高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點(diǎn)專題訓(xùn)練專題06直線與雙曲線的位置關(guān)系（含答案）

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1、 專題06 直線與雙曲線的位置關(guān)系 一、單選題 1．直線與雙曲線的交點(diǎn)情況是（ ） A．恒有一個(gè)交點(diǎn) B．存在m有兩個(gè)交點(diǎn) C．至多有一個(gè)交點(diǎn) D．存在m有三個(gè)交點(diǎn) 2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 3．已知雙曲線（）的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線只有1個(gè)交點(diǎn)，則（ ） A． B． C． D． 4．若曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 5．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與該雙曲線的左

2、右兩支分別相交于點(diǎn)，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 6．已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 7．已知雙曲線和直線至多只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．{-1，1} 8．已知雙曲線(，)與直線有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 二、多選題 9．若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能為（ ） A．3 B．4 C．8 D．10 10．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線與直

3、線有唯一的公共點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離可能為（ ） A．2 B． C． D．3 11．已知圓被軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為，且被軸截得的弦長(zhǎng)為4，當(dāng)圓心到直線的距離最小時(shí)，圓的方程為（ ） A． B． C． D． 12．雙曲線，圓，雙曲線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則取值可以是（ ） A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.7 三、填空題 13．已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是____________． 14．若曲線與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 15．已知曲線與直線x+y-1=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且(O為原點(diǎn))，則____

4、____. 16．若曲線與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 四、解答題 17．已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1． （1）若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （2）若l與C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面積為，求實(shí)數(shù)k的值． 18．已知雙曲線C：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，，過焦點(diǎn)，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且滿足. （1）求C的方程； （2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程. 19．已知雙曲線C的中心為直角坐標(biāo)

5、系的原點(diǎn)，它的右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為2． （1）求雙曲線C漸近線方程； （2）若直線與C的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍． 20．已知雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過. （1）求雙曲線C的方程； （2）若過點(diǎn)的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點(diǎn)P?Q，設(shè)P?Q中點(diǎn)為M，求三角形面積的取值范圍. 21．已知雙曲線過點(diǎn)，且該雙曲線的虛軸端點(diǎn)與兩頂點(diǎn)的張角為． （1）求雙曲線的方程； （2）過點(diǎn)的直線與雙曲線左支相交于點(diǎn)，直線與軸相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍． 22．已知雙曲線的焦距為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是，其中，的坐標(biāo)分別為

6、，. （1）求雙曲線的方程； （2）是否存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 專題06 直線與雙曲線的位置關(guān)系 一、單選題 1．直線與雙曲線的交點(diǎn)情況是（ ） A．恒有一個(gè)交點(diǎn) B．存在m有兩個(gè)交點(diǎn) C．至多有一個(gè)交點(diǎn) D．存在m有三個(gè)交點(diǎn) 【解析】將代入得 當(dāng)時(shí)，無解； 當(dāng)時(shí)，，所以至多有一個(gè)交點(diǎn)．故選：C 2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ） A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] 【

7、解析】因?yàn)橹本€y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則， 將y＝kx代入4x2－y2＝16得關(guān)于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由，解得－2

8、圓時(shí)，即，只需點(diǎn)落在橢圓內(nèi)，即，解得：； 當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，即，漸近線方程： 要使曲線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 只需，解得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C 5．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與該雙曲線的左右兩支分別相交于點(diǎn)，，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解析】由得,,,則左焦點(diǎn),右焦點(diǎn), 如圖： 因?yàn)殡p曲線與過原點(diǎn)的直線都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以, 又根據(jù)雙曲線的定義,所以,設(shè) 所以,設(shè),, ，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增, ,當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍為 則的取值范圍是,故選：A 6．已知雙曲線C：，若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)

9、M，N，且M，N都在以為圓心的圓上，則m的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【解析】設(shè)，，由， 則，由根與系數(shù)關(guān)系得，， 設(shè)MN的中點(diǎn)為，則，，∵， ∴，∴，解得或，故選：A. 7．已知雙曲線和直線至多只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．{-1，1} 【解析】將雙曲線和直線的方程聯(lián)立，消去得： ∴當(dāng)雙曲線和直線至多只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解或兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解)或無解. ∴當(dāng)，即時(shí)，雙曲線和直線只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)且即或時(shí)，雙曲線和直線至多只有一個(gè)公共點(diǎn). ∴實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C 8．已知雙曲線(，)

10、與直線有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【解析】如圖所示，雙曲線的漸近線方程為， 若雙曲線(，)與直線有交點(diǎn)，則有， ，即，解得，得. 雙曲線離心率的取值范圍為.故選：C. 二、多選題 9．若直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值可能為（ ） A．3 B．4 C．8 D．10 【解析】聯(lián)立，得，又因?yàn)橹本€與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，故 ①當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，，即； ②當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí),， 解得：或0（舍去），故選：AB 10．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離可能為（ ）

11、 A．2 B． C． D．3 【解析】由消去，整理得， 因?yàn)殡p曲線與直線有唯一的公共點(diǎn)， 所以只需，整理得， 即，因?yàn)?，所以? 因此動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離為 ； 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.BCD選項(xiàng)都滿足，A不滿足； 故選：BCD. 11．已知圓被軸分成上下兩部分的弧長(zhǎng)之比為，且被軸截得的弦長(zhǎng)為4，當(dāng)圓心到直線的距離最小時(shí)，圓的方程為（ ） A． B． C． D． 【解析】設(shè)圓心為，半徑為， 圓被軸分成兩部分的弧長(zhǎng)之比為，則其中劣弧所對(duì)圓心角為,由圓的性質(zhì)可得， 又圓被軸截得的弦長(zhǎng)為4，∴， ∴，變形為，即在雙曲線上， 易知雙曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，此點(diǎn)到

