江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學總復習 提分專練06 以平行四邊形為背景的中檔計算題與證明題習題

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1、 提分專練(六)　以平行四邊形為背景的中檔計算題與證明題 |類型1|　四邊形綜合運用問題 1.[2017·酒泉] 如圖T6-1,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對角線BD中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F. (1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形; (2)當四邊形BEDF是菱形時,求EF的長. 圖T6-1 2.閱讀下面材料: 在數(shù)學課上老師請同學們思考如下問題:如圖T6-3①,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E,F,G,H依次連接起來得到 的四邊形EFGH是平行四邊形嗎? 小敏在思考問題時,有如下思路:連接AC, 圖T6-2

2、 結(jié)合小敏的思路作答: (1)若只改變圖①中四邊形ABCD的形狀(如圖②),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由. 參考小敏思考問題的方法,解決問題: (2)如圖②,在(1)的條件下,若連接AC,BD. ①當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形?寫出結(jié)論并證明. ②當AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形?直接寫出結(jié)論. 圖T6-3 |類型2|　四邊形的折疊問題 3.[2018·寧夏] 將一張矩形紙片按如圖T6-4所示折疊,若∠1=40°,則∠2的度數(shù)是 (　　) 圖T6-4 A.40° B.50°

3、 C.60° D.70° 4.[2018·貴港] 如圖T6-5,將矩形ABCD折疊,折痕為EF,BC的對應邊B'C'與CD交于點M,若∠B'MD=50°,則∠BEF的度 數(shù)為　　　　.? 圖T6-5 5.如圖T6-6,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊,使點B落在點E處,AE交CD于點F,連接DE. (1)求證:△ADE≌△CED; (2)求證:△DEF是等腰三角形. 圖T6-6 6.[2014·淮安] 如圖T6-7,在△ABC中,AD平分∠BAC,將△

4、ABC折疊,使點A與點D重合,展開后折痕分別交AB,AC于點 E,F,連接DE,DF.求證:四邊形AEDF是菱形. 圖T6-7 7.如圖T6-8,在矩形紙片ABCD中,已知AB=1,BC=,點E在邊CD上移動,連接AE,將四邊形ABCE沿直線AE折疊,得 到四邊形AB'C'E,點B,C的對應點分別為點B',C'. (1)當B'C'恰好經(jīng)過點D時(如圖①),求線段CE的長; (2)若B'C'分別交邊AD,CD于點F,G,且∠DAE=22.5°(如圖②),求△DFG的面積; (3)在點E從點C移動到點D的過程中,求點C'運動的路徑長.

5、 　　　　　　　　圖T6-8 8.[2017·威海] 如圖T6-9,四邊形ABCD為一個矩形紙片,AB=3,BC=2,動點P自D點出發(fā)沿DC方向運動至C點后停 止.△ADP以直線AP為軸翻折,點D落到點D1的位置.設(shè)DP=x,△AD1P與原紙片重疊部分的面積為y. (1)當x為何值時,直線AD1過點C? (2)當x為何值時,直線AD1過BC的中點E? (3)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式. 圖T6-9 |類型3|　四邊形的平移、旋轉(zhuǎn)問題 9.問題:如圖T6-10①,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,∠E

6、AF=45°,試判斷BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系. 【發(fā)現(xiàn)證明】 小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD,請你利用圖①證明上述結(jié)論. 【類比引申】 如圖②,四邊形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,點E,F分別在邊BC,CD上,則當∠EAF與∠BAD滿足　　　　　 關(guān)系時,仍有EF=BE+FD.? 【探究應用】 如圖③,在某公園的同一水平面上,四條通道圍成四邊形ABCD.已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD =150°,道路BC,CD上分別有景點E,F,

7、且AE⊥AD,DF=40(-1)米,現(xiàn)要在E,F之間修一條筆直道路,求這條道路EF的 長(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73). 圖T6-10 參考答案 1.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,O是BD的中點, ∴AB∥DC,OB=OD,∴∠OBE=∠ODF, 又∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA), ∴EO=FO, ∴四邊形BEDF是平行四邊形. (2)當四邊形BEDF是菱形時, 設(shè)BE=x則DE=x,AE=6-x, 在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2, ∴x2=42+(6-x)2, ∴x=,

8、∴S菱形BEDF=BE·AD=×4==BD·EF, 又∵BD===2, ∴×2·EF=,∴EF=. 2.解:(1)四邊形EFGH還是平行四邊形,理由如下: 連接AC, ∵E,F分別是AB,BC的中點, ∴EF∥AC,EF=AC. ∵G,H分別是CD,AD的中點, ∴GH∥AC,GH=AC, ∴EF∥GH,EF=GH, ∴四邊形EFGH是平行四邊形. (2)①當AC=BD時,四邊形EFGH是菱形,理由如下: 由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形, 當AC=BD時,∵FG=BD,EF=AC, ∴FG=EF, ∴四邊形EFGH是菱形. ②當AC⊥BD時,四邊形EFG

