山東省諸城市桃林鎮(zhèn)中考數(shù)學(xué) 第34章 抽屜原理復(fù)習(xí)題（無(wú)答案）

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1、 第34章 抽屜原理 ★★34.1 有一個(gè)圓，經(jīng)過(guò)圓心任意作993條直徑，它們與圓共有1986個(gè)交點(diǎn)，在每個(gè)交點(diǎn)處分別填寫(xiě)從1到496中的一個(gè)數(shù)（可以重復(fù)填寫(xiě)）．試證：一定可以找到兩條直徑，它們兩端的數(shù)的和相等． ★★34.2 一個(gè)正方形被分成了11×11=121個(gè)大小相同的小方格．在每一個(gè)小方格中，任意填寫(xiě)1，2，3，…，30中的一個(gè)數(shù)．求證：一定能夠找到兩對(duì)小方格，兩對(duì)小方格的中心連線的中點(diǎn)是同一點(diǎn)，并且兩對(duì)小方格中的數(shù)字之和相等． ★★34.3 能否在10行、10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1、2、3這三個(gè)數(shù)之一，而使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的每個(gè)數(shù)

2、字和互不相同？對(duì)你的結(jié)論加以證明． ★★★34.4 一個(gè)體育代表團(tuán)共有997名運(yùn)動(dòng)員，他們著裝運(yùn)動(dòng)服上的號(hào)碼兩兩不同，但都小于1992．求證：至少有一名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼數(shù)等于另外兩名運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼數(shù)之和． ★★★34.5 一次圍棋大賽先后進(jìn)行了11個(gè)星期，有一位圍棋新秀，他的戰(zhàn)績(jī)是每日至少勝一次，每星期最多勝12次．由此記錄一定可以推知，在一段連續(xù)的日子里，這一位圍棋新秀不多不少地正好勝了21次． ★★★34.6 已知a1，a2，…，a100是由1、2組成的數(shù)列，并且從任何一項(xiàng)起，連續(xù)10個(gè)數(shù)之和都不超過(guò)16，則必存在h和k，其中h＞k，使得ak＋1＋ak＋2＋…ah＝39． ★★34

3、.7 從1，2，3，…，9中任取5個(gè)數(shù)，求證：其中至少有兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的． ★★34.8 在1到2n的正整數(shù)中任取n＋1個(gè)數(shù)，證明：一定存在兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的． ★★34.9 在任意2n個(gè)連續(xù)整數(shù)中任取n＋1個(gè)數(shù)，求證：其中必有兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的差恰等于n． ★★34.10 在不超過(guò)100的自然數(shù)中任取55個(gè)不同的數(shù)．試問(wèn)：在它們之中是否一定能找出兩個(gè)數(shù)來(lái)，使它們的差等于9？ ★★34.11 求證：由小于100的任意27個(gè)不同的奇數(shù)所組成的集合中，必定有一對(duì)數(shù)，其和為102． ★★34.12 在1，2，3，…，99，100這100個(gè)正整數(shù)中任取n個(gè)不同的奇數(shù)，必有兩個(gè)之和等于1

4、02，求n的小值． ★★34.13 證明：從2、3、4、5、6、7、8、9這8個(gè)自然數(shù)中任意取6個(gè)，則至少取到這樣兩個(gè)數(shù)，它們的乘積是12的倍數(shù)． ★★34.14 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中，任取76個(gè)，求證：一定存在4個(gè)數(shù)，其中有兩個(gè)數(shù)之和等于另外兩個(gè)數(shù)之和． ★★34.15 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中，任取68個(gè)數(shù)．求證：其中至少有3個(gè)數(shù)，它們中有兩個(gè)數(shù)之和恰等于第3個(gè)數(shù)的2倍． ★★34.16 在1至100這100個(gè)自然數(shù)中，任取29個(gè)，證明：其中至少有3個(gè)數(shù)，恰是十位數(shù)字相同的3個(gè)兩位數(shù)． ★★★34.17 證明：在任意的11個(gè)無(wú)窮小數(shù)中，一定可

5、以找到兩個(gè)小數(shù)，它們的差或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字0，或者含有無(wú)窮多個(gè)數(shù)字9． ★34.18 求證：任意n＋1個(gè)整數(shù)中，總有兩個(gè)整數(shù)之差能被n整除． ★★34.19 已知12個(gè)不同的兩位數(shù)，證明：這些數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)，它們的差是由兩個(gè)相同數(shù)字構(gòu)成的兩位數(shù)． ★★34.20 求證：對(duì)任意整數(shù)N，存在N的一個(gè)倍數(shù)，它是僅由數(shù)字2與0組成． ★★34.21 證明：存在著形如（1≤k≤1993）的一個(gè)整數(shù)，它是1993的倍數(shù)． ★★34.22 證明：對(duì)任給的1997個(gè)自然數(shù)a1，a2，…，a1997，總可以找到其中連續(xù)的若干個(gè)數(shù)，使它們的和是1997的倍數(shù)． ★★34.23 任給7

