實(shí)數(shù)對實(shí)數(shù)a1、a2，使，使 1 122aaaee說明：說明： e1、e2是兩個(gè)不共線的向量；是兩個(gè)不共線的向量； a是平面內(nèi)的任一向量；是平面內(nèi)的任一向量； a1，a2實(shí)數(shù)，唯一確定實(shí)數(shù)，唯一確定.9a1e1+a2e2=xe1+ye2,(xa1)e1+(

4、ya2)e2=0(存在性存在性)(唯一性唯一性)10 我們把不共線向量我們把不共線向量e1，e2叫做這一平面內(nèi)叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組所有向量的一組基底基底，記為，記為e1，e2， a1e1+a2e2叫做向量叫做向量a關(guān)于基底關(guān)于基底e1，e2的分的分解式。解式。11例例1. 已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交的兩條對角線相交于于M，設(shè)，設(shè) ， ，試用基底，試用基底a，b表示表示ABaADb, MA MB MC MD實(shí)例實(shí)例:12例例 2. 已知已知A, B是是l上任意兩點(diǎn)，上任意兩點(diǎn)，O是是l外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，求證：對直線求證：對直線l上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)P，存在實(shí)數(shù)，存在實(shí)

5、數(shù)t，使，使 關(guān)于基底關(guān)于基底 的分解式為的分解式為OP ,OA OB (1).OPt OAtOB 13 根據(jù)平面向量基本定理，同一平面內(nèi)任一根據(jù)平面向量基本定理，同一平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示，再由已向量都可以用兩個(gè)不共線的向量表示，再由已知可得知可得 OPOAAP OAtAB () OAt OBOA(1)OPt OAtOB 即 1()2 OMOAOB特殊地，令特殊地，令t= , 點(diǎn)點(diǎn)M是是AB的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則1214例例3.已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD中中,M,N分別是分別是DC,BC的中點(diǎn)且的中點(diǎn)且 ，用，用 表示表示 . ,AMc ANd , c d ,AB

6、 AD D B C A N M解：設(shè)解：設(shè), ABa ADb1212cbadab 42334233adcbcd 15例例4. 已知向量已知向量 不共線，不共線， 如果向量如果向量 與與 共線共線, 求求 . 12, e e12ee 12ee 解：由已知得解：由已知得1212() eeee所以所以1 解得解得 =1.16 1 1. .在在 A AB BC CD D中中，設(shè)設(shè)A AC C= =a a, ,B BD D= =b b, ,則則A AB B= = , , A AD D= = . .( (用用a a、 b b來來表表示示) )練習(xí)練習(xí):2ab2abBACD1718 （高考實(shí)戰(zhàn)）( (2 2

7、0 00 07 7江江西西) )如如圖圖, ,在在A AB BC C中中, ,點(diǎn)點(diǎn)O O是是B BC C的的中中點(diǎn)點(diǎn), ,過過點(diǎn)點(diǎn)O O的的直直線線分分別別交交直直線線A AB B, ,A AC C于于不不同同的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)M M, ,N N, ,若若A AB B= =m mA AM M, ,A AC C= =n nA AN N, ,則則m m+ +n n的的值值為為_ _ _ _ _: : _ _ _ _ _. .ABCMNO219 課堂小結(jié)課堂小結(jié): :平面向量基本定理：平面向量基本定理： 1 12 2 這這里里不不共共線線的的向向量量e e 、 e e 叫叫做做表表示示這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)

8、所所有有向向量量的的一一組組基基底底. . 1 12 21 12 21 11 12 22 2 如如果果e e 、 e e 是是同同一一平平面面內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)不不共共線線的的向向量量，那那么么對對于于這這一一平平面面內(nèi)內(nèi)的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一對對實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 、 ，可可使使 a a = = e e + + e e 1 12 21 11 12 22 21 12 2一一個(gè)個(gè)平平面面向向量量用用一一組組基基底底e e , ,e e 表表示示成成 = = e e + + e e的的形形式式，我我們們稱稱它它為為向向量量的的分分解解。當(dāng)當(dāng)e e , ,e e 互互相相垂垂直直時(shí)時(shí)，就就稱稱為為向向量量的的正正交交分分解解。