2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題12 二次函數(shù)（含解析）

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1、專題12 二次函數(shù) 專題知識回顧 1．二次函數(shù)的概念：一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。拋物線叫做二次函數(shù)的一般式。 2.二次函數(shù)y=ax2 +bx+c(a≠0)的圖像與性質(zhì) y x O （1）對稱軸： （2）頂點(diǎn)坐標(biāo)： （3）與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c） （4）增減性： 當(dāng)a>0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而減??；對稱軸右邊，y隨x增大而增大； 當(dāng)a<0時(shí)，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小。 3.二次函數(shù)的解析

2、式三種形式。 （1）一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0). 已知圖像上三點(diǎn)或三對、的值，通常選擇一般式. （2）頂點(diǎn)式 已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式。 （3）交點(diǎn)式 已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式。 4．根據(jù)圖像判斷a,b,c的符號 （1）a 確定開口方向 ：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線的開口向下。 （2）b ——對稱軸與a 左同右異。 （3）拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)（0，c） 5．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系 拋物線y=ax2 +bx+c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（

3、a≠0）的根。 拋物線y=ax2 +bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，拋物線便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2 +bx+c=0 >0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)； =0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)； <0時(shí)，一元二次方程有不等的實(shí)根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交點(diǎn)。 6．函數(shù)平移規(guī)律：左加右減、上加下減.圖像平移步驟 （1）配方為： ，確定頂點(diǎn)（h,k） （2）對x軸， 左加右減；對y軸， 上加下減。 7.二次函數(shù)的對稱性 二次函數(shù)是軸對稱圖形，有這樣一個(gè)結(jié)論：當(dāng)橫坐標(biāo)為x1, x2 其對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，那么對稱軸 專題典型題

4、考法及解析 【例題1】（2019湖北荊州）二次函數(shù)y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是　 　． 【答案】7 【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7， 即二次函數(shù)y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7， 故答案為：7． 【例題2】（2019廣西賀州）已知拋物線的對稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，，正確的是　　（填寫序號）． 【答案】①③④ 【解析】根據(jù)圖象可得：，， 對稱軸：， ， ， ， ，故①正確； 把代入函數(shù)關(guān)系式中得：， 由拋物線的對稱軸是直線，且過點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，， ，故②錯(cuò)誤； ， ，

5、 即：，故③正確； 由圖形可以直接看出④正確． 故答案為：①③④． 【例題3】（2019貴州省畢節(jié)市）某山區(qū)不僅有美麗風(fēng)光，也有許多令人喜愛的土特產(chǎn)，為實(shí)現(xiàn)脫貧奔小康，某村織村民加工包裝土特產(chǎn)銷售給游客，以增加村民收入．已知某種士特產(chǎn)每袋成本10元．試銷階段每袋的銷售價(jià)x（元）與該士特產(chǎn)的日銷售量y（袋）之間的關(guān)系如表： x（元） 15 20 30 … y（袋） 25 20 10 … 若日銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù)，試求： （1）日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式； （2）假設(shè)后續(xù)銷售情況與試銷階段效果相同，要使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的

6、銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？每日銷售的最大利潤是多少元 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法，求出日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式即可； 利用每件利潤×總銷量＝總利潤，進(jìn)而求出二次函數(shù)最值即可． （1） 依題意，根據(jù)表格的數(shù)據(jù)，設(shè)日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b得 ，解得 故日銷售量y（袋）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣x+40 （2）依題意，設(shè)利潤為w元，得 w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400 整理得w＝﹣（x﹣25）2+225 ∵﹣1＜0 ∴當(dāng)x＝2時(shí)，w取得最大值，最大值為225 故要

7、使這種土特產(chǎn)每日銷售的利潤最大，每袋的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，每日銷售的最大利潤是225元． 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019廣西河池）如圖，拋物線的對稱軸為直線，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】由拋物線的開口方向判斷與0的關(guān)系，由拋物線與軸的交點(diǎn)判斷與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷． .由拋物線的開口向下知，與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，可得，因此，故本選項(xiàng)正確，不符合題意； .由拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得，故本選項(xiàng)正確，不符合題意； .由對稱軸為，得，即，故本選

