高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何本章優(yōu)化總結課件 湘教版選修21

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1、本章本章優(yōu)化總結優(yōu)化總結第三章 空間向量與立體幾何專題探究精講專題探究精講本本章章優(yōu)優(yōu)化化總總結結知識體系網(wǎng)絡知識體系網(wǎng)絡章末綜合檢測章末綜合檢測知識體系網(wǎng)絡知識體系網(wǎng)絡專題探究精講專題探究精講空間向量與空間位置關系空間向量與空間位置關系用向量方法證明平行與垂直問題的一般步驟是：用向量方法證明平行與垂直問題的一般步驟是：(1)建立立體圖形與空間向量的關系，利用空間建立立體圖形與空間向量的關系，利用空間向量表示問題中所涉及到的點、線、面，把立體向量表示問題中所涉及到的點、線、面，把立體幾何問題轉化為空間向量問題幾何問題轉化為空間向量問題(2)通過向量的運算研究平行或垂直關系，有時通過向量的運算研

2、究平行或垂直關系，有時可借助于方向向量或法向量可借助于方向向量或法向量(3)根據(jù)運算結果解釋相關的問題根據(jù)運算結果解釋相關的問題 已知，在四棱錐已知，在四棱錐PABCD中，中，PC平面平面ABCD，PC2，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，BC90，AB4，CD1，點，點M在在PB上，且上，且PB4PM，PB與平面與平面ABC成成30角求證：角求證：(1)CM平面平面PAD；(2)平面平面PAB平面平面PAD.【思路點撥思路點撥】條件中有諸多垂直關系，具備條件中有諸多垂直關系，具備建立空間直角坐標系的條件，可以利用向量解建立空間直角坐標系的條件，可以利用向量解決決【證明證明】如圖所示，建立如圖

3、所示，建立空間直角坐標系空間直角坐標系Cxyz.(1)PC平面平面ABCD，PBC為為PB與平面與平面ABC所所成的角，成的角，PBC30.【名師點評名師點評】在用向量方法證明平行和垂在用向量方法證明平行和垂直時，同樣需要立體幾何最基本的定理，比直時，同樣需要立體幾何最基本的定理，比如本題中，要證明直線與平面平行，我們現(xiàn)如本題中，要證明直線與平面平行，我們現(xiàn)在還沒有更好的計算手段，必須依靠直線與在還沒有更好的計算手段，必須依靠直線與平面平行的判定定理來證明直線的方向向量平面平行的判定定理來證明直線的方向向量與平面內的某個向量共線，從而得到直線和與平面內的某個向量共線，從而得到直線和平面平行平面

4、平行空間向量與空間角空間向量與空間角(1)求異面直線所成的角求異面直線所成的角設兩異面直線的方向向量分別為設兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么，那么這兩條異面直線所成的角為這兩條異面直線所成的角為n1，n2或或n1，n2，cos|cosn1，n2|.(2)求斜線與平面所成的角求斜線與平面所成的角如圖，設平面如圖，設平面的法向量為的法向量為n1，斜線，斜線OA的方的方向向量為向向量為n2，斜線，斜線OA與平面所成的角為與平面所成的角為，則，則sin|cosn1，n2|.(3)求二面角的大小求二面角的大小如圖，設平面如圖，設平面、的法向量分別為的法向量分別為n1、n2.因因為兩平面的法向量

5、所成的角為兩平面的法向量所成的角(或其補角或其補角)就等于就等于平面平面、所成的銳二面角所成的銳二面角，所以，所以cos|cosn1，n2|.(注：其中的注：其中的n1，n2表示向量表示向量n1與與n2所成的角所成的角)【思路點撥】【思路點撥】可建立空間直角坐標系，求出可建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，通過法向量的夾角進行求兩個平面的法向量，通過法向量的夾角進行求解解【名師點評名師點評】此題所求的二面角是一個無此題所求的二面角是一個無棱二面角，對于這種求無棱二面角的問題，棱二面角，對于這種求無棱二面角的問題，用空間向量求解時，無需作出二面角的平面用空間向量求解時，無需作出二面角的平面