12、直線有距離最?。? 設(shè)切線方程為，由，消法得， ∴，解得，時(shí)，，時(shí)，， 即切點(diǎn)為或，半徑為， ∴圓的方程為或．故選：AB 12．雙曲線，圓，雙曲線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則取值可以是（ ） A．2.2 B．2.4 C．2.5 D．2.7 【解析】圓，圓心為，半徑， 設(shè)雙曲線右支上的一點(diǎn)為，，則對(duì)任意的恒成立，即，即， 又，所以對(duì)任意的恒成立，即可得，故選：ABC 三、填空題 13．已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是____________． 【解析】由得，因?yàn)橹本€與雙曲線相交于兩點(diǎn)， 所以解得：且 所以的取值范圍是：且，故答案為：且. 14．若曲線與

13、直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 【解析】聯(lián)立，消y得． 當(dāng)，即時(shí)，不滿足題意. 當(dāng)，即時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)， ， 解得，.故答案為：，且. 15．已知曲線與直線x+y-1=0相交于P，Q兩點(diǎn)，且(O為原點(diǎn))，則________. 【解析】將y=1-x代入，得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1+x2=，x1x2=. 因?yàn)?x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1，所以+1=0， 即2a+2ab-2a+a-b=0，即b-a=2ab，所以.

14、16．若曲線與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________. 【解析】直線過定點(diǎn), 曲線表示雙曲線在軸及其上方的上部分， 雙曲線的漸近線為，左右頂點(diǎn)分別為 如圖，過點(diǎn)作直線分別與兩漸近線平行. 將直線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，滿足條件，此時(shí) 根據(jù)雙曲線的圖像特征，如圖當(dāng)直線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，從旋轉(zhuǎn)到的位置時(shí)，滿足與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).所以斜率滿足 故答案為： 四、解答題 17．已知曲線C：x2－y2＝1和直線l：y＝kx－1． （1）若l與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍； （2）若l與C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且△AOB的面

15、積為，求實(shí)數(shù)k的值． 【解析】（1）由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． ∵直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴ 解得，且，∴k的取值范圍為． （2）結(jié)合（1），設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)．則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴，∵點(diǎn)O到直線l的距離d＝， ∴，即，解得或，檢驗(yàn)符合． 故實(shí)數(shù)k的值為0，，． 18．已知雙曲線C：（）的左?右焦點(diǎn)分別為，，，過焦點(diǎn)，且斜率為的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且滿足. （1）求C的方程； （2）過點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，且，求直線的方程. 【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為， 過，且斜率為的直線方程

16、為， 由，由， 由于，即， 所以.所以雙曲線的方程為. （2）設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得， ，且. 設(shè)，則， 所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，所以，， ，化簡(jiǎn)得，，解得或， 由于且，所以，所以直線的方程為. 19．已知雙曲線C的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，它的右焦點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為2． （1）求雙曲線C漸近線方程； （2）若直線與C的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍． 【解析】（1）由題設(shè)，，則雙曲線方程為， ∴對(duì)應(yīng)漸近線方程為： ． （2）設(shè)直線l與雙曲線C右支的兩交點(diǎn)為A，B且， 聯(lián)立方程，，消． 由題意得：，解得：． ∴當(dāng)A，B為直線l與C右支的兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)． 20．已知

17、雙曲線C：的離心率為，且經(jīng)過. （1）求雙曲線C的方程； （2）若過點(diǎn)的直線交雙曲線C于x軸下方不同的兩點(diǎn)P?Q，設(shè)P?Q中點(diǎn)為M，求三角形面積的取值范圍. 【解析】（1）由題題意，得，解得. 所以，雙曲線C的方程為. （2）設(shè)直線的方程為與雙曲線C方程聯(lián)立： ，消元得，設(shè)P?Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則： ，解得. 設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，由題點(diǎn)M為的中點(diǎn)，即 所以， 易知表達(dá)式在上單調(diào)遞減，故三角形面積的取值范圍為. 21．已知雙曲線過點(diǎn)，且該雙曲線的虛軸端點(diǎn)與兩頂點(diǎn)的張角為． （1）求雙曲線的方程； （2）過點(diǎn)的直線與雙曲線左支相交于點(diǎn)，直線與軸相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍．

18、【解析】（1）由已知 （2）設(shè)直線方程為， 直線的方程為，可得 直線的方程為，可得 聯(lián)立，消去，整理得． ，可得， ， 又，所以的范圍是. 22．已知雙曲線的焦距為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是，其中，的坐標(biāo)分別為，. （1）求雙曲線的方程； （2）是否存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形?若存在，求出所有直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【解析】（1）記雙曲線的焦距為，由題意，可得，即， 又，的坐標(biāo)分別為，， 所以直線的方程為， 即， 又坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是， 所以，解得，所以， 因此雙曲線的方程為； （2）由（1）可得， 假設(shè)存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形， 則直線的斜率顯然存在，設(shè)，，， 由消去整理得， 因?yàn)橹本€與雙曲線有兩不同交點(diǎn)，所以， 解得且， 則，所以， 記的中點(diǎn)為，則， 為使構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，只需，所以， 即，整理得，解得或， 因?yàn)椴粷M足，應(yīng)舍去，故， 所以存在過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，使得構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形，此時(shí)直線的方程為，即.