8、項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意； .由對稱軸為及拋物線過，可得拋物線與軸的另外一個(gè)交點(diǎn)是，所以，故本選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：． 2.（2019哈爾濱）將拋物線向上平移3個(gè)單位長度,再向右平移2個(gè)單位長度,所得到的拋物線為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】將拋物線y＝2x2向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移2個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為y＝2（x﹣2）2+3，故選B． 3.（2019湖北咸寧）已知點(diǎn)A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一個(gè)函數(shù)的圖象上，這個(gè)函數(shù)可能是（　?。? A．y＝x B．y=-2x C．y＝

9、x2 D．y＝﹣x2 【答案】D 【解析】∵A（﹣1，m），B（1，m）， ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱； 由于y＝x，y=-2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤； ∵n＞0， ∴m﹣n＜m； 由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小， 對于二次函數(shù)只有a＜0時(shí)，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小， ∴D選項(xiàng)正確。 4.（2019年陜西省）已知拋物線，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)， y的值隨x值的增大而減小，則m的取值范圍是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)“當(dāng)時(shí)，”，得到一個(gè)關(guān)于m不等式

10、，在根據(jù)拋物線，可知拋物線開口向上，再在根據(jù)“當(dāng)時(shí)， y的值隨x值的增大而減小”，可知拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)或者是直線，從而列出第二個(gè)關(guān)于m的不等式，兩個(gè)不等式聯(lián)立，即可解得答案． 因?yàn)閽佄锞€， 所以拋物線開口向上． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，， 所以 ①， 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， y的值隨x值的增大而減小， 所以可知拋物線的對稱軸在直線的右側(cè)或者是直線， 所以②， 聯(lián)立不等式①，②，解得． 5.（2019廣西梧州）已知，關(guān)于的一元二次方程的解為，，則下列結(jié)論正確的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】關(guān)于的一元二次方程的解為，，可以看作二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)， 二次函數(shù)與

11、軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，，如圖： 當(dāng)時(shí)，就是拋物線位于軸上方的部分，此時(shí)，或； 又 ，； ， 故選：A． 6.（2019四川瀘州）已知二次函數(shù)y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自變量）的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)，且當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞﹣1 C．﹣1＜a≤2 D．﹣1≤a＜2 【答案】D 【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6， ∵拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)， ∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2， ∵拋物線的對稱軸為直線x=--2a2=a，拋

12、物線開口向上， 而當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小， ∴a≥﹣1， ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是﹣1≤a＜2． 7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐標(biāo)系中，對于二次函數(shù)y=(x-2) 2+1，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ） A．y的最小值為1 B．圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），對稱軸為直線x=2 C．當(dāng)x＜2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x≥2時(shí)，y的值隨x值的增大而減小 D．它的圖像可以由y=x2的圖像向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到 【答案】C 【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷，由二次函數(shù)y=(x-2) 2+1，得它的頂點(diǎn)是（2，1），對稱軸為直線x=2

13、，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)的最小值是1，圖像開口向上，當(dāng)x≥2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x＜2時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，可由y=x2的圖像向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度得到，所以C是錯(cuò)誤的，故選C． 二、填空題 8.（2019黑龍江哈爾濱）二次函數(shù)的最大值是 ． 【答案】8 【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值， 當(dāng)x＝6時(shí)，y有最大值8．故答案為8． 9. (2019黑龍江大慶)如圖拋物線y＝(p>0),點(diǎn)F(0,p),直線l:y＝－p,已知拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離與到直線l的距離相等,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),AA1⊥l,BB1⊥l

14、,垂足分別為A1,B1,連接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,則△A1OB1的面積＝______(只用a,b表示). 【答案】 【解析】先由邊相等得到∠A1FB1＝90°,進(jìn)而得到A1B1的長度,由等面積法得到點(diǎn)F到A1B1的距離,進(jìn)而得到△A1OB1的高,求出三角形面積. 設(shè)∠A＝x,則∠B＝180°－x,由題可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝,∠BFB1＝,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝,所以點(diǎn)F到A1B1的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)F(0,p),直線l:y＝－p,△A1OB1的高為,所以△A1OB1的面積＝··

