19、數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：
y=ax-h2+k的形式，其中h=-b2a，k=4ac-b24a.
1.2019·廣東中考模擬）關于拋物線y=2(x-1)2+1，下列說法錯誤的是（ ）．
A．開口向上 B．與x軸只有一個交點
C．對稱軸是直線x=1 D．當x>1時，y隨x的增大而增大
【答案】B
【詳解】
解：A、a＝2＞0，拋物線開口向上，所以A選項的說法正確；
B、當y＝0時，即2（x﹣1）2+1＝0，此方程沒有實數(shù)解，所以拋物線與x軸沒有交點，所以B選項的說法錯誤；
C、拋物線的對稱軸為直線x＝1，所以C選項的說法正確；
D、拋物線開口向上，拋物線的對稱
20、軸為直線x＝1，則當x＞1時，y隨x的增大而增大，所以D選項的說法正確．
故選：B．
2.2019·廣西中考模擬）將y=x2-6x+1化成y=（x-h）2+k的形式，則h+k的值是( )
A．-5 B．-8 C．-11 D．5
【答案】A
【詳解】
解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8，
∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k，
∴a=1，h=3，k=-8，
∴h+k=3+（-8）=-5．
故選：A．
3（2019·江蘇中考模擬）已知二次函數(shù)y=（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（
21、）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B
【詳解】
∴①若h＜1≤x≤3，x=1時，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，當x=3時，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
綜上，h的值為﹣1或5，
故選：B．
二次函數(shù)圖象的平移
平移步驟：
? 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式y(tǒng)=ax-h2+k，確定其頂點坐標h?，??k；
? 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到h?，??k處，具體平移方法如下：
平移規(guī)律
在原有函數(shù)的基
22、礎上“h值正右移，負左移；k值正上移，負下移”．
【概括】左加右減，上加下減
1．（2019·遼寧中考模擬）將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ）
A．V=-12x+94 B．P=Vx=-12x+94x=-12x2+94x
C．-12x-942+4418 D．
【答案】A
【詳解】
將拋物線y=3x2向上平移3個單位，再向左平移2個單位，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可得新拋物線的解析式為V=-12x+94，故答案選A．
2．（2017·鄒平鎮(zhèn)第三中學中考模擬）把拋物線y＝－12x2向下平移1個單位長度，再向左平移1個單位長度，得
23、到的拋物線解析式為( )
A．y＝－12 (x＋1)2＋1 B．y＝－12 (x＋1)2－1
C．y＝－12 (x－1)2＋1 D．y＝－12 (x－1)2－1
【答案】B
【詳解】
根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，可直接求得平移后的拋物線的解析式為：y=－12（x+1）2-1.
3．（2017·廣東中考模擬）把拋物線y＝x2＋4先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，所得拋物線的表達式為( )
A．y＝(x＋1)2＋7 B．y＝(x－1)2＋7 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x＋1)2＋1
【答案】D
【詳解】
把拋物線y=x2+4先向左平
24、移1個單位，再向下平移3個單位所得新拋物線的解析式為：y=(x+1)2+1.
故選D.
4．（2018·山東中考模擬）將二次函數(shù)y=x2+2x﹣1的圖象沿x軸向右平移2個單位長度，得到的函數(shù)表達式是（ ?。?
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2
C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2
【答案】D
【詳解】
∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2，
∴二次函數(shù)y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個單位長度，得到的函數(shù)表達式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2，
故選D．
5．（2019·浙江中考模擬）將拋物線y＝2（x﹣4）
25、2﹣1先向左平移4個單位長度，再向上平移2個單位長度，平移后所得拋物線的解析式為（ ）
A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【詳解】拋物線y=2（x-4）2-1先向左平移4個單位長度，得到的拋物線解析式為y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2個單位長度得到的拋物線解析式為y=2x2-1+2，即y=2x2+1；
故選：A
拋物線y=ax2+bx+c的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
求拋物線的頂點、對稱軸的方法（難點）
n 公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，
26、
∴頂點是（-b2a，4ac-b24a），對稱軸是直線x=-b2a.
n 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=ax-h2+k的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x=h.
【拋物線的性質(zhì)】由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.