9、H是矩形. 3.D　[解析] 如圖,易知2∠3=∠1+180°=220°,從而∠3=110°,又由平行線的性質(zhì),得∠2+∠3=180°,進而∠2=70°,故選D. 4.70°　 5.證明:(1)∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AB=CD. 由折疊的性質(zhì)可得:BC=CE,AB=AE, ∴AD=CE,AE=CD. 在△ADE和△CED中, ∴△ADE≌△CED(SSS). (2)由(1)得△ADE≌△CED, ∴∠DEA=∠EDC,即∠DEF=∠EDF, ∴EF=DF,∴△DEF是等腰三角形. 6.證明:由折疊可知AE=ED,AF=DF, ∴∠1=∠2,∠3=

10、∠4. 又∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠3. ∴∠1=∠2=∠3=∠4, ∴AE∥DF,AF∥ED, ∴四邊形AEDF為平行四邊形, 又AE=ED, ∴四邊形AEDF為菱形. 7.解:(1)由折疊得,∠B=∠B'=90°,AB=AB'=1, BC=B'C'=,C'E=CE, 由勾股定理得,B'D===,所以DC'=-, 因為∠ADE=90°,所以∠ADB'+∠EDC'=90°, 又因為∠EDC'+∠DEC'=90°,所以∠ADB'=∠DEC', 又∠B'=∠C'=90°,所以△AB'D∽△DC'E, 所以=,即=, 所以CE=C'E=-2. (2)∵∠BAD=∠B

11、'=∠D=90°,∠DAE=22.5°, ∴∠BAE=90°-22.5°=67.5°, ∴∠B'AF=67.5°-22.5°=45°, ∴∠B'AF=∠B'FA=45°, ∴∠DFG=∠AFB'=∠DGF=45°,∴DF=FG. 在Rt△AB'F中,AB'=FB'=1, ∴AF=AB'=,∴DF=DG=-, ∴S△DFG=×(-)2=-. (3)如圖,點C運動的路徑長為的長, 在Rt△ADC中, ∵tan∠DAC==, ∴∠DAC=30°,AC=2CD=2. ∵∠C'AD=∠DAC=30°,∴∠CAC'=60°, ∴的長== π. 8.解:(1)如圖①, 由題

12、意得,△ADP≌△AD1P. ∴AD1=AD=2,PD=PD1=x,∠PDA=∠PD1A=90°. ∵直線AD1過點C,∴PD1⊥AC. 在Rt△ABC中,∵AB=3,BC=2, ∴AC==,CD1=-2. 在Rt△PCD1中,PC2=P+C, 即(3-x)2=x2+(-2)2, 解得x=. ∴當x=時,直線AD1過點C. (2)如圖②,連接PE. ∵E為BC中點,∴BE=CE=1. 在Rt△ABE中, AE==. ∵AD1=AD=2,PD=PD1=x, ∴D1E=-2,PC=3-x. 在Rt△PD1E和Rt△PCE中, x2+(-2)2=(3-x)2+12

13、,解得x=. ∴當x=時,直線AD1過BC的中點E. (3)如圖③,當0≤x≤2時,y=x. 如圖④,當2

14、AG=90°,再根據(jù)“SAS”證明△AFG≌△AFE可得EF=GF,由此證得結(jié)論. 【類比引申】 根據(jù)上面的特殊情況中∠EAF=∠BAD,猜想一般情況下也應滿足∠EAF=∠BAD才能得到結(jié)論,證明過程與上面類似. 【探究應用】 連接AF.要運用這個幾何模型必須先證明∠EAF=75°.過點A作AH⊥CD于點H,解兩個直角三角形——Rt△AHD和Rt△AHF來得以實現(xiàn). 解:【發(fā)現(xiàn)證明】 證明:由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∠EAG=∠BAD=90°. ∵四邊形ABCD為正方形,∴∠ADC=90°, ∴∠ADC+∠ADG=180°,∴G,D,C三點共線. ∵

15、∠EAF=45°,∴∠GAF=45°,∴∠GAF=∠FAE. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(SAS), ∴GF=EF.∵GF=GD+DF,∴EF=BE+DF. 【類比引申】 ∠EAF=∠BAD 理由如下:如圖①,將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADG,使AB與AD重合. 由旋轉(zhuǎn)可得AE=AG,BE=DG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG. ∵∠B+∠ADC=180°,∴∠ADC+∠ADG=180°, ∴G,D,C三點共線. ∵∠BAE=∠DAG,∴∠BAD=∠EAG. ∵∠EAF=∠BAD,∴∠GAF=∠FAE. 又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFE(

16、SAS), ∴GF=EF. ∵GF=GD+DF, ∴EF=BE+DF.故答案為∠EAF=∠BAD. 【探究應用】 ∵∠BAD=150°,∠DAE=90°, ∴∠BAE=60°. 又∵∠B=60°,∴△ABE是等邊三角形, ∴BE=AB=80. 如圖②,連接AF,過點A作AH⊥CD交CD的延長線于點H. 在Rt△AHD中,∠ADH=180°-∠ADC=60°,AD=80, ∴∠HAD=30°,HD=AD=40,AH==40. ∵DF=40(-1), ∴HF=HD+DF=40+40(-1)=40, ∴在Rt△AHF中,AH=HF,∴∠HAF=45°, ∴∠DAF=15°,∴∠EAF=90°-15°=75°, ∴∠EAF=∠BAD. 運用上面的結(jié)論可得EF=BE+DF=80+40(-1)=40+40≈109.即這條道路EF的長約為109米. 14