15、＝ 10.（2019江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）過點(diǎn)A(m，3)，B(n，3)兩點(diǎn)，若線段AB的長不大于4，則代數(shù)式a2＋a＋1的最小值是 ． 【答案】． 【解析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)線段AB的長不大于4，求出a的取值范圍，再利用二次函數(shù)的增減性求代數(shù)式a2＋a＋1的最小值． ∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1， ∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，1)，對稱軸為直線x＝－2． ∵拋物線過點(diǎn)A(m，3)，B(n，3)兩點(diǎn)， ∴當(dāng)y＝3時(shí)，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，當(dāng)a＞0時(shí)

16、，x＝－2±． ∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)． ∴AB＝2． ∵線段AB的長不大于4， ∴2≤4． ∴a≥． ∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋， ∴當(dāng)a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝． 11.（2019江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，若線段的長不大于4，則代數(shù)式的最小值是　?。? 【答案】 【解析】拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)， 線段的長不大于4， 的最小值為：； 故答案為． 12.（2019內(nèi)蒙古赤峰）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有兩個(gè)不相

17、等的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)x＜﹣1或x＞3時(shí)，y＞0．上述結(jié)論中正確的是　 ?。ㄌ钌纤姓_結(jié)論的序號） 【答案】②③④ 【解析】由圖可知，對稱軸x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（3，0）， ∴b＝﹣2a，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)（﹣1，0）， ①∵a＞0， ∴b＜0； ∴①錯(cuò)誤； ②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0， ∴a﹣b+c＝0； ②正確； ③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函數(shù)y＝ax2+bx+c與y＝﹣1的交點(diǎn)， 由圖象可知函數(shù)y＝ax2+bx+c與y＝﹣1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； ∴③正確； ④由

18、圖象可知，y＞0時(shí)，x＜﹣1或x＞3 ∴④正確； 故答案為②③④． 三、解答題 13.（2019北京市）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度，得到點(diǎn)B，點(diǎn)B在拋物線上． （1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)（用含的式子表示）； （2）求拋物線的對稱軸； （3）已知點(diǎn)，．若拋物線與線段PQ恰有一個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍． 【答案】見解析。 【解析】先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平移規(guī)律求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，得A、B為對稱點(diǎn)進(jìn)而求出拋物線對稱軸方程；根據(jù)a的符號分類討論分析解答即可. （1）∵當(dāng)x=0時(shí)，拋物線； ∴拋物線與y軸交點(diǎn)A點(diǎn)的坐

19、標(biāo)為， ∴由點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長度得點(diǎn)B的坐標(biāo)為；即. （2） ∵由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，得A、B為對稱點(diǎn).∴拋物線對稱軸方程為；即 直線. （3） ①當(dāng)時(shí)，. 分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P；也不可 能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)Q，所以線段PQ和拋物線沒有交點(diǎn). ②當(dāng)時(shí)，. 分析圖象可得，根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線不可能同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P；但當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)B上方或與點(diǎn)B重合時(shí)，拋物線與線段PQ恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，即. 綜上所述：當(dāng)時(shí)，拋物線與線段PQ恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 14.（2019遼寧本溪）工廠生產(chǎn)一種火爆的網(wǎng)紅電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本16元，

20、工廠將該產(chǎn)品進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)批發(fā)，批發(fā)單價(jià)y（元）與一次性批發(fā)量x（件）（x為正整數(shù)）之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系. （1）直接寫出y與x之間所滿足的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍； （2）若一次性批發(fā)量不超過60件，當(dāng)批發(fā)量為多少件時(shí)，工廠獲利最大？最大利潤是多少？ 【答案】見解析。 【解析】本題主要考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用. 認(rèn)真觀察圖象，分別寫出該定義域下的函數(shù)關(guān)系式，定義域取值全部是整數(shù)；根據(jù)利潤=（售價(jià)-成本）×件數(shù)，列出利潤的表達(dá)式，求出最值． （1） 當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時(shí)，y=40； 當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時(shí)，y=-x+50； 當(dāng)x＞60且x為整數(shù)時(shí)