拋物線y=ax2+bx+c中，a,b,c與函數(shù)圖像的關系（靈活掌握）
n 二次項系數(shù)a
二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項系數(shù)，顯然a≠0．
⑴ 當a>0時，拋物線開口向上，a越大，開口越
27、小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；
⑶ 當a<0時，拋物線開口向下，a越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．
【總結起來】a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大?。?
n 一次項系數(shù)b
在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在a>0的前提下，
當b>0時，-b2a<0，即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè)（a、b同號）；
當b=0時，-b2a=0，即拋物線的對稱軸就是y軸；
當b<0時，-b2a>0，即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)（a、b異號）．
⑵ 在a<0的前提下，結論剛好與上述相反，即
當b>0時，-b2a>0，即拋物線的
28、對稱軸在y軸右側(cè)（a、b異號）；
當b=0時，-b2a=0，即拋物線的對稱軸就是y軸；
當b<0時，-b2a<0，即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)（a、b同號）．
【總結起來】在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．
n 常數(shù)項c
⑴ 當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；
⑵ 當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；
⑶ 當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．
【總結起來】c決定了拋物線與y軸交點的位置．
總之，只要a?，??b?，??c都確定，那么這條拋物線就是唯一
29、確定的．
1（2018·天津中考模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的對稱軸為直線x=1，如果關于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一個根為4，那么該方程的另一個根為（ ?。?
A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3
【答案】B
【詳解】
∵關于x的方程ax2+bx-8=0有一個根為4，
∴拋物線y=ax2+bx-8與x軸的一個交點為（4，0），
拋物線y=ax2+bx+3a≠0的對稱軸為直線x=1，
∴拋物線y=ax2+bx-8的對稱軸也是x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為-2，0，
∴方程的另一個根為x=-2．
故選B．
2（2019·
30、許昌實驗中學中考模擬）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ）
A．-15 C．x<-1且x>5 D．x＜－1或x＞5
【答案】D
【詳解】
利用二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，結合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集：
由圖象得：對稱軸是x=2，其中一個點的坐標為（5，0），
∴圖象與x軸的另一個交點坐標為（－1，0）。
由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5。故選D。
3（2019·廣東中考模擬）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關于x的方程a
31、x2+bx+c﹣4＝0的根的情況是（ ）
A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個異號的實數(shù)根
C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【答案】A
【詳解】
∵函數(shù)的頂點的縱坐標為4，
∴直線y＝4與拋物線只有一個交點，
∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有兩個相等的實數(shù)根，
故選A．
考查題型三 二次函數(shù)函數(shù)值大小的判斷方法
1．（2019·湖北中考真題）已知點A-1,m,B1,m,C2,m-nn>0在同一個函數(shù)的圖象上，這個函數(shù)可能是（ ）
A．y＝x B．y=-2x C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【答案】D
【詳解】
A-1,m,B1,m
∴點A與點B關于
32、y軸對稱；
由于y＝x，y＝-2x的圖象關于原點對稱，因此選項A,B錯誤；
∵n＞0，
∴m﹣n＜m；
由B1,m,C2,m-n可知，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
對于二次函數(shù)只有a<0時，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴D選項正確
故選D．
2．（2019·江蘇中考模擬）已知二次函數(shù)y=a(x-2)2+c，當x=x1時，函數(shù)值為y1；當x=x2時，函數(shù)值為y2，若|x1-2|>|x2-2|，則下列表達式正確的是（ ）
A．y1+y2>0 B．y1-y2>0 C．a(chǎn)(y1-y2)>0 D．a(chǎn)(y1+y2)>0
【答案】C
【詳解】
解：①a＞0時
33、，二次函數(shù)圖象開口向上，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＞y2，
a（y1﹣y2）＞0，
②a＜0時，二次函數(shù)圖象開口向下，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2，
a（y1﹣y2）＞0，
綜上所述，表達式正確的是a（y1﹣y2）＞0．
故選：C．
3．（2019·河南中考模擬）點P1-1,y1，P23,y2，P35,y3均在二次函數(shù)y=-x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是______．
【答案】y1=y2>y3
【詳解】
解：∵y=-x2+2x+c，
∴對稱軸為x=1，
P23,y2，P35,y3在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而
34、減小，
∵3<5，
∴y2>y3，
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，P1-1,y1與3,y1關于對稱軸對稱，
故y1=y2>y3，
故答案為：y1=y2>y3．
考查題型四 求拋物線頂點、對稱軸的方法
1．（2019·浙江中考模擬）關于拋物線y=12(x+2)2+3，下列說法正確的是（ ）
A．對稱軸是直線x=2，y有最小值是3 B．對稱軸是直線a=-1，y有最大值是3
C．對稱軸是直線x=2，y有最大值是3 D．對稱軸是直線a=-1，y有最小值是3
【答案】D
【詳解】
解：拋物線y=12（x+2）2+3的圖像開口向上
∵函數(shù)圖像對稱軸為直線x=-2，
∴x=-
35、2時有最小值3，
故選：D．
2．（2016·浙江中考模擬）對于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．頂點坐標是（1，2）
C．對稱軸是x＝﹣1 D．與x軸有兩個交點
【答案】B
【詳解】
A、y=（x﹣1）2+2，知a=1＞0，因此圖象的開口向上，此選項錯誤；
B、y=（x﹣1）2+2頂點坐標是（1，2），此選項正確；
C、對稱軸是直線x=1，此選項錯誤；
C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程無解，與x軸沒有交點，故本選項錯誤．
D、由y=（x﹣1）2+2=x2-2x+3，可得△=b2-4ac=4-1
36、2=-8，沒有交點，故本選項錯誤.