6、個(gè)不同的整數(shù)，求證：必有兩個(gè)整數(shù)．其和或差是10的倍數(shù)． ★★★34.24 任選83個(gè)整數(shù)，求證：一定可以從中選出4個(gè)整數(shù)，使得當(dāng)用乘號(hào)、括號(hào)、減號(hào)把這4個(gè)數(shù)連接起來(lái)后，其運(yùn)算結(jié)果恰可被1992整除． ★★34.25 把既約分?jǐn)?shù)寫(xiě)成小數(shù)形式時(shí)，必是有限小數(shù)或是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，試證之． ★★34.26 在平面直角坐標(biāo)系中，任取5個(gè)整點(diǎn)，證明：其中存在兩個(gè)點(diǎn)，它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn)． ★★34.27 定義：有序數(shù)組（x1，x2，…，xn）中，如果x1，x2，…，xn均為整數(shù)，我們就稱(chēng)之為n維整點(diǎn)．任意地給定2n＋1個(gè)n維整點(diǎn)，求證：從中可以選出兩個(gè)n維整點(diǎn)（x1，x2，…，xn）與（

7、y1，y2，…，yn）來(lái)，使得（，，…，）是一個(gè)n維整點(diǎn)． ★★34.28 某人連續(xù)織布10h，共織布50m．已知她第一小時(shí)織6.5m，最后一小時(shí)織4m．證明：一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)她至少織了10m． ★★★34.29 考慮所有形如x＋y，其中x和y都是絕對(duì)值不大于1993的整數(shù)．證明：在這些數(shù)中一定存在一個(gè)數(shù)x0＋y0，使得|x0＋y0|＜，其中x0、y0不全為0． ★★★34.30 證明：存在不全為0的整數(shù)a、b、c，且每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值均為小于106，使得|a＋b＋a|＜． ★★34.31.在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，在取7個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不共線.證明：其中必

8、有三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積不超過(guò). ★★★34.32.設(shè)n≥2，單位圓中給定2n個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線.求證：必存在三點(diǎn).以這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積小于. ★★★34.33.在邊長(zhǎng)為1的正三角形中給定361個(gè)點(diǎn)，求證：存在一個(gè)半徑為的圓，至少含其中的25個(gè)點(diǎn). ★★34.34.在邊長(zhǎng)有限的正方形內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)r＞0，這些點(diǎn)中至少有一點(diǎn).在以其為圓心，以r為半徑的圓內(nèi)仍含有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，試證明之. ★★★34.35.平面上任意給定1980個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的距離均大于.求證：其中必有220個(gè)點(diǎn)，彼此之間的距離都不小于2. ★★34.36.正方形被9條直線分割，每一條都與正方形

9、的一對(duì)對(duì)邊相交，把該正方形分成面積之比為2：3的兩個(gè)梯形.求證：這9條直線中至少有3條相交于同一點(diǎn). ★★34.37.910瓶紅、藍(lán)墨水，排成130行，每行7瓶.證明：不論怎樣排列，紅、藍(lán)墨水瓶的顏色次序必定出現(xiàn)下述兩種情況之一：（1）至少有三行完全相同；（2）至少有兩組（四行），每組的兩行完全相同. ★★34.38.如圖所示，3行7列小方格每一個(gè)染上紅色或藍(lán)色.證明： 存在一個(gè)矩形，它的四個(gè)角上的小方格顏色相同. ★★★34.39.在3×4方格網(wǎng)的每個(gè)小方格中心都放有一枚圍棋子，問(wèn)：至少要去掉多少枚圍棋子，才能使得剩下的棋子中任意4枚都不構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)？ ★★34.40.如圖

10、所示是一個(gè)等邊三角形.其由25個(gè)小的等邊三角形 構(gòu)成，用數(shù)字1，2，3，…，8和9填滿(mǎn)一個(gè)三角形網(wǎng)格，每 個(gè)小三角形填寫(xiě)一個(gè)數(shù)字.將網(wǎng)格中由3個(gè)相鄰小三角形構(gòu) 成的梯形稱(chēng)為“3－梯形”，梯形內(nèi)3個(gè)整數(shù)的和稱(chēng)為“梯形 數(shù)”.問(wèn)：能否給出一種填法，使任意兩個(gè)“梯形數(shù)”均不相 同?如果能，請(qǐng)舉出一例；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. ★★34.41.在正七邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處放著黑色或白色的棋子.證明：存在同一顏色的三個(gè)棋子，它位于某個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)上. ★★★34.42.一正九邊形各頂點(diǎn)分別染紅、綠兩色.任三頂點(diǎn)確定一個(gè)三角形，若三頂點(diǎn)同色，則稱(chēng)之為綠（紅）三角形.求證：必存在兩個(gè)同色三角形，顏

