2018-2019學年九年級數(shù)學上冊 第二十二章 二次函數(shù) 小專題7 二次函數(shù)與幾何圖形綜合習題 （新版）新人教版

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1、 小專題7　二次函數(shù)與幾何圖形綜合 類型1　線段相關問題 1．(山西農(nóng)業(yè)大學附中月考)如圖，拋物線經(jīng)過A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點． (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA＋PC的值最小，求點P的坐標． 解：(1)設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三點在拋物線上， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－. (2)∵拋物線的解析式為y＝x2－2x－， ∴其對稱軸為直線x＝－＝－＝2， 連接BC，交拋物線對稱軸于點P，P點即為所求點． ∵B(5，0)，C(0，－

2、)， ∴設直線BC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直線BC的解析式為y＝x－， 當x＝2時，y＝1－＝－. ∴P(2，－)． 類型2　圖形面積問題 2．(陽泉市平定縣月考)如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2－4x＋c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A(－4，0)． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)在拋物線上存在點P，滿足S△AOP＝8，請求出點P的坐標． 解：(1)由已知條件，得 解得 ∴此二次函數(shù)的解析式為y＝－x2－4x. (2)∵點A的坐標為(－4，0)，∴AO＝4. 設點P到x軸的距離為h，則S△AOP＝×4h＝8. 解得h＝4.

3、①當點P在x軸上方時，－x2－4x＝4. 解得x＝－2. ∴點P的坐標為(－2，4)． ②當點P在x軸下方時，－x2－4x＝－4. 解得x1＝－2＋2，x2＝－2－2. ∴點P的坐標為(－2＋2，－4)或(－2－2，－4)． 綜上所述，點P的坐標是(－2，4)，(－2＋2，－4)，(－2－2，－4)． 3．(呂梁孝義市期末)綜合與探究： 如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數(shù)解析式為y＝－x2＋2x＋3.拋物線W與x軸交于A，B兩點(點A在點B的右側)，與y軸交于點C，它的頂點為D，直線l經(jīng)過A，C兩點． (1)求點A，B，C，D的坐標； (2)將直

4、線l向下平移m個單位，對應的直線為l′. ①若直線l′與x軸的正半軸交于點E，與y軸的正半軸交于點F，△AEF的面積為S，求S關于m的函數(shù)解析式，并寫出自變量m的取值范圍； ②求m的值為多少時，S的值最大？最大值為多少？ (3)若將拋物線W也向下平移m個單位，再向右平移1個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點P落在△AOC的內(nèi)部(不包括△AOC的邊界)．請直接寫出m的取值范圍． 解：(1)當y＝0時，得－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝3，x2＝－1. ∴A，B兩點坐標分別為(3，0)，(－1，0)． 當x＝0時，得y＝3，∴點C坐標為(0，3)． ∵y＝－x2＋2x＋3＝－

5、(x－1)2＋4， ∴點D坐標為(1，4)． (2)①設直線l的解析式為y＝kx＋b，則有 解得 ∴直線l的解析式為y＝－x＋3. ∴直線l′的解析式為y＝－x＋3－m. 當y＝0時，解得x＝3－m，∴E點坐標為(3－m，0)． 當x＝0時，解得y＝3－m，∴F點坐標為(0，3－m)． ∴AE＝3－(3－m)＝m，OF＝3－m. ∴S＝AE·OF＝m(3－m)＝－m2＋m(0＜m＜3)． ②∵S＝－m2＋m＝－(m－)2＋，－<0， ∴當m＝時，S的值最大，最大值為. (3)3＜m＜4. 類型3　特殊圖形相關問題 4．(陽泉市平定縣月考)綜合與探究： 如圖，拋

6、物線y＝ax2＋bx－3經(jīng)過點A(2，－3)，與x軸負半軸交于點B，與y軸交于點C，且OC＝3OB. (1)求拋物線的解析式； (2)若點D在y軸上，且∠BDO＝∠BAC，求點D的坐標； (3)若點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，是否存在以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由． 解：(1)由y＝ax2＋bx－3得C(0，－3)，∴OC＝3， ∵OC＝3OB，∴OB＝1.∴B(－1，0)． 把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3得解得 ∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3. (2)連接A

7、C，作BF⊥AC交AC的延長線于F，如圖1， ∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x軸，∴F(－1，－3)． ∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45°. 設D(0，m)，則OD＝|m|， ∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1， ∴|m|＝1，∴m＝±1， ∴D1(0，1)，D2(0，－1)． (3)設M(a，a2－2a－3)，N(1，n)， ①以AB為邊，則AB∥MN，AB＝MN，如圖2，過M作ME⊥對稱軸于E，AF⊥x軸于F，則△ABF≌△NME(AAS)， ∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3， ∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2， ∴M(4，5)或(－2，5)． ②以AB為對角線，BN＝AM，BN∥AM，如圖3， 則N在x軸上，M與C重合，∴M(0，－3)． 綜合上述，存在以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)． 5