高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓:54 直線與橢圓 Word版含解析

上傳人:仙*** 文檔編號:82872792 上傳時間:2022-04-30 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?62KB
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1、 直線與橢圓 建議用時:45分鐘 一、選擇題 1.直線y=x+2與橢圓+=1有兩個公共點,則m的取值范圍是(  ) A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞) C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞) B [由得(3+m)x2+4mx+m=0, 由題意可知 解得又m>0,且m≠3, ∴m>1且m≠3.故選B.] 2.(2019·棗莊模擬)過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為(  ) A. B. C. D. B [由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1,0),則直線AB的方程為y=2x-2.聯(lián)

2、立 解得交點坐標為(0,-2),,不妨設A點的縱坐標yA=-2,B點的縱坐標yB=,∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=.] 3.已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點,且|AB|=3,則C的方程為(  ) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 C [設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),則c=1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,橢圓的方程為+=1.] 4.已知橢圓+=1(a>b>0)的一條

3、弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標是M(-4,1),則橢圓的離心率是(  ) A. B. C. D. C [設直線與橢圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點差法可知yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,e==,故選C.] 5.傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F,與橢圓交于A,B兩點,且=2,則該橢圓的離心率為(  ) A. B. C. D. B [由題意可知,直線的方程為y=x-c,與橢圓方程聯(lián)立得∴(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直線過橢圓的右焦點,故必與橢圓有交點,則Δ>0.設A(x1

4、,y1),B(x2,y2),則又=2,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), ∴-y1=2y2,可得∴=,∴e=,故選B.] 二、填空題 6.過橢圓C:+=1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A,B兩點,則+等于________.  [由題意可知F(-1,0),故l的方程為y=(x+1). 由得5x2+8x=0,∴x=0或-. ∴A(0,),B. 又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=, ∴+=.] 7.已知橢圓+=1的左焦點為F,直線x=m與橢圓交于點A,B,當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是________. 3 [如圖,設橢圓的右焦點為

5、E,連接AE,BE.由橢圓的定義得,△FAB的周長為|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE|-|BE|.∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,∴|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a.當直線AB過點E時取等號,此時直線x=m=c=1,把x=1代入橢圓+=1得y=±,∴|AB|=3.∴當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是×3×|EF|=×3×2=3.] 8.橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點M

6、滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________. -1 [直線y=(x+c)過點F1(-c,0),且傾斜角為60°,所以∠MF1F2=60°,從而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c, 所以該橢圓的離心率e===-1.] 三、解答題 9.已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱,求實數(shù)m的取值范圍. [解] 由題意知m≠0,可設直線AB的方程為y=-x+b. 由消去y,得 x2-x+b2-1=0. 因為直線y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個不同的交點,所以Δ=-2b2+2+

7、>0.① 將線段AB中點代入直線方程y=mx+,解得b=-.② 由①②得m<-或m>. 故m的取值范圍為∪. 10.(2019·合肥調研)已知橢圓C:+(a>b>0)的離心率為,左、右頂點分別是A1,A2,上頂點為B(0,b),△A1A2B的面積等于2. (1)求橢圓C的方程; (2)設點Q(1,0),P(4,m),直線PA1,PA2分別交橢圓C于點M,N,證明:M,Q,N三點共線. [解] (1)由離心率為得,=,① 由△A1A2B的面積為2得,ab=2.② ∵a2=b2+c2③,聯(lián)立①②③解得,a=2,b=1, ∴橢圓C的方程為+y2=1. (2)記點M,N的坐標分別

8、為M(x1,y1),N(x2,y2). 又A1(-2,0),∴直線PA1的方程為y=(x+2),與橢圓+y2=1方程聯(lián)立并整理得(m2+9)x2+4m2x+4m2-36=0,由-2+x1=得x1=, 代入直線PA1的方程得y1=,即M,同理可得N. 因為Q(1,0),所以=,=, 由·=·知,M,Q,N三點共線. 1.已知P(x0,y0)是橢圓C:+y2=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點,若1·2<0,則x0的取值范圍是(  ) A. B. C. D. A [由題意可知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),則1·2=(x0+)(x0-)+y=x+y-3<0.因為點P在橢圓上,所

9、以y=1-.所以x+-3<0,解得-

10、B的距離為,且|AB|= . (1)求橢圓C的離心率; (2)直線l:y=kx+m與圓x2+y2=2相切,并與橢圓C交于M,N兩點,若|MN|=,求k的值. [解] (1)由|AB|==, =,a>b>0, 計算得出a=2,b=,則橢圓C的離心率為e==. (2)由(1)知橢圓方程為+=1,設M(x1,y1),N(x2,y2),則消去y得,(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,直線l與橢圓相交,則Δ>0, 即48(3k2-m2+4)>0, 且x1+x2=-,x1x2=. 又直線l與圓x2+y2=2相切, 則=,即m2=2(k2+1). 而|MN|=· = =

11、=, 又|MN|=, 所以=, 即5k4-3k2-2=0,解得k=±1,且滿足Δ>0,故k的值為±1. 1.平行四邊形ABCD內接于橢圓+=1,直線AB的斜率k1=2,則直線AD的斜率k2等于(  ) A. B.- C.- D.-2 C [設AB的中點為G,則由橢圓的對稱性知,O為平行四邊形ABCD的對角線的交點,則GO∥AD. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則有 兩式相減得 =-, 整理得=-=-k1=-2, 即=-.又G, 所以kOG==-,即k2=-,故選C.] 2.過橢圓+=1(a>b>0)上的動點M作圓x2+y2=的兩條切線,切點分別為P和

12、Q,直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F,則△EOF面積的最小值為________.  [設M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 由題意知PQ斜率存在,且不為0,所以x0y0≠0, 則直線MP和MQ的方程分別為x1x+y1y=,x2x+y2y=.因為點M在MP和MQ上,所以有x1x0+y1y0=,x2x0+y2y0=,則P,Q兩點的坐標滿足方程x0x+y0y=,所以直線PQ的方程為x0x+y0y=,可得E和F, 所以S△EOF=·|OE||OF|=, 因為b2y+a2x=a2b2,b2y+a2x≥2ab|x0y0|, 所以|x0y0|≤,所以S△EOF=≥, 當且僅當b2y=a2x=時取“=”, 故△EOF面積的最小值為.]

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