故選：B
3．（2019·江蘇中考模擬）關于函數(shù)y＝﹣（x+2）2﹣1的圖象敘述正確的是（ ?。?
A．開口向上 B．頂點（2，﹣1）
C．與y軸交點為（0，﹣1） D．對稱軸為直線x＝﹣2
【答案】D
【詳解】
∵函數(shù)y=-(x+2)2-1，
∴該函數(shù)圖象開口向下，故選項A錯誤，
頂點坐標為-2,-1，故選項B錯誤，
當x=0時，y=-5，即該函數(shù)與y軸的交點坐標為0,-5，故選項C錯誤，
對稱軸是直線x=-2，故選項D正確，
故選：D
4．（2019·山東中考模擬）拋物線y=mx2+2mx+1（m為非零實數(shù)）的頂點坐標為_____
37、________.
【答案】-1,1-m
【詳解】y=mx2+2mx+1
=m(x2+2x)+1
=m(x2+2x+1-1)+1
=m(x+1)2 +1-m，
所以拋物線的頂點坐標為（-1，1-m），
故答案為（-1，1-m）.
考查題型五 拋物線對稱性的應用
1．（2018·普定縣白巖鎮(zhèn)白巖中學中考模擬）將拋物線y=x2﹣1向下平移8個單位長度后與x軸的兩個交點之間的距離為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【詳解】將拋物線y=x2-1向下平移8個單位長度，
其解析式變換為：y=x2-9
而拋物線y=x2-9與x軸的交點的縱坐
38、標為0，
所以有：x2-9=0
解得：x1=-3，x2=3，
則拋物線y=x2-9與x軸的交點為（-3，0）、（3，0），
所以，拋物線y=x2-1向下平移8個單位長度后與x軸的兩個交點之間的距離為6
故選B
2（2018·山東中考模擬）若二次函數(shù)α,β的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【答案】D
【詳解】
當函數(shù)為一次函數(shù)時，則m=0；當函數(shù)為二次函數(shù)時，則(m+2)2-4m(12m+1)=0，解得：m=±2．綜上所述，m=0或2或－2．
3．（2014·黑龍江中考真題）如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)
39、過點A（0，3），B（﹣1，0），請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的頂點為點D，對稱軸與x軸交于點E，連接BD，求BD的長．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，）．
【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；
（2）BD=．
【詳解】
（1）∵拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過點A（0，3），B（﹣1，0），
∴將A與B坐標代入得：，
解得：，
則拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；
（2）由D為拋物線頂點，得到D（1，4），
∵拋物線與x軸交于點E，
∴DE=4，OE=1，
∵B（﹣1，0），
∴BO=1，
40、
∴BE=2，
在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD=．
考查題型六 二次函數(shù)圖象特征與系數(shù)關系的應用方法
1．（2019·陜西中考模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，則（ ）
A．a(chǎn)＞0且4a+b=0 B．a(chǎn)＜0且4a+b=0
C．a(chǎn)＞0且2a+b=0 D．a(chǎn)＜0且2a+b=0
【答案】A
【詳解】
∵圖像經(jīng)過點（0,m）、（4、m）
∴對稱軸為x=2，
則-b2a=2,
∴4a+b=0
∵圖像經(jīng)過點（1，n），且n＜m
∴拋物線的開口方向向上，
∴a＞0，
故選A.