6、角，從而體現(xiàn)了空間向量的重要作用角，從而體現(xiàn)了空間向量的重要作用 利用空間向量求距離利用空間向量求距離 已知空間中點的坐標為已知空間中點的坐標為A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,6)，D(5，4,8)，求點，求點D到平面到平面ABC的距的距離離【名師點評名師點評】用向量的知識來解決立體幾用向量的知識來解決立體幾何問題是現(xiàn)在高考出題的一個趨勢，要將立何問題是現(xiàn)在高考出題的一個趨勢，要將立體幾何的問題轉化為與向量有關的知識，因體幾何的問題轉化為與向量有關的知識，因為引入向量之后簡化了一些繁瑣的作輔助線為引入向量之后簡化了一些繁瑣的作輔助線尋找垂線，平面角等步驟，為了更好地利用尋找垂線

7、，平面角等步驟，為了更好地利用向量的特點，一般都要在解決的圖形中建立向量的特點，一般都要在解決的圖形中建立坐標系，經常是利用圖形中的垂直直線來建坐標系，經常是利用圖形中的垂直直線來建坐標系坐標系解題即是對命題的轉化，解題中要注意將立體解題即是對命題的轉化，解題中要注意將立體幾何問題向平面幾何問題轉化，即立體問題平面幾何問題向平面幾何問題轉化，即立體問題平面化在論證線線、線面、面面關系中的平行與垂化在論證線線、線面、面面關系中的平行與垂直問題時，要注意平行與垂直關系的轉化，求角直問題時，要注意平行與垂直關系的轉化，求角與距離時應將空間中的距離與角轉化為向量的投與距離時應將空間中的距離與角轉化為向

8、量的投影的長度或向量的夾角影的長度或向量的夾角轉化與化歸的數(shù)學思想轉化與化歸的數(shù)學思想【解解】(1)證明：取證明：取AC中點中點O，連接，連接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO且且ACBO.平面平面SAC平面平面ABC，平面，平面SAC平面平面ABCAC，SO平面平面ABC，SOBO.【名師點評名師點評】本題中本題中(2)(2)的求解是將二面的求解是將二面角問題轉化為兩平面法向量的夾角，而角問題轉化為兩平面法向量的夾角，而(3)(3)中中點到平面的距離的求解是將所求距離轉化為點到平面的距離的求解是將所求距離轉化為向量的投影的長度，這兩種轉化方法是立體向量的投影的長度，這兩種轉化方法是立體

9、幾何問題的常見解法，使用這兩種方法時要幾何問題的常見解法，使用這兩種方法時要將點的坐標寫準，平面的法向量求正確將點的坐標寫準，平面的法向量求正確存在性問題即在一定條件下論證會不會出現(xiàn)存在性問題即在一定條件下論證會不會出現(xiàn)某個結論這類題型常以適合某種條件的結某個結論這類題型常以適合某種條件的結論論“存在存在”、“不存在不存在”、“是否存在是否存在”等等語句表述解答這類問題，一般要先對結論語句表述解答這類問題，一般要先對結論作出肯定的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，作出肯定的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，若導致合理的結合已知條件進行推理論證，若導致合理的結論，則存在性也隨之

10、解決；若導致矛盾，結論，則存在性也隨之解決；若導致矛盾，則否定了存在性則否定了存在性利用空間向量解決存在性問題利用空間向量解決存在性問題 (2011年高考浙江卷年高考浙江卷)如圖，在三棱錐如圖，在三棱錐PABC中，中，ABAC，D為為BC的中點，的中點，PO平面平面ABC，垂足，垂足O落在線段落在線段AD上，已知上，已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：證明：APBC；(2)在線段在線段AP上是否存在點上是否存在點M，使得二面角，使得二面角AMCB為直二面角？若存在，求出為直二面角？若存在，求出AM的長；若的長；若不存在，請說明理由不存在，請說明理由【名師點評名師點評】本題考查空間點、線、面位本題考查空間點、線、面位置關系、二面角的求法以及空間向量的應用，置關系、二面角的求法以及空間向量的應用，也涉及空間想象能力和運算求解能力難度也涉及空間想象能力和運算求解能力難度適中適中