11、色相同且全等. ★★★34.43.無(wú)窮方格紙片的每個(gè)方格都染上n種顏色之一（n≥2).證明：能找出同樣顏色的四個(gè)方格，其中心分別是某個(gè)矩形的頂點(diǎn)，此矩形的邊平行于方格紙的分格線. ★★34.44.任意凸九邊形中，一定有三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C，使得∠ABC≤20°，并證明之. ★★★34.45.平面上任意給定六點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線.求證：總能找到三個(gè)點(diǎn)，得以此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中有不超過(guò)30°的角.將30°改成29°結(jié)論是否還對(duì)? ★★34.46.證明：平面上兩兩相交的七條直線交得的角中至少有一個(gè)小于26°. ★★34.47.把1~100這100個(gè)自然數(shù)任意排在一個(gè)圓上，證明：一定有三個(gè)相鄰的

12、數(shù)，它們的和不小于153. ★★34.48.正200邊形的頂點(diǎn)隨意地標(biāo)上數(shù)0，1，…,1999（每一個(gè)數(shù)只標(biāo)給一個(gè)頂點(diǎn)）.求證：必有一個(gè)頂點(diǎn)，與它相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)上所標(biāo)的三個(gè)數(shù)之和大于等于2999. ★★34.49.平面上有n（n≥4）個(gè)互不相同的點(diǎn)在每?jī)牲c(diǎn)之間連起直線段，已知其中長(zhǎng)度等于d的線段有n＋1條.求證：從這n個(gè)點(diǎn)中可以找出一個(gè)點(diǎn)來(lái)，使得從這一點(diǎn)出發(fā)的線段中至少有3條的長(zhǎng)度等干d. ★★34.50.如圖所示，一個(gè)圓盤(pán)分內(nèi)外兩圈，均等分10個(gè)“格子”， 且分別將1，2，3，…，10這10個(gè)數(shù)填入內(nèi)外圈10個(gè)格子中 （每格填一數(shù)，不一定按大小次序）.若內(nèi)圈可以繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)， 求證：

13、在轉(zhuǎn)動(dòng)中一定有某個(gè)時(shí)刻內(nèi)圈的10個(gè)數(shù)與外圈的10個(gè) 數(shù)每對(duì)乘積之和大于302. ★★34.51.兩個(gè)大小不同的同心圓盤(pán)各被等分成100個(gè)扇形.從每一個(gè)圓盤(pán)上獨(dú)立地.隨機(jī)地取出50個(gè)部分涂上黑色.把小圓盤(pán)繞中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到一個(gè)內(nèi)，外扇形對(duì)齊的位置之后，再計(jì)算內(nèi)、外顏色相同的局形的總數(shù).有趣的是，不論原先內(nèi)、外盤(pán)的面色是怎樣涂的，一定存在某個(gè)位置，使得顏色能匹配的扇形個(gè)數(shù)不小于50. ★★34.52.有兩個(gè)同心圓盤(pán)，各分成n個(gè)相等的小格，外盤(pán)固定，內(nèi)盤(pán)可以轉(zhuǎn)動(dòng)，內(nèi)、外兩盤(pán)的小格中，分別有寫(xiě)數(shù)；.它們適合 求證：一定可以將內(nèi)盤(pán)轉(zhuǎn)到一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢?，使得?nèi)、外兩盤(pán)上的小格對(duì)齊，這時(shí)兩盤(pán)上n

14、個(gè)對(duì)齊了的小格中的兩數(shù)乘積之和為一正數(shù). ★★34.53.普拉脫蘭奇國(guó)的某些城市之間是有電話聯(lián)系的，證明：在普拉脫蘭奇國(guó)中至少可以我到兩個(gè)城市，它們和同樣多個(gè)城市有電話聯(lián)系. ★★34.54.任意給定70個(gè)不超過(guò)200的互不相同的正整數(shù)，求證：其中必有某兩個(gè)數(shù)的差或?yàn)?，或?yàn)?，或?yàn)?. ★★★34.55.設(shè)一個(gè)整數(shù)被某個(gè)數(shù)M（M≠1）整除的判別法則不依賴(lài)于整數(shù)數(shù)字190的次序.證明：M等于3或9. ★★★34.56.在100×100的象棋盤(pán)的格子中都寫(xiě)上整數(shù)，使得任意相鄰格子（具有公共邊的格點(diǎn)）中數(shù)的差不超過(guò)20，證明：在盤(pán)中至少存在三個(gè)格子寫(xiě)有同一個(gè)數(shù). ★★★34.57.A是－個(gè)16位的正整數(shù).證明：可以從A中連續(xù)取出連續(xù)若干位數(shù)字，使得其乘積是完全平方數(shù).例如，A中某位數(shù)字是4，則就取這個(gè)數(shù)字. ★★★34.58.設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)取下列10個(gè)素?cái)?shù)2、3、5、11、13、17、19、23、29之一.求證：必有連續(xù)的若干項(xiàng)，其積是完全平方數(shù). ★34.59.把128個(gè)半徑是1的圓放到一個(gè)邊長(zhǎng)為20的正方形內(nèi).證明：不管怎樣放置，必有兩個(gè)圓有公共點(diǎn). 5