2．（2019·廣
41、東中考模擬）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A(﹣5，0)，對稱軸為直線x＝﹣2，給出四個結論：①abc＞0；②4a+b＝0；③若點B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)為函數(shù)圖象上的兩點，則y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正確結論的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】
由圖象可知：開口向下，故a＜0，
拋物線與y軸交點在x軸上方，故c＞0，
∵對稱軸x＝﹣b2a＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正確；
∵對稱軸為x＝﹣2，
∴﹣b2a＝﹣2，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，故②不正確；
當x＜﹣2時，
42、
此時y隨x的增大而增大，
∵﹣3＞﹣4，
∴y1＞y2，故③正確；
∵圖象過點A(﹣5，0)，對稱軸為直線x＝﹣2，
∴點A關于x＝﹣2對稱點的坐標為：(1，0)
令x＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴y＝a+b+c＝0，故④正確
故選：C．
4．（2013·廣西中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結論：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中結論正確的是 ?。ㄌ钫_結論的序號）
【答案】①②⑤
【詳解】
①由圖知：拋物線與x軸有兩個不同的交點，則△=b2﹣4ac＞0，∴b
43、2＞4ac。故①正確。
②拋物線開口向上，得：a＞0；
拋物線的對稱軸為x=-b2a=1，b=﹣2a，故b＜0；
拋物線交y軸于負半軸，得：c＜0；
所以abc＞0。故②正確。
③∵拋物線的對稱軸為x=-b2a=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0。故③錯誤。
④根據(jù)②可將拋物線的解析式化為：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；
由函數(shù)的圖象知：當x=﹣2時，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④錯誤。
⑤根據(jù)拋物線的對稱軸方程可知：（﹣1，0）關于對稱軸的對稱點是（3，0）；
當x=﹣1時，y＜0，所以當x=3時，也有y＜0，即9a+3b+c＜0。故⑤正
44、確。
綜上所述，結論正確的有①②⑤。
知識點三 拋物線與x軸的交點
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點?Δ>0?拋物線與x軸相交；
②有一個交點（頂點在x軸上）?Δ=0?拋物線與x軸相切；
③沒有交點?Δ<0?拋物線與x軸相離.
考查題型七 利用二次函數(shù)與x軸的交點判斷字母的值范圍的方法
1．（2018·湖北中考真題）已知二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點，則m的
45、取值范圍是（ ?。?
A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2
【答案】A
【詳解】∵二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點，
∴△=(-1) 2-4×1×(14 m-1)≥0，
解得：m≤5，
故選A．
考查題型八 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式綜合應用的方法
1．（2012·江蘇中考模擬）若二次函數(shù)y=(x-m)2-1，當x≤1時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A．m=1 B．m>1 C．m≥1 D．m≤1
【答案】C
【詳解】
∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-m）2-1的二次項系數(shù)是1，
∴該二次函數(shù)的開口方向是向上；
又∵該
46、二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（m，-1），
∴該二次函數(shù)圖象在x＜m上是減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，且對稱軸為直線x=m，
而已知中當x≤1時，y隨x的增大而減小，
∴x≤1，
∴m≥1．
故選C．
2．（2017·江蘇中考模擬）若二次函數(shù)y=（x﹣m）2﹣1，當x≤3時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）
A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3
【答案】C
【詳解】
∵a=1>0，
∴在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，
∵y=（x﹣m）2﹣1的對稱軸是x=m，
∴m≥3.
故選C.
3．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線
47、y=ax2+bx+c(a≠0)過點(-1,0)，(0,2)，且頂點在第一象限，設M=4 a+2 b+c，則M的取值范圍是___．
【答案】-60，a<0，
∴b>0，
∴a>-2，
∴-2
48、c的圖象大致為（ ?。?
