《高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓:54 直線與橢圓 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓:54 直線與橢圓 Word版含解析(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
直線與橢圓
建議用時:45分鐘
一、選擇題
1.直線y=x+2與橢圓+=1有兩個公共點,則m的取值范圍是( )
A.(1,+∞) B.(1,3)∪(3,+∞)
C.(3,+∞) D.(0,3)∪(3,+∞)
B [由得(3+m)x2+4mx+m=0,
由題意可知
解得又m>0,且m≠3,
∴m>1且m≠3.故選B.]
2.(2019·棗莊模擬)過橢圓+=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB的面積為( )
A. B.
C. D.
B [由題意知橢圓的右焦點F的坐標為(1,0),則直線AB的方程為y=2x-2.聯(lián)
2、立 解得交點坐標為(0,-2),,不妨設A點的縱坐標yA=-2,B點的縱坐標yB=,∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=.]
3.已知F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點,且|AB|=3,則C的方程為( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
C [設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),則c=1.因為過F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A,B兩點,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,橢圓的方程為+=1.]
4.已知橢圓+=1(a>b>0)的一條
3、弦所在的直線方程是x-y+5=0,弦的中點坐標是M(-4,1),則橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
C [設直線與橢圓交點為A(x1,y1),B(x2,y2),分別代入橢圓方程,由點差法可知yM=-xM,代入k=1,M(-4,1),解得=,e==,故選C.]
5.傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F,與橢圓交于A,B兩點,且=2,則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
B [由題意可知,直線的方程為y=x-c,與橢圓方程聯(lián)立得∴(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直線過橢圓的右焦點,故必與橢圓有交點,則Δ>0.設A(x1
4、,y1),B(x2,y2),則又=2,∴(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),
∴-y1=2y2,可得∴=,∴e=,故選B.]
二、填空題
6.過橢圓C:+=1的左焦點F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A,B兩點,則+等于________.
[由題意可知F(-1,0),故l的方程為y=(x+1).
由得5x2+8x=0,∴x=0或-.
∴A(0,),B.
又F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|=,
∴+=.]
7.已知橢圓+=1的左焦點為F,直線x=m與橢圓交于點A,B,當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是________.
3 [如圖,設橢圓的右焦點為
5、E,連接AE,BE.由橢圓的定義得,△FAB的周長為|AB|+|AF|+|BF|=|AB|+(2a-|AE|)+(2a-|BE|)=4a+|AB|-|AE|-|BE|.∵|AE|+|BE|≥|AB|,∴|AB|-|AE|-|BE|≤0,∴|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a.當直線AB過點E時取等號,此時直線x=m=c=1,把x=1代入橢圓+=1得y=±,∴|AB|=3.∴當△FAB的周長最大時,△FAB的面積是×3×|EF|=×3×2=3.]
8.橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y=(x+c)與橢圓Γ的一個交點M
6、滿足∠MF1F2=2∠MF2F1,則該橢圓的離心率等于________.
-1 [直線y=(x+c)過點F1(-c,0),且傾斜角為60°,所以∠MF1F2=60°,從而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,
所以該橢圓的離心率e===-1.]
三、解答題
9.已知橢圓+y2=1上兩個不同的點A,B關于直線y=mx+對稱,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] 由題意知m≠0,可設直線AB的方程為y=-x+b.
由消去y,得
x2-x+b2-1=0.
因為直線y=-x+b與橢圓+y2=1有兩個不同的交點,所以Δ=-2b2+2+
7、>0.①
將線段AB中點代入直線方程y=mx+,解得b=-.②
由①②得m<-或m>.
故m的取值范圍為∪.
10.(2019·合肥調研)已知橢圓C:+(a>b>0)的離心率為,左、右頂點分別是A1,A2,上頂點為B(0,b),△A1A2B的面積等于2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設點Q(1,0),P(4,m),直線PA1,PA2分別交橢圓C于點M,N,證明:M,Q,N三點共線.
[解] (1)由離心率為得,=,①
由△A1A2B的面積為2得,ab=2.②
∵a2=b2+c2③,聯(lián)立①②③解得,a=2,b=1,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)記點M,N的坐標分別
8、為M(x1,y1),N(x2,y2).
又A1(-2,0),∴直線PA1的方程為y=(x+2),與橢圓+y2=1方程聯(lián)立并整理得(m2+9)x2+4m2x+4m2-36=0,由-2+x1=得x1=,
代入直線PA1的方程得y1=,即M,同理可得N.
因為Q(1,0),所以=,=,
由·=·知,M,Q,N三點共線.
1.已知P(x0,y0)是橢圓C:+y2=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點,若1·2<0,則x0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
A [由題意可知F1(-,0),F(xiàn)2(,0),則1·2=(x0+)(x0-)+y=x+y-3<0.因為點P在橢圓上,所
9、以y=1-.所以x+-3<0,解得-
10、B的距離為,且|AB|= .
(1)求橢圓C的離心率;
(2)直線l:y=kx+m與圓x2+y2=2相切,并與橢圓C交于M,N兩點,若|MN|=,求k的值.
[解] (1)由|AB|==,
=,a>b>0,
計算得出a=2,b=,則橢圓C的離心率為e==.
(2)由(1)知橢圓方程為+=1,設M(x1,y1),N(x2,y2),則消去y得,(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,直線l與橢圓相交,則Δ>0,
即48(3k2-m2+4)>0,
且x1+x2=-,x1x2=.
又直線l與圓x2+y2=2相切,
則=,即m2=2(k2+1).
而|MN|=·
=
=
11、=,
又|MN|=,
所以=,
即5k4-3k2-2=0,解得k=±1,且滿足Δ>0,故k的值為±1.
1.平行四邊形ABCD內接于橢圓+=1,直線AB的斜率k1=2,則直線AD的斜率k2等于( )
A. B.-
C.- D.-2
C [設AB的中點為G,則由橢圓的對稱性知,O為平行四邊形ABCD的對角線的交點,則GO∥AD.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則有
兩式相減得
=-,
整理得=-=-k1=-2,
即=-.又G,
所以kOG==-,即k2=-,故選C.]
2.過橢圓+=1(a>b>0)上的動點M作圓x2+y2=的兩條切線,切點分別為P和
12、Q,直線PQ與x軸和y軸的交點分別為E和F,則△EOF面積的最小值為________.
[設M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
由題意知PQ斜率存在,且不為0,所以x0y0≠0,
則直線MP和MQ的方程分別為x1x+y1y=,x2x+y2y=.因為點M在MP和MQ上,所以有x1x0+y1y0=,x2x0+y2y0=,則P,Q兩點的坐標滿足方程x0x+y0y=,所以直線PQ的方程為x0x+y0y=,可得E和F,
所以S△EOF=·|OE||OF|=,
因為b2y+a2x=a2b2,b2y+a2x≥2ab|x0y0|,
所以|x0y0|≤,所以S△EOF=≥,
當且僅當b2y=a2x=時取“=”,
故△EOF面積的最小值為.]