21、，y=20； （2）設(shè)所獲利潤w（元）， 當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時(shí)，y=40， ∴w=(40-16)×20=480元， 當(dāng)0＜x≤20且x為整數(shù)時(shí)，y=40， ∴當(dāng)20＜x≤60且x為整數(shù)時(shí)，y=-x+50， ∴w=(y-16)x=(-x+50-16)x， ∴w=-x2+34x， ∴w=-（x-34）2+578， ∵-＜0， ∴當(dāng)x=34時(shí)，w最大，最大值為578元． 答：一次批發(fā)34件時(shí)所獲利潤最大，最大利潤是578元． 15．（2019?湘潭）湘潭政府工作報(bào)告中強(qiáng)調(diào)，2019年著重推進(jìn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，做優(yōu)做響湘蓮等特色農(nóng)產(chǎn)品品牌．小亮調(diào)查了一家湘潭特產(chǎn)店A、B兩種湘

22、蓮禮盒一個(gè)月的銷售情況，A種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)72元/盒，售價(jià)120元/盒，B種湘蓮禮盒進(jìn)價(jià)40元/盒，售價(jià)80元/盒，這兩種湘蓮禮盒這個(gè)月平均每天的銷售總額為2800元，平均每天的總利潤為1280元． （1）求該店平均每天銷售這兩種湘蓮禮盒各多少盒？ （2）小亮調(diào)査發(fā)現(xiàn)，A種湘蓮禮盒售價(jià)每降3元可多賣1盒．若B種湘蓮禮盒的售價(jià)和銷量不變，當(dāng)A種湘蓮禮盒降價(jià)多少元/盒時(shí)，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是多少元？ 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，B種禮盒為y盒，列二元一次方程組即可解題；根據(jù)題意，可設(shè)A種禮盒降價(jià)m元/盒，則A種禮盒的銷售量為：（10+

23、）盒，再列出關(guān)系式即可． （1）根據(jù)題意，可設(shè)平均每天銷售A禮盒x盒，B種禮盒為y盒， 則有，解得 故該店平均每天銷售A禮盒10盒，B種禮盒為20盒． （2）設(shè)A種湘蓮禮盒降價(jià)m元/盒，利潤為W元，依題意 總利潤W＝（120﹣m﹣72）（10+）+800 化簡得W＝m2+6m+1280＝﹣（m﹣9）2+1307 ∵a＝＜0 ∴當(dāng)m＝9時(shí)，取得最大值為1307， 故當(dāng)A種湘蓮禮盒降價(jià)9元/盒時(shí)，這兩種湘蓮禮盒平均每天的總利潤最大，最大是1307元． 16. （2019廣西省貴港市）如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于點(diǎn)，對稱軸為直線，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)． （1）求拋物線的表

24、達(dá)式； （2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)并求直線的表達(dá)式； （3）設(shè)動點(diǎn)，分別在拋物線和對稱軸上，當(dāng)以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】見解析。 【解析】函數(shù)表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，即可求解；、，則點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為：，將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，即可求解；分當(dāng)是平行四邊形的一條邊、是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可． （1）函數(shù)表達(dá)式為：， 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式并解得：， 故拋物線的表達(dá)式為：； （2）、，則點(diǎn)， 設(shè)直線的表達(dá)式為：， 將點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：，解得：， 故直線的表達(dá)式為：； （3）設(shè)點(diǎn)、點(diǎn)， ①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時(shí)， 點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到， 同樣點(diǎn)向左平移2個(gè)單位、向下平移4個(gè)單位得到， 即：，， 解得：，， 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、； ②當(dāng)是平行四邊形的對角線時(shí)， 由中點(diǎn)定理得：，， 解得：，， 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、； 故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為或、或． 14