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過y軸上的（0，c），
∴兩個函數(shù)圖象交于y軸上的同一點，故B選項錯誤；
當a＞0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，故C選項錯誤；
當a＜0時，二次函數(shù)開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過二、四象限，故A錯誤，D選項正確；
故選：D．
2．（2018·安徽中考模擬）二次函數(shù)y=a(x+m)2+n的圖象如圖，則一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】C
【詳解】
∵拋物線的頂
49、點在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0?！鄊＜0，
∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過二、三、四象限。故選C。
3.（2018·山東中考模擬）已知二次函數(shù)y＝(x+m)2﹣n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)y＝mnx的圖象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
由二次函數(shù)的圖象，得﹣m＞0，﹣n＜0，
化簡，得m＜0，n＞0，
y＝mx+n圖象經(jīng)過一二四象限，y＝mnx圖象位于二四象限，
故選：D．
4．（2019·安徽中考模擬）二次函數(shù)y＝a(x﹣m)2﹣n的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過( )
A．第一、二、三象
50、限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【詳解】
解：觀察函數(shù)圖象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．
故選：A．
知識點四 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種基本思路（重點）
? 三點式（帶入）
1，已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三點，求拋物線的解析式。
2，已知拋物線y=a(x-1)２+4 ， 經(jīng)過點A（2，3），求拋物線的解析式。
? 頂點式（頂點坐標（-b2a，4ac-b24a））
1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為A（
51、2，1），求拋物線的解析式。
2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2b 的頂點為（3，1），求拋物線的解析式。
? 交點式（帶入）
1，已知拋物線與 x 軸兩個交點分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。
2，已知拋物線線與 x 軸兩個交點（4，0），（1，0）求拋物線y=12a(x-2a)(x-b)的解析式。
? 定點式
1， 在直角坐標系中，不論a 取何值，拋物線y=-12x2+5-a2x+2a-2經(jīng)過x 軸上一定點Q，直線y=(a-2)x+2經(jīng)過點Q,求拋物線的解析式。
2.拋物線y= x2 +(2m-2)x-4m與x軸的交點一定經(jīng)過直
52、線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。
解：拋物線與X軸相交，Y=0
x2+(2m-2)X-4m=0
x2-2X+2mx-4m=0
X(X-2)+2m(X-2)=0
(X-2)(X+2m)=0
所以 x=2 必過（2,0） 代入直線 得m=-43
Y= x2-113x+83
3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點A，求拋物線的解析式。
直線y=mx-2m+2
y=m(x-2)+2 直線經(jīng)過定點，則與m的取值無關，所以
x-2=0 y=2
即定點坐標為A（2,2）
所拋物線y=ax2+ax-2過(2,2)
2=6a-2
6a=4
a=23
53、
知識點五 通過二次函數(shù)解決實際問題
考查題型十 借助拋物線圖像解決實際問題
1．（2019·山東中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h (單位：m)與小球運動時間t (單位：)之間的函數(shù)關系如圖所示．下列結論：①小球在空中經(jīng)過的路程是；②小球拋出3秒后，速度越來越快；③小球拋出3秒時速度為0；④小球的高度h=30m時，t=1.5s．其中正確的是( )
A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【答案】D
【詳解】
①由圖象知小球在空中達到的最大高度是；故①錯誤；
②小球拋出3秒后，速度越來越快；故②正確；
③小球拋出3秒時達到最高點即速度為0；故③正確；
54、④設函數(shù)解析式為：h=at-32+40，
把O0,0代入得0=a0-32+40，解得a=-409，
∴函數(shù)解析式為h=-409t-32+40，
把h=30代入解析式得，30=-409t-32+40，
解得：t=4.5或t=1.5，
∴小球的高度h=30m時，t=1.5s或4.5s，故④錯誤；
故選：D．
2．（2018·重慶中考模擬）一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，在如圖所示的平面直角坐標系中，下列說法正確的是（ ?。?
A．
55、此拋物線的解析式是y=﹣15x2+3.5
B．籃圈中心的坐標是（4，3.05）
C．此拋物線的頂點坐標是（3.5，0）
D．籃球出手時離地面的高度是2m
【答案】A
【詳解】
解：A、∵拋物線的頂點坐標為（0，3.5），
∴可設拋物線的函數(shù)關系式為y=ax2+3.5．
∵籃圈中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=﹣15，
∴y=﹣15x2+3.5．
故本選項正確；
B、由圖示知，籃圈中心的坐標是（1.5，3.05），
故本選項錯誤；
C、由圖示知，此拋物線的頂點坐標是（0，3.5），
故本選項錯誤；
56、
D、設這次跳投時，球出手處離地面hm，
因為（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
∴當x=﹣2.5時，
h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．
∴這次跳投時，球出手處離地面2.25m．
故本選項錯誤．
故選：A．
考查題型十一 利用直角坐標系解決實際問題
1．（2017·甘肅中考模擬）圖（1）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當水面在圖（1）位置時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2 m，水面寬4 m．如圖（2）建立平面直角坐標系，則拋物線的關系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2
C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
【答案】C
【詳解】
57、
由題意可得，設拋物線解析式為：y=ax2，由圖意知拋物線過（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式為 y=﹣0.5x2 ，選C．
2．（2019·山西中考模擬）如圖所示的是拋物線型拱橋，當拱頂離水面2m時，水面寬4m，若水面下降2m，則水面寬度增加（ ）
A．42+4m B．42m C．42-4m D．4m
【答案】C
【詳解】
解：以AB所在的直線為x軸，向右為正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，向上為正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系，
拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2
58、），設頂點式y(tǒng)=ax2+2，代入A點坐標（-2，0），
得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2，
把y=-2代入拋物線解析式得出：-2=-0.5x2+2，
解得：x=±22，
所以水面寬度增加到42米，比原先的寬度當然是增加了（42-4）米，
故選：C．
考查題型十二 利用二次函數(shù)求最大面積
1．（2017·江西南昌二中中考模擬）中學課外興趣活動小組準備圍建一個矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米(如圖所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.
(1)若苗圃園的面積為72平方米，求x；
(2)若平行于墻的一邊長
59、不小于8米，這個苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有，求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由；
(3)當這個苗圃園的面積不小于100平方米時，直接寫出x的取值范圍.
【答案】(1) x=12；(2)苗圃園的面積最大為112.5平方米，最小為88平方米；(3) 6≤x≤10.
【詳解】
解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長為(30－2x)米．依題意可列方程
x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．
解得x1＝3，x2＝12．
又∵30－2x≤18，即x≥6，
∴x=12
(2)依題意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．
面積S＝x(30－2x)＝－2(x－1
60、52)2＋2252 (6≤x≤11)．
①當x＝152時，S有最大值，S最大＝2252；
②當x＝11時，S有最小值，S最?。?1×(30－22)＝88．
(3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0．
解得x1＝5，x2＝1
∴x的取值范圍是5≤x≤10．
考查題型十三 利用二次函數(shù)求最大利潤
1．（2013·遼寧中考真題）某商場購進一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，每月能賣出2萬件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關系．
（1）試求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）當銷售價
61、格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？
【答案】（1）y=-10000x+80000（2）當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元
【詳解】解：（1）由題意，可設y=kx+b，
把（5，30000），（6，20000）代入得：&5k+b=30000&6k+b=20000，解得：&k=-10000&b=80000。
∴y與x之間的關系式為：y=-10000x+80000。
（2）設利潤為W，則
W=x-4-10000x+80000=-10000x2-12x+32=-10000x-62+40000，
∴當x=6時，W取得最大值，最大值為4
62、0000元。
答：當銷售價格定為6元時，每月的利潤最大，每月的最大利潤為40000元。
考查題型十四 利用二次函數(shù)解決運動中的幾何問題
1．（2019·云南中考模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，動點P從點A開始沿AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，若P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，P點到達B點運動停止，則△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t的函數(shù)關系圖象大致是（ ?。?
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
由題意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t，
則△PBQ的面積S＝12PB?BQ＝1
63、2（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，
故△PBQ的面積S隨出發(fā)時間t的函數(shù)關系圖象大致是二次函數(shù)圖象，開口向下．
故選：C．
2．（2019·河南中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P、Q分別是CD、AD的中點，動點E從點A向點B運動，到點B時停止運動；同時，動點F從點P出發(fā)，沿P→D→Q運動，點E、F的運動速度相同．設點E的運動路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫y與x的函數(shù)關系的圖象是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
當F在PD上運動時，△AEF的面積為y=12AE?AD=2x（0≤x≤2），
當F在DQ上運動時，△AEF的面積為y=
64、12AE?AF==（2＜x≤4），
圖象為：
故選A．
3．（2019·河南中考模擬）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm，點P從點A沿AC向點C以1cm/s的速度運動，同時點Q從點C沿CB向點B以2cm/s的速度運動（點Q運動到點B停止）。則四邊形PABQ的面積y(cm2)與運動時間x(s)之間的函數(shù)圖象為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=AB2-BC2=6cm,
設運動時間為x（0≤x≤4），則PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
∴S四邊形PABQ=S△ABC-S△CPQ
=12AC?BC-12PC?CQ
=12×6×8-12×（6-x）×2x
=x2-6x+24
=（x-3）2+15.
根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象應為：C.
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2020年中考數(shù)學一輪復習 基礎考點及題型 專題13 二次函數(shù)（含解析）
